Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Definitionsliste

Definition:Einheit

Ein Element ${}u$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Einheit, wenn es ein Element ${}v\in R$ mit ${}uv=1$ gibt.

Definition:Diophantische Gleichung

Zu einem Polynom ${}F\in \mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ heißt

${}F(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\,$

eine diophantische Gleichung. Unter einer Lösung einer diophantischen Gleichung versteht man ein ganzzahliges Zahlentupel ${}(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {Z} ^{n}$, das in ${}F$ eingesetzt ${}0$ ergibt.

Definition:Integritätsbereich

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von ${}0$ verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.

Definition:Teilen (kommutativer Ring)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, und ${}a,b$ Elemente in ${}R$. Man sagt, dass ${}a$ das Element ${}b$ teilt (oder dass ${}b$ von ${}a$ geteilt wird, oder dass ${}b$ ein Vielfaches von ${}a$ ist), wenn es ein ${}c\in R$ derart gibt, dass ${}b=c\cdot a$ ist. Man schreibt dafür auch ${}a{|}b$.

Definition:Teilerfremd

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Man sagt, dass zwei Elemente ${}a,b\in R$ teilerfremd sind, wenn jedes Element ${}c\in R$, das sowohl ${}a$ als auch ${}b$ teilt, eine Einheit ist.

Definition:Irreduzibles Element

Eine Nichteinheit ${}p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung ${}p=ab$ nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.

Definition:Primelement

Eine Nichteinheit ${}p\neq 0$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt ${}p$ ein Produkt ${}ab$ mit ${}a,b\in R$, so teilt ${}p$ einen der Faktoren.

Definition:Hauptidealbereich

Ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealbereich.

Definition:Faktorieller Bereich

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn jede Nichteinheit ${}f\neq 0$ sich als ein Produkt von Primelementen schreiben lässt.

Definition:Primideal

Ein Ideal ${}{\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Primideal, wenn ${}{\mathfrak {p}}\neq R$ ist und wenn für ${}r,s\in R$ mit ${}r\cdot s\in {\mathfrak {p}}$ folgt: ${}r\in {\mathfrak {p}}$ oder ${}s\in {\mathfrak {p}}$.

Definition:Maximales Ideal

Ein Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt maximales Ideal, wenn ${}{\mathfrak {m}}\neq R$ ist und wenn es zwischen ${}{\mathfrak {m}}$ und ${}R$ keine weiteren Ideale gibt.

Definition:Spektrum (kommutativer Ring)

Zu einem kommutativen Ring ${}R$ nennt man die Menge der Primideale von ${}R$ das Spektrum von ${}R$, geschrieben

$\operatorname {Spek} {\left(R\right)}.$

Definition:Offene Menge (Spektrum)

Auf dem Spektrum eines kommutativen Ringes ${}R$ ist die Zariski-Topologie dadurch gegeben, dass zu einer beliebigen Teilmenge ${}T\subseteq R$ die Mengen

${}D(T):={\left\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} {\left(R\right)}\mid T\not \subseteq {\mathfrak {p}}\right\}}\,$

als offen erklärt werden.

Definition:Multiplikatives System

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge ${}S\subseteq R$ heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften

1. ${}1\in S$,
2. Wenn ${}f,g\in S$, dann ist auch ${}fg\in S$,

gelten.

Definition:Überkreuzrelation zu multiplikativem System

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Auf der Produktmenge ${}R\times S$ nennt man die durch

${}(r,s)\sim (r',s')\,,$

falls es ein ${}t\in S$ mit ${}rs't=r'st$ gibt, die durch das multiplikative System gegebene Überkreuzrelation.

Definition:Nenneraufnahme

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Dann versteht man unter der Nenneraufnahme zu ${}S$ die Quotientenmenge zur Überkreuzrelation auf ${}R\times S$ mit den in Lemma 4.8 beschriebenen Verknüpfungen. Die Nenneraufnahme wird mit ${}R_{S}$ bezeichnet.

Definition:Quotientenkörper

Zu einem Integritätsbereich ${}R$ ist der Quotientenkörper ${}Q(R)$ als die Menge der formalen Brüche

${}Q(R)={\left\{{\frac {r}{s}}\mid r,s\in R,\,s\neq 0\right\}}\,$

mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.

Definition:Lokaler Ring

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt lokal, wenn ${}R$ genau ein maximales Ideal besitzt.

Definition:Restekörper

Zu einem kommutativen lokalen Ring ${}R$ nennt man den Restklassenkörper ${}R/{\mathfrak {m}}$ zum einzigen maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ von ${}R$ den Restekörper von ${}R$.

Definition:Lokalisierung

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann nennt man die Nenneraufnahme an ${}S=R\setminus {\mathfrak {p}}$ die Lokalisierung von ${}R$ an ${}{\mathfrak {p}}$. Man schreibt dafür ${}R_{\mathfrak {p}}$. Es ist also

${}R_{\mathfrak {p}}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\not \in {\mathfrak {p}}\right\}}\,.$

Definition:Faserring

Zu einem Ringhomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ zwischen kommutativen Ringen und einem Primideal ${}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ nennt man ${}(S/{\mathfrak {q}}S)_{\varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})}$ den Faserring über ${}{\mathfrak {q}}$.

Definition:Algebra

Es seien ${}R$ und ${}A$ kommutative Ringe und sei ${}R\rightarrow A$ ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man ${}A$ eine ${}R$-Algebra.

Definition:Körpererweiterung

Es sei ${}L$ ein Körper und ${}K\subseteq L$ ein Unterkörper von ${}L$. Dann heißt ${}L$ ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von ${}K$ und die Inklusion ${}K\subseteq L$ heißt eine Körpererweiterung.

Definition:Endliche Körpererweiterung

Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt endlich, wenn ${}L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über ${}K$ ist.

Definition:Grad einer Körpererweiterung

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die ${}K$- Vektorraumdimension von ${}L$ den Grad der Körpererweiterung.

Definition:Algebraisches Element

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine kommutative ${}K$- Algebra. Es sei ${}f\in A$ ein Element. Dann heißt ${}f$ algebraisch über ${}K$, wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$ gibt.

Definition:Minimalpolynom

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine ${}K$- Algebra. Es sei ${}f\in A$ ein über ${}K$ algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom ${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$, welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von ${}f$.

Definition:Galoisgruppe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Dann nennt man die Automorphismengruppe

${}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)=\operatorname {Aut} _{K}\,(L)\,$

die Galoisgruppe der Körpererweiterung.

Definition:Galoiserweiterung

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Sie heißt eine Galoiserweiterung, wenn

${}{\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}=\operatorname {grad} _{K}L\,$

gilt.

Definition:Frobeniushomomorphismus

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik ${}p>0$ enthalte. Der Frobeniushomomorphismus ist der Ringhomomorphismus

$R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p}.$

Definition:Ganzheitsgleichung

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Für ein Element ${}x\in S$ heißt eine Gleichung der Form

${}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+r_{n-2}x^{n-2}+\cdots +r_{1}x+r_{0}=0\,,$

wobei die Koeffizienten $r_{i},\,i=0,\ldots ,n-1$, zu ${}R$ gehören, eine Ganzheitsgleichung für ${}x$.

Definition:Ganzes Element

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Ein Element ${}x\in S$ heißt ganz (über ${}R$), wenn ${}x$ eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus ${}R$ erfüllt.

Definition:Ganzer Abschluss

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente ${}x\in S$, die ganz über ${}R$ sind, den ganzen Abschluss von ${}R$ in ${}S$.

Definition:Ganze Ringerweiterung

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Dann heißt ${}S$ ganz über ${}R$, wenn jedes Element ${}x\in S$ ganz über ${}R$ ist.

Definition:Ganz-abgeschlossen

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Man nennt ${}R$ ganz-abgeschlossen in ${}S$, wenn der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}S$ gleich ${}R$ ist.

Definition:Normal

Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.

Definition:Normalisierung

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}Q(R)$ sein Quotientenkörper. Dann nennt man den ganzen Abschluss von ${}R$ in ${}Q(R)$ die Normalisierung von ${}R$.

Definition:Ganzer Zahlbereich

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man den ganzen Abschluss von ${}\mathbb {Z}$ in ${}L$ den Ring der ganzen Zahlen in ${}L$. Solche Ringe nennt man auch Zahlbereiche.

Definition:Spur eines Algebraelementes

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}S$ eine kommutative endliche freie ${}R$- Algebra. Zu einem Element ${}f\in S$ nennt man die Spur des ${}R$- Modulhomomorphismus

$\mu _{f}\colon S\longrightarrow S,\,y\longmapsto fy,$

die Spur von ${}f$. Sie wird mit ${}\operatorname {Spur} {\left(f\right)}$ bezeichnet.

Definition:Norm

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}S$ eine kommutative endliche freie ${}R$- Algebra. Zu einem Element ${}f\in S$ nennt man die Determinante des ${}R$- Modulhomomorphismus

$\mu _{f}\colon S\longrightarrow S,\,y\longmapsto fy,$

die Norm von ${}f$. Sie wird mit ${}N(f)$ bezeichnet.

Definition:Diskriminate einer Basis

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und seien ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ Elemente in ${}L$. Dann wird die Diskriminante von ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ durch

${}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})=\det \left(\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{j}\right)}_{i,j}\right)\,$

definiert.

Definition:Diskriminante eines Zahlbereichs

Es sei ${}R$ der Zahlbereich zur endlichen Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$. Dann nennt man die Diskriminante einer Ganzheitsbasis von ${}R$ die Diskriminante von ${}R$ (und die Diskriminante von ${}L$).

Definition:Komplexe Ganzheitsmatrix

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich vom Grad ${}n$ und

$\tau \colon R\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}$

die komplexe Gesamteinbettung. Es sei ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ eine Ganzheitsbasis von ${}R$. Dann nennt man die komplexe ${}n\times n$- Matrix

${\left(\tau _{j}(b_{k})\right)}_{1\leq j,k\leq n}$

die komplexe Ganzheitsmatrix (zu dieser Basis).

Definition:Quadratischer Zahlbereich

Ein quadratischer Zahlbereich ist der Ring der ganzen Zahlen in einem Erweiterungskörper von ${}\mathbb {Q}$ vom Grad ${}2$.

Definition:Reell- und imaginär-quadratische Zahlbereiche

Es sei ${}D\neq 0,1$ quadratfrei und sei ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann heißt ${}A_{D}$ reell-quadratisch, wenn ${}D$ positiv ist, und imaginär-quadratisch, wenn ${}D$ negativ ist.

Definition:Konjugation

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und sei ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ die zugehörige quadratische Körpererweiterung und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann wird der Automorphismus (auf ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$, auf ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ und auf ${}A_{D}$)

$a+b{\sqrt {D}}\longmapsto a-b{\sqrt {D}}$

als Konjugation bezeichnet.

Definition:Noetherscher Ring

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.

Definition:Dedekindbereich

Einen Integritätsbereich ${}R$ nennt man einen Dedekindbereich, wenn er noethersch und normal ist und wenn jedes von ${}0$ verschiedene Primideal darin maximal ist.

Definition:Norm eines Ideals

Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem Zahlbereich ${}R$ heißt die (endliche) Anzahl des Restklassenringes ${}R/{\mathfrak {a}}$ die Norm von ${}{\mathfrak {a}}$. Sie wird mit

$N{\left({\mathfrak {a}}\right)}$

bezeichnet.

Definition:Diskreter Bewertungsring

Ein diskreter Bewertungsring ${}R$ ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in ${}R$ gibt.

Definition:Ordnung (diskreter Bewertungsring)

Zu einem Element $f\in R,\,f\neq 0$, in einem diskreten Bewertungsring mit Primelement ${}p$ heißt die Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ mit der Eigenschaft ${}f=up^{n}$, wobei ${}u$ eine Einheit bezeichnet, die Ordnung von ${}f$. Sie wird mit ${}\operatorname {ord} \,(f)$ bezeichnet.

Definition:Ordnung an Primstelle

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich, ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ ein Primideal in ${}R$ und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Dann heißt die Ordnung ${}\operatorname {ord} \,(f)$ im diskreten Bewertungsring ${}R_{\mathfrak {p}}$ die Ordnung von ${}f$ am Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ (oder an der Primstelle ${}{\mathfrak {p}}$ oder in ${}R_{\mathfrak {p}}$). Sie wird mit ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)$ bezeichnet.

Definition:Hauptdivisor zu Ringelement

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ in ${}R$ die Ordnung ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)$ zuordnet, der durch ${}f$ definierte Hauptdivisor. Er wird mit ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ bezeichnet und als formale Summe

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{\mathfrak {p}}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\cdot {\mathfrak {p}}\,$

geschrieben.

Definition:Effektiver Divisor

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich. Ein effektiver Divisor ist eine formale Summe

$\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}},$

die sich über alle Primideale ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ aus ${}R$ erstreckt und wobei ${}n_{\mathfrak {p}}$ natürliche Zahlen sind mit ${}n_{\mathfrak {p}}=0$ für fast alle ${}{\mathfrak {p}}$.

Definition:Effektiver Divisor zu einem Ideal

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$. Dann nennt man den Divisor

${}\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}=\sum _{\mathfrak {p}}m_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$

mit

${}m_{\mathfrak {p}}=\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,({\mathfrak {a}}):=\operatorname {min} \left(\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f){|}f\in {\mathfrak {a}},\,f\neq 0\right)\,$

den Divisor zum Ideal ${}{\mathfrak {a}}$.

Definition:Ideal zu einem effektiven Divisor

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und

${}D=\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$

ein effektiver Divisor (wobei ${}{\mathfrak {p}}$ durch die Menge der Primideale ${}\neq 0$ läuft). Dann nennt man

${\left\{f\in R\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\right\}}$

das Ideal zum Divisor ${}D$. Es wird mit ${}\operatorname {Id} (D)$ bezeichnet.

Definition:Produktring

Es seien ${}R_{1},\ldots ,R_{n}$ kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt

$R_{1}\times \cdots \times R_{n},$

versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der ${}R_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$.

Definition:Idempotentes Element

Ein Element ${}e$ eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn ${}e^{2}=e$ gilt.

Definition:Divisor

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich. Ein Divisor ist eine formale Summe

$\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}},$

die sich über alle Primideale ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ aus ${}R$ erstreckt und wobei ${}n_{\mathfrak {p}}$ ganze Zahlen mit ${}n_{\mathfrak {p}}=0$ für fast alle ${}{\mathfrak {p}}$ sind.

Definition:Hauptdivisor

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und ${}q\in Q(R)$, ${}q\neq 0$. Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ in ${}R$ die Ordnung ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(q)$ zuordnet, der durch ${}q$ definierte Hauptdivisor. Er wird mit ${}\operatorname {div} {\left(q\right)}$ bezeichnet und als formale Summe

${}\operatorname {div} {\left(q\right)}=\sum _{\mathfrak {p}}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(q)\cdot {\mathfrak {p}}\,$

geschrieben.

Definition:Gebrochenes Ideal

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$. Dann nennt man einen endlich erzeugten ${}R$- Untermodul ${}{\mathfrak {f}}$ des ${}R$- Moduls ${}Q(R)$ ein gebrochenes Ideal.

Definition:Gebrochenes Hauptideal

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$. Dann nennt man ein gebrochenes Ideal der Form ${}{\mathfrak {f}}=Rq$ mit ${}q\in Q(R)$ ein gebrochenes Hauptideal.

Definition:Produkt von gebrochenen Idealen

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$. Dann definiert man für gebrochene Ideale ${}{\mathfrak {f}}$ und ${}{\mathfrak {g}}$ das Produkt ${}{\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {g}}$ als den von allen Produkten erzeugten ${}R$-Untermodul von ${}Q(R)$, also

${}{\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {g}}:=R\langle gf:\,f\in {\mathfrak {f}},\,g\in {\mathfrak {g}}\rangle \,,$

wobei die Produkte in ${}Q(R)$ zu nehmen sind.

Definition:Gebrochenes Ideal zu einem Divisor

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und

${}D=\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$

ein Divisor (wobei ${}{\mathfrak {p}}$ durch die Menge der Primideale ${}\neq 0$ läuft). Dann nennt man

${\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\right\}}$

das gebrochene Ideal zum Divisor ${}D$. Es wird mit ${}\operatorname {Id} (D)$ bezeichnet.

Definition:Divisor zum gebrochenen Ideal

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und ${}{\mathfrak {f}}\neq 0$ ein von ${}0$ verschiedenes gebrochenes Ideal. Dann nennt man den Divisor

${}\operatorname {div} ({\mathfrak {f}})=\sum _{\mathfrak {p}}m_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$

mit

${}m_{\mathfrak {p}}=\operatorname {min} \left(\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f){|}f\in {\mathfrak {f}},\,f\neq 0\right)\,$

den Divisor zum gebrochenen Ideal ${}{\mathfrak {f}}$.

Definition:Divisorenklassengruppe

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich. Es sei ${}\operatorname {Div} {\left(R\right)}$ die Gruppe der Divisoren und ${}H\subseteq \operatorname {Div} {\left(R\right)}$ sei die Untergruppe der Hauptdivisoren. Dann nennt man die Restklassengruppe

${}\operatorname {DKG} {\left(R\right)}=\operatorname {Div} {\left(R\right)}/H\,$

die Divisorenklassengruppe von ${}R$.

Definition:Monogene Algebra

Eine ${}R$- Algebra ${}A$ über einem kommutativen Ring ${}R$ heißt monogen, wenn sie als ${}A=R[X]/{\mathfrak {a}}$ mit einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R[X]$ geschrieben werden kann.

Definition:Kreisteilungskörper

Der ${}n$-te Kreisteilungskörper ist der Zerfällungskörper des Polynoms

$X^{n}-1$

über ${}\mathbb {Q}$.

Definition:Eulersche ${}\varphi$-Funktion

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ bezeichnet ${}{\varphi (n)}$ die Anzahl der Elemente von ${}(\mathbb {Z} /(n))^{\times }$. Man nennt ${}{\varphi (n)}$ die Eulersche Funktion.

Definition:Kreisteilungspolynom

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und seien ${}z_{1},\ldots ,z_{\varphi (n)}$ die primitiven komplexen Einheitswurzeln. Dann heißt das Polynom

${}\Phi _{n}=\prod _{i=1}^{\varphi (n)}(X-z_{i})\in {\mathbb {C} }[X]\,$

das ${}n$-te Kreisteilungspolynom.

Definition:Kreisteilungsring

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Der Ring der ganzen Zahlen im ${}n$-ten Kreisteilungskörper heißt ${}n$-ter Kreisteilungsring.

Definition:Verzweigungsindex

Zu einem injektiven Ringhomomorphismus ${}R\subseteq S$ zwischen diskreten Bewertungsringen nennt man die Ordnung einer Ortsuniformisierenden von ${}R$ in ${}S$ die Verzweigungsindex der Erweiterung.

Definition:Verzweigung

Ein injektiver Ringhomomorphismus ${}R\subseteq S$ zwischen diskreten Bewertungsringen heißt verzweigt, wenn seine Verzweigungsordnung ${}\geq 2$ ist.

Definition:Modul der Kähler-Differentiale

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra. Der von allen Symbolen ${}d(a)$, ${}a\in A$, erzeugte ${}A$- Modul, modulo den Identifizierungen

$d(ab)=ad(b)+bd(a){\text{ für alle }}a,b\in A$

und

$d(ra+sb)=rd(a)+sd(b){\text{ für alle }}r,s\in R{\text{ und }}a,b\in A,$

heißt Modul der Kähler-Differentiale von ${}A$ über ${}R$. Er wird mit

$\Omega _{A{|}R}$

bezeichnet.

Definition:Trägheitsgrad

Es sei ${}R\subseteq S$ eine endliche Erweiterung von kommutativen Ringen, sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal von ${}R$ und ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal von ${}S$ über ${}{\mathfrak {p}}$. Dann nennt man den Grad der Erweiterung der Restekörper ${}\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})$ den Trägheitsgrad von ${}{\mathfrak {q}}$ über ${}{\mathfrak {p}}$.

Definition:Voll zerlegtes Primideal

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K$, ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$. Ein von ${}0$ verschiedenes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ von ${}R$ heißt voll zerlegt in ${}S$, wenn es ${}n$ Primideale in ${}S$ oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ gibt.

Definition:Unzerlegtes Primideal

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K$, ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$. Ein von ${}0$ verschiedenes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ von ${}R$ heißt unzerlegt in ${}S$, wenn es genau ein Primideal in ${}S$ oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ gibt.

Definition:Invariantenring

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiert (von rechts). Dann bezeichnet man

${}R^{G}={\left\{f\in R\mid f\sigma =f{\text{ für alle }}\sigma \in G\right\}}\,$

als den Invariantenring (oder Fixring) von ${}R$ unter der Operation von ${}G$.

Definition:Zerlegungsgruppe

Es sei ${}R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$ und sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal von ${}S$. Dann nennt man

${}G_{\mathfrak {q}}={\left\{\sigma \in G\mid \sigma ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}\right\}}\,$

die Zerlegungsgruppe zu ${}{\mathfrak {q}}$.

Definition:Zerlegungskörper

Es sei ${}R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$ und sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal von ${}S$. Dann nennt man den Fixkörper zur Zerlegungsgruppe ${}G_{\mathfrak {q}}$ den Zerlegungskörper zu ${}{\mathfrak {q}}$. Er wird mit ${}Z_{\mathfrak {q}}$ bezeichnet.

Definition:Trägheitsgruppe

Es sei ${}R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$ und sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal von ${}S$. Dann nennt man

${}I_{\mathfrak {q}}={\left\{\sigma \in G_{\mathfrak {q}}\mid \sigma {|}_{\kappa ({\mathfrak {q}})}=\operatorname {Id} \right\}}\,$

die Trägheitsgruppe zu ${}{\mathfrak {q}}$.

Definition:Trägheitsskörper

Es sei ${}R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$ und sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal von ${}S$. Dann nennt man den Fixkörper zur Trägheitsgruppe ${}I_{\mathfrak {q}}$ den Trägheitskörper zu ${}{\mathfrak {q}}$. Er wird mit ${}T_{\mathfrak {q}}$ bezeichnet.

Definition:Legendre-Symbol

Für eine ungerade Primzahl ${}p$ und eine zu ${}p$ teilerfremde Zahl ${}k\in \mathbb {Z}$ definiert man das Legendre-Symbol, geschrieben ${}\left({\frac {k}{p}}\right)$ (sprich „${}k$ nach ${}p$“), durch

$\left({\frac {k}{p}}\right):={\begin{cases}1,{\text{ falls }}k{\text{ quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}},\\-1,{\text{ falls }}k{\text{ kein quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}}.\end{cases}}\,$

Definition:Quadratische Gaußsumme

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl und ${}\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ die erste primitive komplexe Einheitswurzel. Dann nennt man

${}g=\sum _{r=0}^{p-1}\left({\frac {r}{p}}\right)\zeta ^{r}\,$

die (erste) quadratische Gaußsumme.

Definition:Gitter

Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängige Vektoren im ${}\mathbb {R} ^{n}$. Dann heißt die Untergruppe ${}\mathbb {Z} v_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} v_{n}$ ein Gitter im ${}\mathbb {R} ^{n}$.

Definition:Konvexe Teilmenge

Eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten ${}P,Q\in T$ auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form

$rP+(1-r)Q{\text{ mit }}r\in [0,1],$

ebenfalls zu ${}T$ gehört.

Definition:Konvexe Hülle

Zu einer Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt die kleinste konvexe Teilmenge ${}T$, die ${}U$ umfasst, die konvexe Hülle von ${}U$.

Definition:Grundmasche

Zu einem durch linear unabhängige Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ gegebenen Gitter bezeichnet man die konvexe Hülle der Vektoren ${}\epsilon _{1}v_{1}+\cdots +\epsilon _{n}v_{n}$ mit ${}\epsilon _{i}\in \{0,1\}$ als die Grundmasche (oder Fundamentalmasche) des Gitters.

Definition:Zentralsymmetrisch

Eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt zentralsymmetrisch, wenn mit jedem Punkt ${}P\in T$ auch der Punkt ${}-P$ zu ${}T$ gehört.

Definition:Kompakt (Überdeckungskompakt)

Ein topologischer Raum ${}X$ heißt kompakt (oder überdeckungskompakt), wenn es zu jeder offenen Überdeckung

$X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,\,\,{\text{ mit }}U_{i}{\text{ offen und einer beliebigen Indexmenge }}I$

eine endliche Teilmenge ${}J\subseteq I$ derart gibt, dass

${}X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,$

ist.

Definition:Reelle Ganzheitsmatrix

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich vom Grad ${}n$ mit ${}r$ reellen Einbettungen und ${}s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei

$\tau ^{\mathbb {R} }\colon R\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}\cong \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{2s}$

die reelle Gesamteinbettung. Es sei ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ eine Ganzheitsbasis von ${}R$. Dann nennt man die reelle ${}n\times n$- Matrix

${\left(\tau _{j}^{\mathbb {R} }(b_{k})\right)}_{1\leq j,k\leq n}$

die reelle Ganzheitsmatrix (zu dieser Basis).

Definition:Klassenzahl

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Dann nennt man die Anzahl der Elemente in der Klassengruppe von ${}R$ die Klassenzahl von ${}R$.

Definition:Fundamentaleinheit

Eine Familie von Einheiten ${}u_{1},\ldots ,u_{m}\in R$ in einem Zahlbereich ${}R$ heißt ein System von Fundamentaleinheiten, wenn man jede Einheit ${}u$ von ${}R$ in eindeutiger Weise als

${}u=\zeta u_{1}^{n_{1}}\cdots u_{m}^{n_{m}}\,$

mit einer Einheitswurzel ${}\zeta$ und ganzzahligen Exponenten ${}n_{j}$ schreiben kann.

Definition:Regulator

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich mit ${}r$ reellen Einbettungen und ${}s$ Paaren von komplexen Einbettungen und es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{r+s-1}$ ein System von Fundamentaleinheiten. Dann nennt man den Betrag der Determinante der reellen ${}(r+s-1)\times (r+s-1)$- Matrix

${\begin{pmatrix}L_{1}(u_{1})&\ldots &L_{1}(u_{r+s-1})\\\vdots &\ddots &\vdots \\L_{r+s-1}(u_{1})&\ldots &L_{r+s-1}(u_{r+s-1})\end{pmatrix}},$

wobei ${}L=(L_{1},\ldots ,L_{r+s})$ die logarithmische Gesamtabbildung bezeichnet, den Regulator von ${}R$. Er wird mit ${}\operatorname {Reg} (R)$ bezeichnet.