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Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Definitionsliste

Aus Wikiversity


Definition:Einheit

Ein Element in einem kommutativen Ring heißt Einheit, wenn es ein Element mit gibt.



Definition:Diophantische Gleichung

Zu einem Polynom heißt

eine diophantische Gleichung. Unter einer Lösung einer diophantischen Gleichung versteht man ein ganzzahliges Zahlentupel , das in eingesetzt ergibt.



Definition:Integritätsbereich

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.



Definition:Teilen (kommutativer Ring)

Es sei ein kommutativer Ring, und Elemente in . Man sagt, dass das Element teilt (oder dass von geteilt wird, oder dass ein Vielfaches von ist), wenn es ein derart gibt, dass ist. Man schreibt dafür auch .



Definition:Teilerfremd

Es sei ein kommutativer Ring. Man sagt, dass zwei Elemente teilerfremd sind, wenn jedes Element , das sowohl als auch teilt, eine Einheit ist.



Definition:Irreduzibles Element

Eine Nichteinheit in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.



Definition:Primelement

Eine Nichteinheit in einem kommutativen Ring heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt ein Produkt  mit , so teilt einen der Faktoren.



Definition:Hauptidealbereich

Ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealbereich.



Definition:Faktorieller Bereich

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn jede Nichteinheit sich als ein Produkt von Primelementen schreiben lässt.



Definition:Primideal

Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt Primideal, wenn ist und wenn für mit folgt: oder .



Definition:Maximales Ideal

Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt maximales Ideal, wenn ist und wenn es zwischen und keine weiteren Ideale gibt.



Definition:Spektrum (kommutativer Ring)

Zu einem kommutativen Ring nennt man die Menge der Primideale von das Spektrum von , geschrieben



Definition:Offene Menge (Spektrum)

Auf dem Spektrum eines kommutativen Ringes ist die Zariski-Topologie dadurch gegeben, dass zu einer beliebigen Teilmenge die Mengen

als offen erklärt werden.



Definition:Multiplikatives System

Es sei ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften

  1. ,
  2. Wenn , dann ist auch ,

gelten.



Definition:Überkreuzrelation zu multiplikativem System

Es sei ein kommutativer Ring und ein multiplikatives System. Auf der Produktmenge nennt man die durch

falls es ein mit gibt, die durch das multiplikative System gegebene Überkreuzrelation.



Definition:Nenneraufnahme

Es sei ein kommutativer Ring und ein multiplikatives System. Dann versteht man unter der Nenneraufnahme zu die Quotientenmenge zur Überkreuzrelation auf mit den in Lemma 4.8 beschriebenen Verknüpfungen. Die Nenneraufnahme wird mit bezeichnet.



Definition:Quotientenkörper

Zu einem Integritätsbereich ist der Quotientenkörper als die Menge der formalen Brüche

mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.



Definition:Lokaler Ring

Ein kommutativer Ring heißt lokal, wenn genau ein maximales Ideal besitzt.



Definition:Restekörper

Zu einem kommutativen lokalen Ring nennt man den Restklassenkörper zum einzigen maximalen Ideal von den Restekörper von .



Definition:Lokalisierung

Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Primideal. Dann nennt man die Nenneraufnahme an die Lokalisierung von an . Man schreibt dafür . Es ist also



Definition:Faserring

Zu einem Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und einem Primideal nennt man den Faserring über .



Definition:Algebra

Es seien und kommutative Ringe und sei ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man eine -Algebra.



Definition:Körpererweiterung

Es sei ein Körper und ein Unterkörper von . Dann heißt ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von und die Inklusion heißt eine Körpererweiterung.



Definition:Endliche Körpererweiterung

Eine Körpererweiterung heißt endlich, wenn ein endlichdimensionaler Vektorraum über ist.



Definition:Grad einer Körpererweiterung

Es sei eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die - Vektorraumdimension von den Grad der Körpererweiterung.



Definition:Algebraisches Element

Es sei ein Körper und eine kommutative - Algebra. Es sei ein Element. Dann heißt algebraisch über , wenn es ein von verschiedenes Polynom mit gibt.



Definition:Minimalpolynom

Es sei ein Körper und eine - Algebra. Es sei ein über algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom mit , welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von .



Definition:Galoisgruppe

Es sei eine Körpererweiterung. Dann nennt man die Automorphismengruppe

die Galoisgruppe der Körpererweiterung.



Definition:Galoiserweiterung

Es sei eine endliche Körpererweiterung. Sie heißt eine Galoiserweiterung, wenn

gilt.



Definition:Frobeniushomomorphismus

Es sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte. Der Frobeniushomomorphismus ist der Ringhomomorphismus



Definition:Ganzheitsgleichung

Es seien und kommutative Ringe und sei eine Ringerweiterung. Für ein Element heißt eine Gleichung der Form

wobei die Koeffizienten , zu gehören, eine Ganzheitsgleichung für .



Definition:Ganzes Element

Es seien und kommutative Ringe und eine Ringerweiterung. Ein Element heißt ganz (über ), wenn eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus erfüllt.



Definition:Ganzer Abschluss

Es seien und kommutative Ringe und eine Ringerweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente , die ganz über sind, den ganzen Abschluss von in .



Definition:Ganze Ringerweiterung

Es seien und kommutative Ringe und sei eine Ringerweiterung. Dann heißt ganz über , wenn jedes Element ganz über ist.



Definition:Ganz-abgeschlossen

Es seien und kommutative Ringe und eine Ringerweiterung. Man nennt ganz-abgeschlossen in , wenn der ganze Abschluss von in gleich ist.



Definition:Normal

Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.



Definition:Normalisierung

Es sei ein Integritätsbereich und sein Quotientenkörper. Dann nennt man den ganzen Abschluss von in die Normalisierung von .



Definition:Ganzer Zahlbereich

Es sei eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man den ganzen Abschluss von in den Ring der ganzen Zahlen in . Solche Ringe nennt man auch Zahlbereiche.



Definition:Spur eines Algebraelementes

Es sei ein kommutativer Ring und sei eine kommutative endliche freie - Algebra. Zu einem Element nennt man die Spur des - Modulhomomorphismus

die Spur von . Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Norm

Es sei ein kommutativer Ring und sei eine kommutative endliche freie - Algebra. Zu einem Element nennt man die Determinante des - Modulhomomorphismus

die Norm von . Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Diskriminate einer Basis

Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und seien Elemente in . Dann wird die Diskriminante von durch

definiert.



Definition:Diskriminante eines Zahlbereichs

Es sei der Zahlbereich zur endlichen Körpererweiterung . Dann nennt man die Diskriminante einer Ganzheitsbasis von die Diskriminante von (und die Diskriminante von ).



Definition:Komplexe Ganzheitsmatrix

Es sei ein Zahlbereich vom Grad und

die komplexe Gesamteinbettung. Es sei eine Ganzheitsbasis von . Dann nennt man die komplexe - Matrix

die komplexe Ganzheitsmatrix (zu dieser Basis).



Definition:Quadratischer Zahlbereich

Ein quadratischer Zahlbereich ist der Ring der ganzen Zahlen in einem Erweiterungskörper von vom Grad .



Definition:Reell- und imaginär-quadratische Zahlbereiche

Es sei quadratfrei und sei der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann heißt reell-quadratisch, wenn positiv ist, und imaginär-quadratisch, wenn negativ ist.



Definition:Konjugation

Es sei eine quadratfreie Zahl und sei die zugehörige quadratische Körpererweiterung und der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann wird der Automorphismus (auf , auf und auf )

als Konjugation bezeichnet.



Definition:Noetherscher Ring

Ein kommutativer Ring heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.



Definition:Dedekindbereich

Einen Integritätsbereich nennt man einen Dedekindbereich, wenn er noethersch und normal ist und wenn jedes von verschiedene Primideal darin maximal ist.



Definition:Norm eines Ideals

Zu einem Ideal in einem Zahlbereich heißt die (endliche) Anzahl des Restklassenringes die Norm von . Sie wird mit

bezeichnet.



Definition:Diskreter Bewertungsring

Ein diskreter Bewertungsring ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in gibt.



Definition:Ordnung (diskreter Bewertungsring)

Zu einem Element , in einem diskreten Bewertungsring mit Primelement heißt die Zahl mit der Eigenschaft , wobei eine Einheit bezeichnet, die Ordnung von . Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Ordnung an Primstelle

Es sei ein Dedekindbereich, ein Primideal in und , . Dann heißt die Ordnung im diskreten Bewertungsring die Ordnung von am Primideal (oder an der Primstelle oder in ). Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Hauptdivisor zu Ringelement

Es sei ein Dedekindbereich und , . Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal in die Ordnung zuordnet, der durch definierte Hauptdivisor. Er wird mit bezeichnet und als formale Summe

geschrieben.



Definition:Effektiver Divisor

Es sei ein Dedekindbereich. Ein effektiver Divisor ist eine formale Summe

die sich über alle Primideale aus erstreckt und wobei natürliche Zahlen sind mit für fast alle .



Definition:Effektiver Divisor zu einem Ideal

Es sei ein Dedekindbereich und ein von verschiedenes Ideal in . Dann nennt man den Divisor

mit

den Divisor zum Ideal .



Definition:Ideal zu einem effektiven Divisor

Es sei ein Dedekindbereich und

ein effektiver Divisor (wobei durch die Menge der Primideale läuft). Dann nennt man

das Ideal zum Divisor . Es wird mit bezeichnet.



Definition:Produktring

Es seien kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt

versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der , .



Definition:Idempotentes Element

Ein Element eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn gilt.



Definition:Divisor

Es sei ein Dedekindbereich. Ein Divisor ist eine formale Summe

die sich über alle Primideale aus erstreckt und wobei ganze Zahlen mit für fast alle sind.



Definition:Hauptdivisor

Es sei ein Dedekindbereich und , . Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal in die Ordnung zuordnet, der durch definierte Hauptdivisor. Er wird mit bezeichnet und als formale Summe

geschrieben.



Definition:Gebrochenes Ideal

Es sei ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper . Dann nennt man einen endlich erzeugten - Untermodul des - Moduls ein gebrochenes Ideal.



Definition:Gebrochenes Hauptideal

Es sei ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper . Dann nennt man ein gebrochenes Ideal der Form mit ein gebrochenes Hauptideal.



Definition:Produkt von gebrochenen Idealen

Es sei ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper . Dann definiert man für gebrochene Ideale und das Produkt als den von allen Produkten erzeugten -Untermodul von , also

wobei die Produkte in zu nehmen sind.



Definition:Gebrochenes Ideal zu einem Divisor

Es sei ein Dedekindbereich und

ein Divisor (wobei durch die Menge der Primideale läuft). Dann nennt man

das gebrochene Ideal zum Divisor . Es wird mit bezeichnet.



Definition:Divisor zum gebrochenen Ideal

Es sei ein Dedekindbereich und ein von verschiedenes gebrochenes Ideal. Dann nennt man den Divisor

mit

den Divisor zum gebrochenen Ideal .



Definition:Divisorenklassengruppe

Es sei ein Dedekindbereich. Es sei die Gruppe der Divisoren und sei die Untergruppe der Hauptdivisoren. Dann nennt man die Restklassengruppe

die Divisorenklassengruppe von .



Definition:Monogene Algebra

Eine - Algebra über einem kommutativen Ring heißt monogen, wenn sie als mit einem Ideal geschrieben werden kann.



Definition:Kreisteilungskörper

Der -te Kreisteilungskörper ist der Zerfällungskörper des Polynoms

über .



Definition:Eulersche -Funktion

Zu einer natürlichen Zahl bezeichnet die Anzahl der Elemente von . Man nennt die Eulersche Funktion.



Definition:Kreisteilungspolynom

Es sei und seien die primitiven komplexen Einheitswurzeln. Dann heißt das Polynom

das -te Kreisteilungspolynom.



Definition:Kreisteilungsring

Es sei . Der Ring der ganzen Zahlen im -ten Kreisteilungskörper heißt -ter Kreisteilungsring.



Definition:Verzweigungsindex

Zu einem injektiven Ringhomomorphismus zwischen diskreten Bewertungsringen nennt man die Ordnung einer Ortsuniformisierenden von in die Verzweigungsindex der Erweiterung.



Definition:Verzweigung

Ein injektiver Ringhomomorphismus zwischen diskreten Bewertungsringen heißt verzweigt, wenn seine Verzweigungsordnung ist.



Definition:Modul der Kähler-Differentiale

Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative - Algebra. Der von allen Symbolen , , erzeugte - Modul, modulo den Identifizierungen

und

heißt Modul der Kähler-Differentiale von über . Er wird mit

bezeichnet.



Definition:Trägheitsgrad

Es sei eine endliche Erweiterung von kommutativen Ringen, sei ein Primideal von und ein Primideal von über . Dann nennt man den Grad der Erweiterung der Restekörper den Trägheitsgrad von über .



Definition:Voll zerlegtes Primideal

Es sei ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper , eine Körpererweiterung vom Grad und der ganze Abschluss von in . Ein von verschiedenes Primideal von heißt voll zerlegt in , wenn es Primideale in oberhalb von gibt.



Definition:Unzerlegtes Primideal

Es sei ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper , eine Körpererweiterung vom Grad und der ganze Abschluss von in . Ein von verschiedenes Primideal von heißt unzerlegt in , wenn es genau ein Primideal in oberhalb von gibt.



Definition:Invariantenring

Es sei eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiert (von rechts). Dann bezeichnet man

als den Invariantenring (oder Fixring) von unter der Operation von .



Definition:Zerlegungsgruppe

Es sei eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper und sei eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe . Es sei der ganze Abschluss von in und sei ein Primideal von . Dann nennt man

die Zerlegungsgruppe zu .



Definition:Zerlegungskörper

Es sei eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper und sei eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe . Es sei der ganze Abschluss von in und sei ein Primideal von . Dann nennt man den Fixkörper zur Zerlegungsgruppe den Zerlegungskörper zu . Er wird mit bezeichnet.



Definition:Trägheitsgruppe

Es sei eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper und sei eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe . Es sei der ganze Abschluss von in und sei ein Primideal von . Dann nennt man

die Trägheitsgruppe zu .



Definition:Trägheitsskörper

Es sei eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper und sei eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe . Es sei der ganze Abschluss von in und sei ein Primideal von . Dann nennt man den Fixkörper zur Trägheitsgruppe den Trägheitskörper zu . Er wird mit bezeichnet.



Definition:Legendre-Symbol

Für eine ungerade Primzahl und eine zu teilerfremde Zahl definiert man das Legendre-Symbol, geschrieben (sprich „ nach “), durch



Definition:Quadratische Gaußsumme

Es sei eine ungerade Primzahl und die erste primitive komplexe Einheitswurzel. Dann nennt man

die (erste) quadratische Gaußsumme.



Definition:Gitter

Es seien linear unabhängige Vektoren im . Dann heißt die Untergruppe ein Gitter im .



Definition:Konvexe Teilmenge

Eine Teilmenge heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form

ebenfalls zu gehört.



Definition:Konvexe Hülle

Zu einer Teilmenge heißt die kleinste konvexe Teilmenge , die umfasst, die konvexe Hülle von .



Definition:Grundmasche

Zu einem durch linear unabhängige Vektoren gegebenen Gitter bezeichnet man die konvexe Hülle der Vektoren mit als die Grundmasche (oder Fundamentalmasche) des Gitters.



Definition:Zentralsymmetrisch

Eine Teilmenge heißt zentralsymmetrisch, wenn mit jedem Punkt auch der Punkt zu gehört.



Definition:Kompakt (Überdeckungskompakt)

Ein topologischer Raum heißt kompakt (oder überdeckungskompakt), wenn es zu jeder offenen Überdeckung

eine endliche Teilmenge derart gibt, dass

ist.



Definition:Reelle Ganzheitsmatrix

Es sei ein Zahlbereich vom Grad mit reellen Einbettungen und Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei

die reelle Gesamteinbettung. Es sei eine Ganzheitsbasis von . Dann nennt man die reelle - Matrix

die reelle Ganzheitsmatrix (zu dieser Basis).



Definition:Klassenzahl

Es sei ein Zahlbereich. Dann nennt man die Anzahl der Elemente in der Klassengruppe von die Klassenzahl von .



Definition:Fundamentaleinheit

Eine Familie von Einheiten in einem Zahlbereich heißt ein System von Fundamentaleinheiten, wenn man jede Einheit von in eindeutiger Weise als

mit einer Einheitswurzel und ganzzahligen Exponenten schreiben kann.



Definition:Regulator

Es sei ein Zahlbereich mit reellen Einbettungen und Paaren von komplexen Einbettungen und es sei ein System von Fundamentaleinheiten. Dann nennt man den Betrag der Determinante der reellen - Matrix

wobei die logarithmische Gesamtabbildung bezeichnet, den Regulator von . Er wird mit bezeichnet.