Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 20/latex
\setcounter{section}{20}
\zwischenueberschrift{Zerlegungsverhalten}
Wir besprechen nun systematisch, wie eine Primzahl $p$ in einem \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} $R$ zerlegt wird, also wie viele Primideale von $R$ oberhalb von $(p)$ liegen, wie diese sich zueinander verhalten und wie die Abhängigkeit von $p$ aussieht. Viele Eigenschaften hängen dabei allein vom \definitionsverweis {Faserring}{}{} $R/pR$ ab, von dem wir nach Korollar 8.8 wissen, dass $R/pR$ als additive Gruppe isomorph zu ${ \left( \Z/(p) \right) }^n$ ist, wenn $n$ der Grad der Erweiterung ist.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Erweiterung}{}{}
von kommutativen Ringen, sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
von $R$ und ${\mathfrak q}$ ein Primideal von $S$ über ${\mathfrak p}$. Dann nennt man den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
der Erweiterung der
\definitionsverweis {Restekörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \kappa ( {\mathfrak p} )
}
{ \subseteq }{\kappa ( {\mathfrak q} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den
\definitionswort {Trägheitsgrad}{}
von ${\mathfrak q}$ über ${\mathfrak p}$.
}
\inputbemerkung
{}
{
Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche Erweiterung von Dedekindbereichen ist und ${\mathfrak m}$ ein maximales Ideal von $R$ ist und ${\mathfrak n}$ ein maximales Ideal von $S$ über ${\mathfrak m}$, so ist der
\definitionsverweis {Trägheitsgrad}{}{}
einfach der Grad der Körpererweiterung
\maabbdisp {} {R/{\mathfrak m}} { S/{\mathfrak n}
} {}
\zusatzklammer {der Trägheitsgrad im Nullideal ist einfach der Grad der Erweiterung der Quotientenkörper} {} {.}
Wenn $R$ und damit auch $S$ ein Zahlbereich ist, so sind diese Körper stets endlich von gleicher Charakteristik $p$, und daher liegt eine Erweiterung der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb F}_{ q }
}
{ \subseteq }{ {\mathbb F}_{ q' }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{p^e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q'
}
{ = }{p^{e'}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vor.
}
\inputfaktbeweis
{Endliche Erweiterung/Eine normierte Gleichung/Trägheitsgrad/Abschätzung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Erweiterung}{}{}
der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{R[X]/(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem normierten Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$d$. Es sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
von $R$.}
\faktfolgerung {Dann ist die Summe über alle
\definitionsverweis {Trägheitsgrade}{}{}
zu Primidealen über ${\mathfrak p}$ durch $d$ beschränkt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Durch Übergang mittels
\maabb {} {R} { \kappa ({\mathfrak p})
} {}
kann man direkt annehmen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Körper ist und dass das Primideal das Nullideal ist. Es liegt dann die endliche Erweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{K[X]/(F)
}
{ \defeqr }{B
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vor. Die Primideale von $S$ oberhalb von ${\mathfrak p}$ entsprechen den Primidealen von $B$ und damit den irreduziblen Teilern von $F$ in
\mathl{K[X]}{.} Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{ F_1^{n_1} \cdots F_k^{n_k}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Primfaktorzerlegung von $F$ in $K[X]$. Die relevanten Körpererweiterungen sind dann die
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq} {K[X]/(F_j)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Aussage folgt daher direkt aus Gradeigenschaften von Polynomen über einem Körper.
\inputfaktbeweis
{Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Fundamentale Gleichung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
$K$,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und $S$ der
\definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{}
von $R$ in $L$. Es sei ${\mathfrak p}$ ein von $0$ verschiedenes
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
von $R$ mit der Primidealzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} S
}
{ =} { {\mathfrak q}_1^{e_1} \cdots {\mathfrak q}_k^{e_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $S$. Die Körpererweiterungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \kappa ( {\mathfrak p} )
}
{ \subseteq }{ \kappa ( {\mathfrak q}_j )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
haben die
\definitionsverweis {Trägheitsgrade}{}{}
$f_j$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} { \sum_{j = 1}^k e_jf_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
dem chinesischen Restsatz für Dedekindbereiche
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S/ {\mathfrak p}S
}
{ =} { S/ {\mathfrak q}_1^{e_1} \times \cdots \times S/ {\mathfrak q}_k^{e_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir können über dem
\definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{}
$R_{\mathfrak p}$ argumentieren, also davon ausgehen, dass $R$ ein diskreter Bewertungsring mit dem maximalen Ideal ${\mathfrak p}$ ist. Die angeführten Restklassenringe ändern sich dadurch nicht. Es ist $S$ ein freier $R$-Modul vom Rang $n$ und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S/{\mathfrak p} S
}
{ =} { S \otimes_{ R } R/{\mathfrak p}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
$R/{\mathfrak p}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Oben rechts steht das Produkt der $R/{\mathfrak p}$-Vektorräume $S/{\mathfrak q}_j^{e_j}$ und es ist zu zeigen, dass deren $R/{\mathfrak p}$-Dimension gleich $e_jf_j$ ist. Dies zeigen wir durch Induktion über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e
}
{ = }{e_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei der Induktionsanfang für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Definition des Trägheitsgrades $f_j$ ist. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak q}^{e+1}
}
{ \subseteq }{{\mathfrak q}^{e}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt eine
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, {\mathfrak q}^{e} / {\mathfrak q}^{e+1} \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, S/{\mathfrak q}^{e+1} \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, S/ {\mathfrak q}^{e} \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
vor. Dabei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak q}^{e} / {\mathfrak q}^{e+1}
}
{ =} { {\mathfrak q}^{e} S_{\mathfrak q} / {\mathfrak q}^{e+1} S_{\mathfrak q}
}
{ =} { S_{\mathfrak q} / {\mathfrak q} S_{\mathfrak q}
}
{ =} { S/ {\mathfrak q}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Deshalb folgt die Aussage aufgrund der Vektorraumadditivität in kurzen exakten Sequenzen.
Die in diesem Satz auftretende Gleichung nennt man auch \stichwort {fundamentale Gleichung} {.} Nach
Lemma 18.3
liegt genau dann
\definitionsverweis {Verzweigung}{}{}
oberhalb von ${\mathfrak p}$ vor, wenn einer der
\definitionsverweis {Verzweigungsindizes}{}{}
$e_j$ größer als $1$ ist.
Die beiden extremen Möglichkeiten für das Zerlegungsverhalten bekommen einen eigenen Namen.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
$K$,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und $S$ der
\definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{}
von $R$ in $L$. Ein von $0$ verschiedenes
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
${\mathfrak p}$ von $R$ heißt
\definitionswort {voll zerlegt}{}
in $S$, wenn es $n$ Primideale in $S$ oberhalb von ${\mathfrak p}$ gibt.
}
Im voll zerlegten Fall ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e_j
}
{ = }{f_j
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ = }{ 1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es liegt keine Verzweigung von und alle Restekörper stimmen mit dem Grundkörper $R/ {\mathfrak p}$ überein.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
$K$,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und $S$ der
\definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{}
von $R$ in $L$. Ein von $0$ verschiedenes
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
${\mathfrak p}$ von $R$ heißt
\definitionswort {unzerlegt}{}
in $S$, wenn es genau ein Primideal in $S$ oberhalb von ${\mathfrak p}$ gibt.
}
In diesem Fall ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ef
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die Ringerweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R[X]
}
{ \subset }{ {\mathbb C} [X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Auf der Ebene der
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
liegt die
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{}
der zugehörigen
\definitionsverweis {Funktionenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\R(X)
}
{ \subset }{ {\mathbb C}(X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vor, und ${\mathbb C}[X]$ ist der
\definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{}
von $\R[X]$ in ${\mathbb C}(X)$. Die
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
$\neq 0$ von $\R[X]$ sind von der Form $(X-a)$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder von der Form
\mathl{(X^2+bX+c)}{} mit einem quadratischen Polynom ohne reelle Nullstelle. Die Restekörper in diesem zweiten Fall sind isomorph zu ${\mathbb C}$. Die Primideale in ${\mathbb C}[X]$ sind alle von der Form $(X-a)$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
In der Erweiterung liegt über dem Primideal $(X-a)$ das entsprechende Ideal, dieses Ideal ist also
\definitionsverweis {unzerlegt}{}{,}
die
\definitionsverweis {Verzweigungsordnung}{}{}
ist $1$ und die Restekörpererweiterung ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\R
}
{ \subset }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
der
\definitionsverweis {Trägheitsgrad}{}{}
ist also $2$. Zu einem Primideal
\mathl{(X^2+bX+c)}{} zu einem Polynom ohne reelle Nullstelle seien
\mathkor {} {z} {und} {\overline{ z }} {}
die zueinander konjugierten komplexen Nullstellen. In ${\mathbb C}[X]$ gilt die Idealzerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (X^2+bX+c)
}
{ = }{ (X-z) (X- \overline{ z } )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Verzweigungsordnungen sind also $1$ und in den Restekörpern liegt ein Isomorphismus vor, die Trägheitsgrade sind also $1$. Diese Primideale sind
\definitionsverweis {voll zerlegt}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \Z[X]/(X^4+X^3+X^2+X+1)
}
{ = }{ \Z[x]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir beschreiben exemplarisch das Verhalten von Primzahlen in diesem Zahlbereich. Es sei zuerst
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Hier ist über
\mathl{\Z/(5)}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (X-1) (X^4+X^3+X^2+X+1)
}
{ =} { X^5-1
}
{ =} { (X-1)^5
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^4+X^3+X^2+X+1
}
{ = }{ (X-1)^4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es gibt also nur ein Primideal oberhalb von $(5)$ und dessen Restklassenkörper ist $\Z/(5)$, der
\definitionsverweis {Trägheitsgrad}{}{}
ist also $1$ und der
\definitionsverweis {Verzweigungsindex}{}{}
ist $4$.
Das Zerlegungsverhalten der anderen Primzahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \neq }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
versuchen wir mit Hilfe eines Zwischenringes zu verstehen. Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { x-x^2-x^3+x^4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Eine direkte Rechnung
\zusatzklammer {siehe
Beispiel 17.5} {} {}
zeigt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v^2
}
{ = }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
d.h. es liegt ein Zwischenring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z
}
{ \subset} { \Z[ \sqrt{5} ]
}
{ \subset} { \Z[ { \frac{ 1+ \sqrt{5} }{ 2 } } ]
}
{ =} { \Z[x^3+x^2 ]
}
{ =} {S
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ \subset} { \Z[x]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}{}{}
vor, wobei der Ganzheitsring zu $\sqrt{5}$ mit
Satz 9.8
bestimmt wurde.
Für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q
}
{ =} { 1,4 \mod 5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist $5$ ein Quadrat modulo $q$. Über diesen Primzahlen liegen in $S$ zwei Primideale, beide mit dem Restekörper $\Z/(q)$ und dem Trägheitsgrad $1$. Über diesen Primzahlen zerfällt das fünfte Kreisteilungspolynom in zwei Faktoren vom Grad $2$. Ob es weiter in Linearfaktoren zerfällt, hängt von $q$ ab.
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{11
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind $1,3,4,5,9$ fünfte Einheitswurzeln in $\Z/(11)$ und das Kreisteilungspolynom hat die Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^4+X^3+X^2+X+1
}
{ =} {(X-3)(X+2)(X-4)(X-5)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Über $(11)$ liegen also vier Primideale, jeweils mit dem Trägheitsgrad $1$. Ein entsprechendes Verhalten gilt für alle Primzahlen $q$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{1 \mod 5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Korollar 23.3.
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{4 \mod 5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es nur die $1$ als fünfte Einheitswurzel und es gilt
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ X^4+X^3+X^2+X+1
}
{ =} { { \left( X^2 + { \frac{ \sqrt{5} + 1 }{ 2 } } X+1 \right) } { \left( X^2 -{ \frac{ \sqrt{5} -1 }{ 2 } } X+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei für $\sqrt{5}$ eine Quadratwurzel von $5$ aus
\mathl{\Z/(q)}{} einzusetzen ist. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{19
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist beispielsweise
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{9^2
}
{ = }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ X^4+X^3+X^2+X+1
}
{ =} { { \left( X^2 +5 X+1 \right) } { \left( X^2 +15 X+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{3 \mod 5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
}
Es ist einfach Beispiele von Zahlbereichen anzugeben, in denen jedes Primideal des Grundringes zerlegt \zusatzklammer {also nicht unzerlegt} {} {} ist. Für das folgende Beispiel siehe auch Korollar 22.9.
\inputbeispiel{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
verschiedene quadratfreie Zahlen, sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subset} {L
}
{ =} { \Q[ \sqrt{a}, \sqrt{b} ]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die zugehörige
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
vom Grad $4$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ =} { \Z [ \sqrt{a}, \sqrt{b} ]
}
{ \subseteq} { S
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Ganzheitsring}{}{}
von $\Z$ in $L$, wobei für dieses Beispiel der Unterschied zwischen
\mathkor {} {T} {und} {S} {}
irrelevant ist. Wir bestimmen die Faser über einem Primideal zu einer Primzahl $p$. Der beschreibende Ring ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T \otimes_{ \Z } \Z/(p)
}
{ =} { \Z[X,Y]/(X^2-a,Y^2-b) \otimes_{ \Z } \Z/(p)
}
{ =} { \Z/(p) [X,Y]/(X^2-a,Y^2-b)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir beschränken uns auf Primzahlen $\geq 3$, die weder
\mathkor {} {a} {noch} {b} {}
teilen, was bedeutet, dass die zugehörigen Restklassen Einheiten in $\Z/(p)$ sind. Wenn $a$
\zusatzklammer {entsprechend für $b$} {} {}
ein Quadrat in
\mathl{\Z/(p)}{} ist, sagen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {r^2
}
{ =} {(-r)^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
so ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \Z/(p) [X,Y]/(X^2-a,Y^2-b)
}
{ =} { \Z/(p) [X,Y]/((X-r)(X+r) ,Y^2-b)
}
{ =} { ( \Z/(p) [Y]/(Y^2-b) ) [X]/((X-r)(X+r))
}
{ =} { ( \Z/(p) [Y]/(Y^2-b) ) \times ( \Z/(p) [Y]/(Y^2-b) )
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
wobei die letzte Identifizierung durch
\mathl{X \mapsto (r,-r )}{} gegeben ist. Der Faserring ist also ein Produktring und kein Körper und $(p)$ zerfällt in $T$ und dann auch in $S$ in zumindest zwei Primideale.
Wenn hingegen sowohl
\mathkor {} {a} {als auch} {b} {}
Nichtquadrate in
\mathl{\Z/(p)}{} sind, so ist das Produkt $ab$ ein Quadrat, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ab
}
{ = }{s^2
}
{ = }{(-s)^2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann gelten, da ja $a$ eine Einheit ist, in
\mathl{\Z/(p) [X,Y]}{} die Idealgleichheiten
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (X^2-a,Y^2-b)
}
{ =} { (X^2-a, aY^2-ab)
}
{ =} { (X^2-a, aY^2-s^2)
}
{ =} { (X^2-a, X^2Y^2-s^2)
}
{ =} { (X^2-a, (XY-s)(XY-s))
}
}
{}
{}{}
und damit ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \Z/(p) [X,Y]/(X^2-a,Y^2-b)
}
{ =} { \Z/(p) [X,Y]/(X^2-a, (XY-s)(XY-s))
}
{ =} { ( \Z/(p) [X]/(X^2-a) ) [Y ]/(XY-s)(XY-s)
}
{ =} { ( \Z/(p) [X]/(X^2-a) ) [Y ]/ { \left( Y- { \frac{ s }{ X } } \right) } { \left( Y-{ \frac{ s }{ X } } \right) }
}
{ =} { ( \Z/(p) [X]/(X^2-a) ) \times ( \Z/(p) [X]/(X^2-a) )
}
}
{}
{}{,}
es liegt also wieder ein Produktring vor.
}