Kurs:Analysis/Teil I/36/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 6 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Betrag} {} eines Elementes $x$ in einem angeordneten Körper $K$.
}{Der \stichwort {Grad} {} eines Polynoms
\mathbed {P \in K[X]} {}
{P \neq 0} {}
{} {} {} {,}
über einem Körper $K$.
}{Ein \stichwort {lokales Maximum} {} einer Funktion
\maabbdisp {f} {D} {\R
} {}
\zusatzklammer {\mathlk{D \subseteq \R}{} eine Teilmenge} {} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die Zahl $\pi$ \zusatzklammer {gefragt ist nach der analytischen Definition} {} {.}
}{Die
\stichwort {Taylor-Reihe} {}
zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion
\maabbdisp {f} {U} { {\mathbb K}
} {}
auf einer offenen Menge
\mathl{U \subseteq {\mathbb K}}{} in einem Punkt
\mathl{a \in U}{.}
}{Eine
\stichwort {ortsunabhängige} {}
\definitionsverweis {gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'= f(t,y)} { . }
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Der Betrag von
\mathl{x}{} ist folgendermaßen definiert.
\mathdisp {\betrag { x } = \begin{cases} x \text{ falls } x \geq 0 \\
-x \text{ falls } x < 0 \, . \end{cases}} { }
}{Der Grad eines von
\mathl{0}{} verschiedenen Polynoms
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {a_0 + a_1X+a_2X^2 + \cdots + a_nX^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{a_n \neq 0}{} ist $n$.
}{Man sagt, dass $f$ in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x'
}
{ \in }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x-x' }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ \geq} { f(x')
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Es sei $s$ die
eindeutig bestimmte
\definitionsverweis {reelle}{}{}
\definitionsverweis {Nullstelle}{}{}
der
\definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mathl{[0,2]}{.} Die Kreiszahl $\pi$ ist definiert durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi
}
{ \defeq} { 2s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die Taylor-Reihe zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$ ist
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^{ \infty } \frac{ f^{( k )}(a)}{ k !} (x-a)^{ k }} { . }
}{Ortsunabhängig bedeutet, dass die Funktion $f$ nicht von $y$ abhängt.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der
\stichwort {Satz über beschränkte Teilmengen} {}
von $\R$.}{Der
\stichwort {Satz über die stetige Fortsetzbarkeit} {}
einer Funktion
\maabbdisp {} {T} {{\mathbb K}
} {,}
wobei
\mathl{T \subseteq {\mathbb K}}{} eine Teilmenge ist.}{Der
\stichwort {Mittelwertsatz der Integralrechnung} {.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Jede nichtleere nach oben beschränkte
Teilmenge der reellen Zahlen besitzt ein Supremum
in $\R$.}{Es sei $\overline{ T }$ die Menge aller Berührpunkte von $T$ und
\maabbdisp {f} {T} { {\mathbb K}
} {}
sei gleichmäßig stetig. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung
\maabbdisp {\tilde{f}} { \overline{ T } } { {\mathbb K}
} {.}}{Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R
} {}
eine stetige Funktion. Dann gibt es ein
\mathl{c \in [a,b]}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t
}
{ =} {f(c)(b-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
In einer psychologischen Längsschnittstudie wird die Entwicklung von Einstellungen und Verhaltensweisen von Personen untersucht. Ein Fallbeispiel: Im Alter von $20$ Jahren geht Linda regelmäßig auf Demonstrationen, sie hilft im Eine-Welt-Laden mit, braut ökologisches Bier, kocht Bio-Gemüse und studiert manchmal Soziologie.
Welcher der folgenden Befunde ist nach 10 Jahren am unwahrscheinlichsten? \aufzaehlungdrei{Linda arbeitet für eine Versicherungsagentur. }{Linda engagiert sich bei Attac und arbeitet für eine Versicherungsagentur. }{Linda engagiert sich bei Attac. }
}
{
(2) ist am unwahrscheinlichsten. Dass zwei Ereignisse gleichzeitig eintreffen ist stets unwahrscheinlicher als die beiden einzelnen Ereignisse.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
\aufzaehlungvier{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden. }
}
{
\aufzaehlungvier{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {4Geraden3Schnittpunkte.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { 4Geraden3Schnittpunkte.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
$\,$
}{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {4GeradenKeinSchnittpunkt.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { 4GeradenKeinSchnittpunkt.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
$\,$
}{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {4Geraden1Schnittpunkt.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { 4Geraden1Schnittpunkt.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
$\,$
}{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {4Geraden6Schnittpunkte.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { 4Geraden6Schnittpunkte.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
$\,$ }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {L} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {surjektive Abbildung}{}{.}
Zeige, dass es eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass man $\varphi$ als Abbildung
\maabbdisp {\varphi'} {S} {M
} {}
auffassen kann
\zusatzklammer {$\varphi$ und $\varphi'$ unterscheiden sich nur hinsichtlich des Definitionsbereiches} {} {}
und dass $\varphi'$ bijektiv ist.
}
{
Wegen der Surjektivität von $\varphi$ gibt es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
mindestens ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ L
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(x)
}
{ = }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir wählen nun zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ein solches zugehöriges $x$. Es sei $S$ die Vereinigung all dieser gewählten $x$. Die auf $S$ eingeschränkte Abbildung
\maabbeledisp {\varphi'} {S} {M
} {x} { \varphi(x)
} {,}
ist nach wie vor surjektiv, da ja jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
von einem
\zusatzklammer {dem gewählten} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erreicht wird. Die Abbildung ist injektiv, da es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in $S$ nur das eine gewählte Urbild gibt. Insgesamt ist also $\varphi'$ bijektiv.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Zwei Personen, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} liegen unter einer Palme, $A$ besitzt $2$ Fladenbrote und $B$ besitzt $3$ Fladenbrote. Eine dritte Person $C$ kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber $5$ Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die $5$ Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt $C$ an $A$ und an $B$?
}
{
Es gibt insgesamt $5$ Fladenbrote, sodass also jede Person ${ \frac{ 5 }{ 3 } }$ Brote isst. Somit gibt $A$ genau ${ \frac{ 1 }{ 3 } }$ Brot an $C$ ab und $B$ gibt ${ \frac{ 4 }{ 3 } }$ Brote an $C$ ab. $B$ gibt also $4$-mal soviel ab wie $A$ und bekommt daher $4$ Taler, und $A$ bekommt einen Taler von $C$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass es zu je zwei Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ < }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine rationale Zahl
\mathl{n/k}{}
\zusatzklammer {mit $n\in \Z,\, k \in \N_+$} {} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ <} { { \frac{ n }{ k } }
}
{ <} { y
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ > }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y-x
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher gibt es nach
Lemma 4.14 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ k } }
}
{ < }{ y-x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma 4.13 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
gibt es auch ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n { \frac{ 1 }{ k } }
}
{ >} { x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n'
}
{ \in }{ \Z _-
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n' { \frac{ 1 }{ k } }
}
{ \leq} { x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher gibt es auch ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mathdisp {n { \frac{ 1 }{ k } } > x \text{ und } (n-1){ \frac{ 1 }{ k } } \leq x} { }
ist. Damit ist einerseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ <} { { \frac{ n }{ k } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und andererseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ n }{ k } }
}
{ =} { { \frac{ n-1 }{ k } } + { \frac{ 1 }{ k } }
}
{ <} { x + y-x
}
{ =} { y
}
{ } {}
}
{}{}{}
wie gewünscht.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Vergleiche
\mathdisp {\sqrt{3} + \sqrt{10} \text{ und } \sqrt{5} + \sqrt{6}} { . }
}
{
Wir fragen uns, ob
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{3} + \sqrt{10}
}
{ >} { \sqrt{5} + \sqrt{6}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3+10 + 2 \sqrt{30}
}
{ =} { { \left( \sqrt{3} + \sqrt{10} \right) }^2
}
{ >} { { \left( \sqrt{5} + \sqrt{6} \right) }^2
}
{ =} { 5+6 + 2 \sqrt{30}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist durch Subtraktion mit $11$ äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2 +2 \sqrt{30}
}
{ >} { 2 \sqrt{30}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
was stimmt. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{3} + \sqrt{10}
}
{ >} { \sqrt{ 5} + \sqrt{6}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Finde die komplexen Quadratwurzeln von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w
}
{ =} { { \frac{ -5 + \sqrt{3} { \mathrm i} }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über den Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(a+b { \mathrm i} )^2
}
{ =} {w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Der Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a+b { \mathrm i} )^2
}
{ =} { a^2-b^2 + 2ab { \mathrm i}
}
{ =} { w
}
{ =} { { \frac{ -5 + \sqrt{3} { \mathrm i} }{ 2 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
führt auf die beiden reellen Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2-b^2
}
{ =} { { \frac{ -5 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2ab
}
{ =} { { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus folgt direkt, dass
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
nicht $0$ sein können. Wir lösen die zweite Gleichung nach $b$ auf und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} { { \frac{ \sqrt{3} }{ 4a } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies setzen wir in die erste Gleichung ein und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^2 -b^2
}
{ =} { a^2- \left( \frac{ \sqrt{3} }{ 4a } \right)^2
}
{ =} { a^2 - \left( \frac{ 3 }{ 16a^2 } \right)
}
{ =} { - { \frac{ 5 }{ 2 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Multiplikation mit $a^2$ und umstellen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^4+ { \frac{ 5 }{ 2 } } a^2 - { \frac{ 3 }{ 16 } }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist eine biquadratische Gleichung, die zugrunde liegende quadratische Gleichung ist
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{y
}
{ = }{a^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^2+ { \frac{ 5 }{ 2 } } y - { \frac{ 3 }{ 16 } }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit den Lösungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_1,y_2
}
{ =} { { \frac{ - { \frac{ 5 }{ 2 } } \pm \sqrt{ { \frac{ 25 }{ 4 } } + { \frac{ 3 }{ 4 } } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ - { \frac{ 5 }{ 2 } } \pm \sqrt{ { \frac{ 28 }{ 4 } } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ - { \frac{ 5 }{ 2 } } \pm \sqrt{ 7 } }{ 2 } }
}
{ =} { - { \frac{ 5 }{ 4 } } \pm { \frac{ \sqrt{ 7 } }{ 2 } }
}
}
{}{}{.}
Dabei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_1
}
{ =} { - { \frac{ 5 }{ 4 } } + { \frac{ \sqrt{ 7 } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( -5 + 2 \sqrt{7} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
positiv und besitzt die reellen Quadratwurzeln
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_1,a_2
}
{ =} { \pm { \frac{ 1 }{ 2 } } \sqrt{ - 5 + 2 \sqrt{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit sind die komplexen Quadratwurzeln von $w$ gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z_1
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \sqrt{ - 5 + 2 \sqrt{ 7 } } + { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 \sqrt{ - 5 + 2 \sqrt{ 7 } } } }{ \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z_2
}
{ =} {- { \frac{ 1 }{ 2 } } \sqrt{ - 5 + 2 \sqrt{ 7 } } - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 \sqrt{ - 5 + 2 \sqrt{ 7 } } } }{ \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ =} {{ \left\{ { \frac{ 1 }{ n } } \mid n \in \N_+ \right\} }
}
{ \subseteq} {\R
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Funktion
\maabb {f} {S} {\R
} {}
sei durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f { \left( { \frac{ 1 }{ n } } \right) }
}
{ =} { x_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
festgelegt. Zeige, dass $f$ genau dann
\definitionsverweis {gleichmäßig stetig}{}{}
ist, wenn die Folge eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
ist.
}
{
Es sei zunächst $x_n$ eine Cauchy-Folge. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Wegen der Cauchy-Eigenschaft gibt es ein $n_0$ derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m
}
{ \geq }{ n
}
{ = }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x_m }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Wir wählen ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ < }{ { \frac{ 1 }{ n_0^2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { { \frac{ 1 }{ n } } - { \frac{ 1 }{ m } } }
}
{ \leq} { \delta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \geq }{n
}
{ \geq }{n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist unmittelbar
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x_m }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ < }{n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \geq }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach wie vor} {} {}
ist
\zusatzklammer {bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ > }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ n } } - { \frac{ 1 }{ m } }
}
{ \geq} { { \frac{ 1 }{ n } } - { \frac{ 1 }{ n+1 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ n(n+1) } }
}
{ \geq} { { \frac{ 1 }{ (n+1)^2 } }
}
{ \geq} { { \frac{ 1 }{ n_0^2 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ >} { \delta
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Das heißt, dass in diesem Fall die $\delta$-Bedingung nur bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt ist.
Es sei nun $f$ gleichmäßig stetig und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine zugehörige Aufwandsgenauigkeit. Es sei $n_0$ derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ n_0 } }
}
{ \leq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \geq }{n
}
{ \geq }{n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ n } } - { \frac{ 1 }{ m } }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ n_0 } }
}
{ \leq} { \delta
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_m-x_n }
}
{ \leq} { \betrag { f(m)-f(n) }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte \mathkor {} {(-1,1)} {und} {(4,-2)} {} verläuft.
}
{
Der Richtungsvektor der Geraden ist
\mathl{\begin{pmatrix} 5 \\-3 \end{pmatrix}}{.} Somit besitzt die Geradengleichung die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3x+5y
}
{ =} { c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Einsetzen eines Punkt ergibt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ 2- 3x }{ 5 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies setzen wir in die Kreisgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2+y^2
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 + { \left( { \frac{ 2- 3x }{ 5 } } \right) }^2
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 + { \frac{ 4 - 12x +9x^2 }{ 25 } } -1
}
{ =} { { \frac{ 34 }{ 25 } } x^2 - { \frac{ 12 }{ 25 } } x - { \frac{ 21 }{ 25 } }
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Normierung davon ist
\mathdisp {x^2 - { \frac{ 6 }{ 17 } } x - { \frac{ 21 }{ 34 } }} { . }
Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ x_{1,2}
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 6 }{ 17 } } \pm \sqrt{ { \left( { \frac{ 6 }{ 17 } } \right) }^2 + 4 \cdot { \frac{ 21 }{ 34 } } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 6 }{ 17 } } \pm \sqrt{ { \left( { \frac{ 6 }{ 17 } } \right) }^2 + { \frac{ 42 }{ 17 } } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 6 \pm \sqrt{ 6^2 + 714 } }{ 34 } }
}
{ =} { { \frac{ 6 \pm \sqrt{ 750 } }{ 34 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 6 \pm 5 \sqrt{ 30 } }{ 34 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{y_{1,2}
}
{ =} { { \frac{ 2- 3x_{1,2} }{ 5 } }
}
{ =} { { \frac{ 2- 3 { \left( { \frac{ 6 \pm 5 \sqrt{ 30 } }{ 34 } } \right) } }{ 5 } }
}
{ =} { { \frac{ 68 - 3 { \left( 6 \pm 5 \sqrt{ 30 } \right) } }{ 170 } }
}
{ =} { { \frac{ 50 \mp 15 \sqrt{ 30 } }{ 170 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 10 \mp 3 \sqrt{ 30 } }{ 34 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Die Schnittpunkte sind also
\mathdisp {\left( { \frac{ 6 + 5 \sqrt{ 30 } }{ 34 } } , \, { \frac{ 10 - 3 \sqrt{ 30 } }{ 34 } } \right) \text{ und } \left( { \frac{ 6 - 5 \sqrt{ 30 } }{ 34 } } , \, { \frac{ 10 + 3 \sqrt{ 30 } }{ 34 } } \right)} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {offenes Intervall}{}{,}
\maabb {f} {I} { \R
} {}
eine durch eine
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
gegebene Funktion und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass $f$ eine der folgenden Möglichkeiten erfüllt.
\aufzaehlungvier{$f$ ist auf
\mathl{[a- \epsilon, a+ \epsilon ]}{}
\definitionsverweis {konvex}{}{.}
}{$f$ ist auf
\mathl{[a- \epsilon, a+ \epsilon ]}{}
\definitionsverweis {konkav}{}{.}
}{$f$ ist auf
\mathl{[a- \epsilon, a]}{} konvex und auf
\mathl{[a, a + \epsilon]}{} konkav.
}{$f$ ist auf
\mathl{[a- \epsilon, a]}{} konkav und auf
\mathl{[a, a + \epsilon]}{} konvex.
}
}
{
Nach
Korollar 20.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ist $f$ beliebig oft differenzierbar. Es sei zunächst
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime} (a)
}
{ >} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass $f^{\prime \prime}$ positiv auf ganz
\mathl{[a- \epsilon, a+ \epsilon]}{} ist. Dann ist $f'$ nach
Satz 19.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
wachsend und somit ist $f$ nach
Satz 20.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
konvex.
Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime} (a)
}
{ <} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
führt die entsprechende Argumentation dazu, dass $f$ in einer Umgebung konkav ist.
Es sei nun
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime} (a)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn $f^{\prime \prime}$ die Nullfunktion ist, so ist $f$ affin-linear und dann ist $f$ sowohl konvex als auch konkav. Es sei also $f^{\prime \prime}$ nicht die Nullfunktion. Dann gibt es eine offene $\epsilon$-Umgebung von $a$ derart, dass dort $a$ die einzige Nullstelle ist. Dann ist $f^{\prime \prime}$ auf
\mathl{[a- \epsilon, a[}{} und auf
\mathl{]a,a+ \epsilon]}{} jeweils entweder positiv oder negativ. Daraus folgt jeweils die Konvexität oder die Konkavität wie zuvor.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {reelle Sinusfunktion}{}{} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{,} \definitionsverweis {streng wachsende}{}{} Funktion \maabbdisp {} {[- \pi/2, \pi/2]} {[-1,1] } {} induziert, und dass die \definitionsverweis {reelle Kosinusfunktion}{}{} eine bijektive, streng fallende Funktion \maabbdisp {} {[0,\pi]} {[-1,1] } {} induziert.
}
{
Die Ableitung des Sinus ist nach
[[Reelle Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt|Kurs:Analysis/Komplexe Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt/Faktreferenznummer (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]]
der Kosinus. Dieser hat im Innern von
\mathl{[- \pi/2, \pi/2]}{} keine Nullstelle, da ja $\pi/2$ als kleinste positive Nullstelle des Kosinus definiert ist und da der Kosinus gerade ist. Ferner besitzt der Kosinus an der Stelle $0$ den Wert $1$. Nach dem Zwischenwertsatz muss als der Kosinus im Innern des Intervalls positiv sein. Nach
Satz 19.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ist daher der Sinus im angegebenen Intervall streng wachsend und damit injektiv. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \left( - \pi/2 \right)
}
{ = }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \left( \pi/2 \right)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist aufgrund des Zwischenwertsatzes das Bild gleich dem Intervall
\mathl{[-1,1]}{} und der Sinus ist bijektiv.
Die Aussage für den Kosinus folgt daraus mittels [[Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt|Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) (3)]].
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise die \stichwort {Produktregel} {} für differenzierbare Funktionen mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.
}
{
Wir gehen von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { f(a) + s (x-a) + r(x) (x-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ =} { g(a) + \tilde{s} (x-a) + \tilde{r}(x) (x-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
aus, wobei die Bedingungen aus der linearen Approximierbarkeit erfüllt sein sollen, und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{f(x) g(x)
}
{ =} { ( f(a) + s (x-a) + r(x) (x-a) ) ( g(a) + \tilde{s} (x-a) + \tilde{r}(x) (x-a) )
}
{ =} { f(a)g(a) + ( sg(a) + \tilde{s} f(a)) (x-a)
}
{ \, \, \, \, \,} {+ ( f(a) \tilde{r}(x) + g(a)r(x) + s \tilde{s} (x-a) \bruchhilfealign + s \tilde{r}(x) (x-a) +\tilde{s} r (x) (x-a) + r(x) \tilde{r}(x) (x-a) ) (x-a)
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Aufgrund von
Lemma 12.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
für
\definitionsverweis {Limiten}{}{}
ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert $0$ für
\mathl{x=a}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die Ableitung in einem Extremum.
}
{
Wir können annehmen, dass $f$ ein lokales Maximum in $c$ besitzt. Es gibt also ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ \leq }{f(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ [c - \epsilon, c + \epsilon]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mathl{{ \left( s_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Folge mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c- \epsilon
}
{ \leq }{s_n
}
{ < }{ c
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die gegen $c$
\zusatzklammer {\anfuehrung{von unten}{}} {} {}
konvergiere. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_n- c
}
{ < }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(s_n) -f(c)
}
{ \leq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit ist der Differenzenquotient
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{ f (s_n )-f (c) }{ s_n -c }
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was sich dann
nach Lemma 6.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
auf den Limes, also den Differentialquotienten, überträgt. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f'(c)
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für eine Folge
\mathl{{ \left( t_n \right) }_{n \in \N }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c + \epsilon
}
{ \geq }{ t_n
}
{ > }{ c
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt andererseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{ f (t_n )-f (c) }{ t_n -c }
}
{ \leq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f'(c)
}
{ \leq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit ist insgesamt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f'(c)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5 (1+1+3)}
{
Wir betrachten das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {1+X + { \frac{ 1 }{ 2 } } X^2 +{ \frac{ 1 }{ 6 } } X^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Berechne die Werte von $P$ an den Stellen
\mathl{-2,-1,0,1,2}{.}
}{Skizziere den Graphen von $P$ auf dem Intervall
\mathl{[-2,2]}{.} Gibt es einen Bezug zur Exponentialfunktion $e^x$?
}{Bestimme eine Nullstelle von $P$ innerhalb von
\mathl{[-2,2]}{} mit einem Fehler von maximal
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 4 } }}{.}
}
}
{
\aufzaehlungdrei{\wertetabellefuenfausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {-2} {-1} {0} {1} {2} }
{ $P(x)$ }
{\mazeileundfuenf { - { \frac{ 1 }{ 3 } } } { { \frac{ 1 }{ 3 } } } {1} { { \frac{ 8 }{ 3 } } } { { \frac{ 19 }{ 3 } } } }
}{Da die Exponentialfunktion $e^x$ die Reihendarstellung
\mathl{\sum_{k = 0}^\infty { \frac{ x^k }{ k! } }}{} besitzt, handelt es sich bei $P$ um eine polynomiale Approximation der Exponentialfunktion. Dies erklärt für betragsmäßig kleine Werte eine gewisse Verwandtschaft mit der Exponentialfunktion, die sich im Graphen niederschlägt.
}{Aufgrund des Zwischenwertsatzes muss $P$ eine Nullstelle zwischen
\mathkor {} {-2} {und} {-1} {}
besitzen. Zur Bestimmung der Nullstelle rechnen wir mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} {6 P
}
{ =} {6+6x +3x^2+x^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{Q (- { \frac{ 3 }{ 2 } } )
}
{ =} {6 -6 \cdot { \frac{ 3 }{ 2 } } + 3 { \left( - { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^2 + { \left( - { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^3
}
{ =} { 6-9 + { \frac{ 27 }{ 4 } } - { \frac{ 27 }{ 8 } }
}
{ =} { -3 + { \frac{ 27 }{ 8 } }
}
{ >} { 0
}
}
{}
{}{.}
Die Nullstelle muss also zwischen
\mathkor {} {-2} {und} {- { \frac{ 3 }{ 2 } }} {}
liegen.
}
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{Q (- { \frac{ 7 }{ 4 } } )
}
{ =} {6 -6 \cdot { \frac{ 7 }{ 4 } } + 3 { \left( - { \frac{ 7 }{ 4 } } \right) }^2 + { \left( - { \frac{ 7 }{ 4 } } \right) }^3
}
{ =} { 6- { \frac{ 21 }{ 2 } } + { \frac{ 3 \cdot 49 }{ 16 } } - { \frac{ 343 }{ 64 } }
}
{ =} { - { \frac{ 9 }{ 2 } } + { \frac{ 588-343 }{ 64 } }
}
{ =} { - { \frac{ 288 }{ 64 } } + { \frac{ 245 }{ 64 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ <} { 0
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Also liegt eine Nullstelle im Intervall
\mathl{[ - { \frac{ 7 }{ 4 } }, - { \frac{ 3 }{ 2 } } ]}{} der Länge
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 4 } }}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Zeige, dass die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(x)
}
{ =} {x^4 -x^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Innern von
\mathl{[0,1]}{} stets negativ ist und berechne den Flächeninhalt der durch den Graphen unterhalb von
\mathl{[0,1]}{} eingeschlossenen Fläche.
}
{
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^4-x^3
}
{ =} { x^3(x-1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{]0,1[
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Faktor $x^3$ positiv und der Faktor $x-1$ negativ, auf diesem Intervall ist also die Funktion negativ und hat den Wert $0$ an den Rändern.
Eine Stammfunktion ist
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 5 } } x^5- { \frac{ 1 }{ 4 } } x^4}{.} Daher ist das bestimmte Integral gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_0^1 (x^4-x^3) dx
}
{ =} { [ { \frac{ 1 }{ 5 } } x^5- { \frac{ 1 }{ 4 } } x^4 ]_0^1
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 5 } } - { \frac{ 1 }{ 4 } }
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 20 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und der eingeschlossene Flächeninhalt ist ${ \frac{ 1 }{ 20 } }$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'=2 \text{ mit } y (5) = 3} { . }
}
{
Eine Lösung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y(x)
}
{ =} {2x-7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wie man unmittelbar durch Ableiten und Einsetzen bestätigt.
}