Kurs:Analysis/Teil I/39/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	2	5	3	4	5	7	3	3	5	4	5	4	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Bild einer Abbildung

   $F\colon L\longrightarrow M.$

2. Ein Körper.
3. Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper ${}K$.
4. Die gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion

   $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   auf einer Teilmenge ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$.

5. Die ${}n$-fache Differenzierbarkeit einer Funktion

   $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }.$

6. Eine obere Treppenfunktion zu einer Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über beschränkte Teilmengen von ${}\mathbb {R}$.
2. Der Satz über die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge

   $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   auf einer Teilmenge ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$.
3. Die trigonometrische Darstellung der ${}n$-ten komplexen Einheitswurzeln ($n\in \mathbb {N} _{+}$).

Aufgabe * (2 Punkte)

Anna kann sich nicht zwischen Heinrich und Konrad entscheiden, deshalb lässt sie sich vom Zufall leiten. Sie wohnt an einer U-Bahn-Station der Linie ${}5$, die von Heinsheim nach Konsau fährt. Heinrich wohnt in Heinsheim und Konrad in Konsau. Wenn Anna Lust auf ein Date hat, geht sie einfach zu ihrer Station und nimmt die erstbeste U-Bahn, die gerade kommt. Die U-Bahnen fahren in beide Richtungen im Zehn-Minuten-Takt und die U-Bahnen nach Heinsheim fahren ${}:\!01,:\!11,:\!21$ etc. Nach einiger Zeit stellt Anna fest, dass sie Konrad viermal so häufig besucht wie Heinrich. Wann fahren die U-Bahnen nach Konsau ab?

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine injektive Abbildung. Zeige, dass es eine Teilmenge ${}T\subseteq M$ derart gibt, dass man ${}\varphi$ als Abbildung

$\varphi '\colon L\longrightarrow T$

auffassen kann (${}\varphi$ und ${}\varphi '$ unterscheiden sich nur hinsichtlich des Wertebereichs) und dass ${}\varphi '$ bijektiv ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von ${}5$ und der andere ein Fassungsvermögen von ${}8$ Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Aufgabe * (5 (1+1+1+2) Punkte)

Ein Zug ist ${}500$ Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit ${}180$ Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von ${}20$ Metern pro Sekunde von ganz vorne nach ganz hinten.

1. Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
2. Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
3. Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
4. Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.

Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere das Konzept „Approximation“ anhand typischer Beispiele.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}K$. Zeige, dass die Produktfolge ${}{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,$

ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die komplexen Zahlen einen Körper bilden.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

${}f(x)=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}\,.$

Zeige, dass ${}f$ zwischen ${}1$ und ${}2$ eine Nullstelle besitzt, und bestimme diese bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{4}}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch

${}y=3x-2\,$

gegebenen Geraden.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Quotientenregel für differenzierbare Funktionen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die positiven reellen Zahlen ${}\mathbb {R} _{+}$ mit den Verknüpfungen

${}x\oplus y:=x\cdot y\,$

als neuer Addition und

${}x\otimes y:=e^{(\ln x)(\ln y)}\,$

als neuer Multiplikation. Ist ${}\mathbb {R} _{+}$ mit diesen Verknüpfungen (und mit welchen neutralen Elementen) ein Körper?

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall,

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${}a\in I$ ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte ${}f'(a)=0$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Wenn ${}f^{\prime \prime }(a)>0$ ist, so besitzt ${}f$ in ${}a$ ein isoliertes lokales Minimum.
2. Wenn ${}f^{\prime \prime }(a)<0$ ist, so besitzt ${}f$ in ${}a$ ein isoliertes lokales Maximum.

Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ die Funktion, die eine reelle Zahl ${}x$ auf ihre zweite Nachkommastelle im Zehnersystem abbildet.

1. Berechne ${}\int _{0}^{1}f(x)dx$.
2. Erfüllt ${}f$ den Mittelwertsatz der Integralrechnung?

Aufgabe * (3 Punkte)

Finde die Lösungen zur Differentialgleichung

${}y'={\frac {\sqrt {1-y^{2}}}{y}}\,$

für ${}y\in ]0,1[$.