Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Test 1/Klausur

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Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine injektive Abbildung
  2. Die Potenzmenge zu einer Menge .
  3. Der Binomialkoeffizient .
  4. Die Konvergenz einer reellen Folge gegen .
  5. Eine Cauchy-Folge in .
  6. Die Eulersche Zahl.
  7. Der Betrag einer komplexen Zahl .
  8. Die absolute Konvergenz einer Reihe.


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die allgemeine binomische Formel für .
  2. Die Bernoulli-Ungleichung für reelle Zahlen.
  3. Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
  4. Die Konvergenzaussage für die geometrische Reihe in .


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne die Gaußklammer von .


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die reellen Intervalle, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung sind.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine nichtnegative reelle Zahl. Für jedes , gelte . Zeige .


Aufgabe * (3 Punkte)

Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige mittels vollständiger Induktion für die Formel


Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien Mengen und

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

Zeige: Wenn injektiv ist, so ist auch injektiv.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper.


Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe * (3 Punkte)

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu mit dem Startwert durch (es sollen also die Approximationen für berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).


Aufgabe * (8 (2+1+2+1+2) Punkte)

Es sei . Zu einem Startwert sei eine reelle Folge rekursiv durch

definiert. Zeige die folgenden Aussagen.

(a) Bei ist für alle und die Folge ist streng fallend.

(b) Bei ist die Folge konstant.

(c) Bei ist für alle und die Folge ist streng wachsend.

(d) Die Folge konvergiert.

(e) Der Grenzwert ist .


Aufgabe * (4 Punkte)

Betrachte die Folge und . Welche der Pseudokonvergenzbegriffe (siehe Angeordneter Körper/Folge/Pseudokonvergenz/Pseudo/Definition) treffen zu?

Schreiben Sie ohne Begründung die zutreffenden Nummern auf. Punkte gibt es nur für vollständig richtige Antworten.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.


Aufgabe * (2 (0,5+1+0,5) Punkte)

a) Berechne

b) Bestimme das inverse Element zu

c) Welchen Abstand hat aus Teil (b) zum Nullpunkt?


Aufgabe * (5 Punkte)

Untersuche, ob die Reihe

konvergiert oder divergiert.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien die beiden komplexen Polynome

gegeben. Berechne (es soll also in eingesetzt werden).




Anhang


Es sei eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei .

  1. Man sagt, dass die Folge gegen hypervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , und alle gilt die Beziehung
  2. Man sagt, dass die Folge gegen supervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  3. Man sagt, dass die Folge gegen megavergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein derart, dass für alle und jedes , , die Beziehung

    gilt.

  4. Man sagt, dass die Folge gegen pseudovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass die Beziehung

    gilt.

  5. Man sagt, dass die Folge gegen semivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , und jedem gibt es ein , , derart, dass die Beziehung

    gilt.

  6. Man sagt, dass die Folge gegen protovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein , , derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  7. Man sagt, dass die Folge gegen quasivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein , , und ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  8. Man sagt, dass die Folge gegen deuterovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.


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