Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 57/latex

\setcounter{section}{57}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Skizziere die \definitionsverweis {Höhenlinien}{}{} und das \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} zur Funktion \maabbeledisp {h} {\R^2} {\R } {(x,y)} { 2(x-3)^2+3(y-1)^2 } {.}

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {BodyMassIndex.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { BodyMassIndex.png } {} {Thire} {Commons} {CC-by-sa 2.5} {}

\inputaufgabe
{}
{

Der Body-Mass-Index wird bekanntlich über die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R_+ \times \R_+} {\R } {(m,l)} { { \frac{ m }{ l^2 } } } {,} berechnet, wobei $m$ für die Masse und $l$ für die Länge eines Menschen \zusatzklammer {oder eines Tieres, einer Pflanze, eines Gebäudes} {} {} steht \zusatzklammer {in den Einheiten Kilogramm und Meter} {} {.} \aufzaehlungsieben{Für welche Punkte ist diese Abbildung \definitionsverweis {regulär}{}{?} }{Skizziere das zugehörige \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{.} }{Wenn man seinen Body-Mass-Index verringern möchte, und dabei dem \definitionsverweis {Gradienten}{}{} dieser Abbildung vertraut, sollte man dann besser abnehmen oder größer werden? Inwiefern hängt dies vom Punkt, inwiefern von den gewählten Einheiten ab? }{Wie lassen sich die \definitionsverweis {Fasern}{}{} dieser Abbildung als \definitionsverweis {Graphen}{}{} von Funktionen beschreiben? }{Berechne die \definitionsverweis {Hesse-Matrix}{}{} von $\varphi$ und bestimme ihren \definitionsverweis {Typ}{}{} in jedem Punkt. }{Zu welchen Daten wird das Maximum bzw. das Minimum des Body-Mass-Index angenommen, wenn man ihn auf
\mathl{[30,300] \times [1,2]}{} einschränkt, und welche Werte besitzt er dann? }{Modelliere die Abbildung, die den Menschen aus einer Menge $T$ ihren Body-Mass-Index zuordnet, mittels Messungen, \definitionsverweis {Produktabbildung}{}{} und \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbdisp {G} {\R^n} {\R^n } {} ein \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {J} {\R^n } {} \zusatzklammer {$J \subseteq \R$ ein offenes Intervall} {} {} eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung $v'=G(v)$. Es gelte
\mathl{\varphi'(t) \neq 0}{} für alle
\mathl{t \in J}{.} Zeige, dass $\varphi$ injektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left\{ f:[0,1] \rightarrow \R \mid \text{unendlich oft differenzierbar} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} versehen mit der durch die \definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{} gegebenen Metrik. Zeige, dass die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} \maabbeledisp {} {M} {M } {f} {f' } {,} keine \definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {zeitunabhängige Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {v} {3 v^{2/3} = 3 \sqrt[3]{v^2} } {.} Zeige direkt, dass dieses \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist, aber nicht \definitionsverweis {lokal einer Lipschitz-Bedingung}{}{} genügt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {h} {\R^n} {\R } {} eine \definitionsverweis {Linearform}{}{.} Bestimme das zugehörige \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} und die \definitionsverweis {Lösungen}{}{} der zugehörigen Differentialgleichung.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Lösungen der Differentialgleichung}{}{,} die zum \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} der Funktion \maabbeledisp {h} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x+y^2 } {,} gehört.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Welche \definitionsverweis {linearen Vektorfelder}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^n} {\R^n } {v} {Mv } {,} sind \definitionsverweis {Gradientenfelder}{}{?} Wie sehen die Potentialfunktionen dazu aus?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgabe zum Hochladen}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Fertige eine Illustration zu Beispiel 57.6 an.

}
{} {}