Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 58

Übungsaufgaben

Aufgabe

Betrachte zu $r, s \in ℝ_{+}$ mit $r + s > 1$ und $s < r + 1$ die „sichelförmige“ Menge

M_{r, s} = {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ \sqrt{x^{2} + y^{2}} \leq r, \sqrt{(x - 1)^{2} + y^{2}} \geq s} .

Für welche $r, s$ ist diese Menge sternförmig?

Zeige, dass das Vektorfeld

G : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2}, (x, y) ⟼ (2 x - y \cos x, - \sin x),

ein Gradientenfeld ist und bestimme ein Potential dazu.

Ob ein Vektorfeld auf $U \subseteq ℝ^{3}$ die Integrabilitätsbedingung erfüllt lässt sich äquivalent mit der sogenannten Rotation ausdrücken.

G : U ⟶ ℝ^{3}

auf einer offenen Teilmenge $U \subseteq ℝ^{3}$ nennt man

{rot}_{}^{} (G) (P) := (\begin{matrix} \frac{\partial G_{3}}{\partial x_{2}} (P) - \frac{\partial G_{2}}{\partial x_{3}} (P) \\ \frac{\partial G_{1}}{\partial x_{3}} (P) - \frac{\partial G_{3}}{\partial x_{1}} (P) \\ \frac{\partial G_{2}}{\partial x_{1}} (P) - \frac{\partial G_{1}}{\partial x_{2}} (P) \end{matrix})

die Rotation von $G$ .

Die Rotation ist ebenfalls ein Vektorfeld.

Es sei $G : U \to ℝ^{3}$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge $U \subseteq ℝ^{3}$ . Zeige, dass $G$ genau dann die Integrabilitätsbedingung erfüllt, wenn ${rot}_{}^{} (G) = 0$ ist.

Berechne zum Vektorfeld

G : {(x, y, z) \in ℝ^{3} ∣ x, y, z \neq 0} ⟶ ℝ^{3}, (x, y, z) ⟼ (x^{3} - z^{2}, \frac{x y}{z}, \frac{z}{x^{2} y})

Wir betrachten das Vektorfeld

G : ℝ^{2} \times ℝ_{> 0} ⟶ ℝ^{3}, (x, y, z) ⟼ (y e^{x y} + \ln z, x e^{x y} - 2 y z, \frac{x}{z} - y^{2}) .

a) Zeige mithilfe der Integrabilitätsbedingung, dass $G$ ein Gradientenfeld ist.

b) Bestimme ein Potential zu $G$ .

Aufgaben zum Abgeben

Zeige, dass das Vektorfeld

G : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{3}, (x, y, z) ⟼ (y e^{z} - 3 x^{2} z, x e^{z} + 2 y z, x y e^{z} + y^{2} - x^{3}),

ein Gradientenfeld ist und bestimme ein Potential dazu.

Berechne zum Vektorfeld

G : {(x, y, z) \in ℝ^{3} ∣ x, y \neq 0, z > 0} ⟶ ℝ^{3}, (x, y, z) ⟼ (\frac{e^{3 x} - z}{y}, \frac{\cos x}{z^{2}}, \frac{\ln z}{x y})

Es sei $U \subseteq ℝ^{n}$ offen. Zeige, dass $U$ genau dann zusammenhängend ist, wenn man je zwei Punkte $P, Q \in U$ durch einen stetig differenzierbaren Weg verbinden kann.

Tipp: Man denke an den Beweis von Satz 35.13.