Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 58

Übungsaufgaben

Die Himmelsscheibe von Nebra. Ist die Mondsichel darauf sternförmig?

Aufgabe

Betrachte zu ${}r,s\in \mathbb {R} _{+}$ mit ${}r+s>1$ und ${}s<r+1$ die „sichelförmige“ Menge

$M_{r,s}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r,\,{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}}}\geq s\right\}}.$

Für welche ${}r,s$ ist diese Menge sternförmig?

Aufgabe

Zeige, dass das Vektorfeld

$G\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto \left(2x-y\cos x,\,-\sin x\right),$

ein Gradientenfeld ist und bestimme ein Potential dazu.

Ob ein Vektorfeld auf ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ die Integrabilitätsbedingung erfüllt lässt sich äquivalent mit der sogenannten Rotation ausdrücken.

Zu einem partiell differenzierbaren Vektorfeld

$G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ nennt man

${}\operatorname {rot} _{}^{}{\left(G\right)}(P):={\begin{pmatrix}{\frac {\partial G_{3}}{\partial x_{2}}}(P)-{\frac {\partial G_{2}}{\partial x_{3}}}(P)\\{\frac {\partial G_{1}}{\partial x_{3}}}(P)-{\frac {\partial G_{3}}{\partial x_{1}}}(P)\\{\frac {\partial G_{2}}{\partial x_{1}}}(P)-{\frac {\partial G_{1}}{\partial x_{2}}}(P)\end{pmatrix}}\,$

die Rotation von ${}G$.

Die Rotation ist ebenfalls ein Vektorfeld.

Aufgabe

Es sei ${}G\colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$. Zeige, dass ${}G$ genau dann die Integrabilitätsbedingung erfüllt, wenn ${}\operatorname {rot} _{}^{}{\left(G\right)}=0$ ist.

Aufgabe

Berechne zum Vektorfeld

$G\colon {\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x,y,z\neq 0\right\}}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto \left(x^{3}-z^{2},\,{\frac {xy}{z}},\,{\frac {z}{x^{2}y}}\right)$

die Rotation.

Aufgabe *

Wir betrachten das Vektorfeld

$G\colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} _{>0}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto \left(ye^{xy}+\ln z,\,xe^{xy}-2yz,\,{\frac {x}{z}}-y^{2}\right).$

a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ${}G$ ein Gradientenfeld ist.

b) Bestimme ein Potential zu ${}G$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass das Vektorfeld

$G\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto \left(ye^{z}-3x^{2}z,\,xe^{z}+2yz,\,xye^{z}+y^{2}-x^{3}\right),$

ein Gradientenfeld ist und bestimme ein Potential dazu.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne zum Vektorfeld

$G\colon {\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x,y\neq 0,\,z>0\right\}}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto \left({\frac {e^{3x}-z}{y}},\,{\frac {\cos x}{z^{2}}},\,{\frac {\ln z}{xy}}\right)$

die Rotation.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen. Zeige, dass ${}U$ genau dann zusammenhängend ist, wenn man je zwei Punkte ${}P,Q\in U$ durch einen stetig differenzierbaren Weg verbinden kann.

Tipp: Man denke an den Beweis von Lemma 35.13.