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Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Vorlesung 55/latex

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\setcounter{section}{55}






\zwischenueberschrift{Der Satz über die injektive Abbildung}

Als ein weiteres Korollar aus dem Satz über die Umkehrabbildung besprechen wir die Situation, wo das totale Differential injektiv ist.





\inputfaktbeweis
{Satz über die injektive Abbildung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} \definitionsverweis {reelle Vektorräume}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {G} {W } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt,}
\faktvoraussetzung {in dem das \definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{} \definitionsverweis {injektiv}{}{} sei.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine \definitionsverweis {offene Umgebung}{}{} $U$,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{U }
{ \subseteq }{G }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} derart, dass
\mathl{\varphi {{|}}_{U}}{} injektiv ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ } { \left( V \right) } }
{ = }{ k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ } { \left( W \right) } }
{ = }{ n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B }
{ = }{ { \left( D\varphi \right) }_{P} { \left( V \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das \definitionsverweis {Bild}{}{} des totalen Differentials
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{.} Nach Satz Anhang.1  (1) ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B }
{ \subseteq }{ W }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} der Dimension
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ } { \left( B \right) } }
{ = }{ k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir ergänzen eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $B$ durch
\mathl{w_1 , \ldots , w_{n-k}}{} zu einer Basis von $W$ und setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C }
{ = }{ \langle w_1 , \ldots , w_{n-k} \rangle }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\psi} {G \times C} {W } {(v,w)} { \varphi(v) +w } {,} wobei links und rechts zwei $n$-dimensionale Vektorräume stehen. Diese Abbildung kann man als die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathdisp {G \times C \stackrel{\varphi \times \operatorname{Id}_C \, }{\longrightarrow} W \times C \stackrel{+}{ \longrightarrow} W} { }
auffassen. Daher ist die Gesamtabbildung \definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{} und das totale Differential ist
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P} + i_C}{,} wobei \maabb {i_C} {C} {W } {} die lineare Einbettung des Unterraums ist. Dieses totale Differential ist \definitionsverweis {surjektiv}{}{} im Punkt
\mathl{(P,0)}{,} da sowohl $B$ als auch $C$ zum Bild gehören, und somit \definitionsverweis {bijektiv}{}{.} Wir können also den Satz über die Umkehrabbildung anwenden und erhalten \definitionsverweis {offene Mengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1 }
{ \subseteq }{ G \times C }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_2 }
{ \subseteq }{ W }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass
\mathl{(\varphi \times \operatorname{Id}_C) {{|}}_{U_1}}{} ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} zwischen \mathkor {} {U_1} {und} {U_2} {} ist. Dies können wir einschränken auf eine offene Menge der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_3 \times U_4 }
{ \subseteq }{ U_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ U_3 }
{ \subseteq }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ \in }{ U_4 }
{ \subseteq }{ C }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist die Abbildung \maabbdisp {\varphi {{|}} _{U_3}} {U_3} {W } {} \definitionsverweis {injektiv}{}{,} da dies die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathdisp {U_3 \longrightarrow U_3 \times U_4 \longrightarrow U_2 \subseteq W} { }
mit
\mathl{Q \mapsto (Q,0)}{} ist.

}







\zwischenueberschrift{Lipschitz-Bedingungen}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {RLipschitz.jpeg} }
\end{center}
\bildtext {Rudolf Lipschitz (1832-1903)} }

\bildlizenz { RLipschitz.jpeg } {} {Ahellwig} {Commons} {PD} {}


Wir kehren zu Differentialgleichungen zurück und wollen den Satz von Picard-Lindelöf beweisen, einen wichtigen Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Lösungen. Dafür wird die Voraussetzung wesentlich sein, dass das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.


\inputdefinition
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{} und \maabbeledisp {f} {I\times U} {V } {(t,v)} {f(t,v) } {,} ein \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} auf $U$. Man sagt, dass das Vektorfeld $f$ einer \definitionswort {Lipschitz-Bedingung}{} genügt, wenn es eine \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L }
{ \geq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f(t,u)-f(t,v)} \Vert }
{ \leq} { L \cdot \Vert {u-v} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u ,v }
{ \in }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}

Die reelle Zahl $L$ nennt man auch eine \stichwort {Lipschitz-Konstante} {} für das Vektorfeld $f$.




\inputdefinition
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{} und \maabbeledisp {f} {I\times U} {V } {(t,v)} {f(t,v) } {,} ein \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} auf $U$. Man sagt, dass das Vektorfeld $f$ \definitionswort {lokal}{} einer \definitionswort {Lipschitz-Bedingung}{} genügt, wenn es zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (t,v) }
{ \in }{ I \times U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine offene Umgebung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (t,v) }
{ \in} { I' \times U' }
{ \subseteq} { I \times U }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} derart gibt, dass das auf
\mathl{I' \times U'}{} eingeschränkte Vektorfeld einer \definitionsverweis {Lipschitz-Bedingung}{}{} genügt.

}

Die folgende Aussage liefert ein wichtiges und leicht überprüfbares hinreichendes Kriterium, wann ein Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.




\inputfaktbeweis
{Vektorfeld/Stetig partiell differenzierbar in Raumrichtung/Lokal Lipschitz Bedingung/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {reelles}{}{} \definitionsverweis {offenes Intervall}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{} und \maabbeledisp {f} {I\times U} {\R^n } { (t,v_1 , \ldots , v_n)} { f(t,v_1 , \ldots , v_n) } {,} ein \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} auf $U$ derart,}
\faktvoraussetzung {dass die \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{} nach $v_j$ existieren und \definitionsverweis {stetig}{}{} sind.}
\faktfolgerung {Dann genügt $f$ \definitionsverweis {lokal einer Lipschitz-Bedingung}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ (t,v) }
{ = }{ (t,v_1 , \ldots , v_n) }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt in
\mathl{I \times U}{} und sei
\mathdisp {U { \left( t,\epsilon \right) } \times U { \left( v,\epsilon \right) }} { }
eine offene Umgebung von $P$ innerhalb von
\mathl{I \times U}{} derart, dass auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B }
{ =} { B \left( t,\epsilon \right) \times B \left( v,\epsilon \right) }
{ \subseteq} { I \times U }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. Dieses $B$ ist eine \definitionsverweis {abgeschlossene Umgebung}{}{} von $P$ und daher \definitionsverweis {kompakt}{}{.} Da die partiellen Ableitungen
\mathl{{ \frac{ \partial f_i }{ \partial v_j } }}{} nach Voraussetzung \definitionsverweis {stetig}{}{} sind, gibt es nach Satz 36.12 eine gemeinsame Schranke
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { { \frac{ \partial f_i }{ \partial v_j } } (Q)} \Vert }
{ \leq} { c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q }
{ \in }{ B }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Daher gibt es für die Matrizen
\mathl{{ \left( { \frac{ \partial f_i }{ \partial v_j } } (Q) \right) }_{1 \leq i,j \leq n}}{} eine Schranke $L$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { { \left( { \frac{ \partial f_i }{ \partial v_j } } (Q) \right) }_{1 \leq i,j \leq n} } \Vert }
{ \leq} {L }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Man kann daher zu jedem festen Zeitpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ \in }{ U { \left( t,\epsilon \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Lemma 51.2 anwenden und erhält für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,u' }
{ \in }{ U { \left( v,\epsilon \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f(s,u)-f(s,u')} \Vert }
{ \leq} { L \cdot \Vert { u - u'} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}






\zwischenueberschrift{Abbildungsräume und Supremumsnorm}

Wir stellen noch einige funktionalanalytische Hilfsmittel für den Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf bereit. Wir verallgemeinern den Begriff der punktweisen \zusatzklammer {gleichmäßigen} {} {} Konvergenz von Funktionenfolgen auf metrische Räume.




\inputdefinition
{}
{

Es sei $T$ eine Menge, $M$ ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und \maabbdisp {f_n} {T} {M } {} \zusatzklammer {$n \in \N$} {} {} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} von \definitionsverweis {Abbildungen}{}{.} Man sagt, dass die Abbildungsfolge \definitionswort {punktweise konvergiert}{,} wenn für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathdisp {{ \left( f_n(x) \right) }_{ n \in \N }} { }
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}




\inputdefinition
{}
{

Es sei $T$ eine Menge, $M$ ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und \maabbdisp {f_n} {T} {M } {} \zusatzklammer {$n \in \N$} {} {} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} von \definitionsverweis {Abbildungen}{}{,} die \definitionsverweis {punktweise konvergiert}{}{.} Dann nennt man die Abbildung \maabbeledisp {} {T} {M } {x} {f(x) : = \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) } {,} die \stichwort {Grenzabbildung} {} der Abbildungsfolge.

}




\inputdefinition
{}
{

Es sei $T$ eine Menge, $M$ ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und \maabbdisp {f_n} {T} {M } {} \zusatzklammer {$n \in \N$} {} {} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} von \definitionsverweis {Abbildungen}{}{.} Man sagt, dass die Abbildungsfolge \definitionswort {gleichmäßig konvergiert}{,} wenn es eine Abbildung \maabbdisp {f} {T} {M } {} derart gibt, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $n_0$ gibt mit
\mathdisp {d { \left( f_n(x) , f(x) \right) } \leq \epsilon \text { für alle } n \geq n_0 \text{ und alle } x \in T} { . }

}





\inputfaktbeweis
{Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Stetig/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} \definitionsverweis {metrische Räume}{}{} und es sei}
\faktvoraussetzung {\maabbdisp {f_n} {L} {M } {} eine Folge von \definitionsverweis {stetigen Abbildungen}{}{,} die \definitionsverweis {gleichmäßig}{}{} gegen die Abbildung $f$ konvergiert.}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ stetig.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vorgegeben. Aufgrund der \definitionsverweis {gleichmäßigen Konvergenz}{}{} gibt es ein $n_0$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( f_n(y), f(y) \right) } }
{ \leq }{ \epsilon/3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq }{ n_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y }
{ \in }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wegen der \definitionsverweis {Stetigkeit}{}{} von $f_{n_0}$ in $x$ gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( f_{n_0} (x), f_{n_0} (y) \right) } }
{ \leq }{ \epsilon/3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y }
{ \in }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x, y \right) } }
{ \leq }{ \delta }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Für diese $y$ gilt somit
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ d { \left( f(x), f(y) \right) } }
{ \leq} { d { \left( f(x), f_{n_0}(x) \right) } + d { \left( f_{n_0} (x), f_{n_0} (y) \right) } + d { \left( f_{n_0} (y), f(y) \right) } }
{ \leq} { \epsilon/3 + \epsilon/3 + \epsilon/3 }
{ =} { \epsilon }
{ } { }
} {} {}{.}

}


Wir erinnern an die Definition der Supremumsnorm.

Es sei $T$ eine Menge und \maabbdisp {f} {T} {\R } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert }
{ \defeq} { \Vert {f} \Vert_T }
{ =} { {\operatorname{sup} \, ( \betrag { f(x) } {{|}} x \in T ) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} das \definitionswort {Supremum}{} \zusatzklammer {oder die \definitionswort {Supremumsnorm}{}} {} {} von $f$. Es ist eine \definitionsverweis {nichtnegative}{}{} \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{} oder $\infty$.


Diese Definition kann man direkt verallgemeinern, wenn die Werte der Abbildungen in einem euklidischen Vektorraum liegen. Es sei also $T$ eine Menge und $E$ sei ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{.} In dieser Situation definiert man zu einer Abbildung \maabbdisp {f} {T} {E } {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert }
{ \defeq} { \Vert {f} \Vert_T }
{ =} { {\operatorname{sup} \, ( \Vert {f(x)} \Vert ,x \in T ) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und nennt dies das \definitionswort {Supremum}{} \zusatzklammer {oder die \definitionswort {Supremumsnorm}{}} {} {} von $f$ \zusatzklammer {falls das Supremum nicht existiert, ist dies als $\infty$ zu interpretieren} {} {.}

Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ \operatorname{Abb}(T,E) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{;} dies ist ein \zusatzklammer {i.A. unendlichdimensionaler} {} {} reeller Vektorraum. Die Supremumsnorm erfüllt die folgenden Eigenschaften \zusatzklammer {die geeignet zu interpretieren sind, falls $\infty$ auftritt} {} {.} \aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert }
{ \geq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\lambda f} \Vert }
{ =} { \betrag { \lambda } \cdot \Vert {f} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g,f }
{ \in }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {g+f} \Vert }
{ \leq} { \Vert {g} \Vert + \Vert {f} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

Wenn $T$ ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} ist, so betrachtet man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C }
{ =} { { \left\{ f:T \rightarrow E \mid f \text{ stetig} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dieser ist ein reeller Untervektorraum von $M$. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ \R^k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nichtleer, \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} und \definitionsverweis {beschränkt}{}{} ist, so ist nach Satz 36.12 das Supremum von
\mathbed {\Vert {f(x)} \Vert} {}
{x \in T} {}
{} {} {} {,} gleich dem Maximum, d.h. es gibt ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {f(x')} \Vert }
{ \leq }{ \Vert {f(x)} \Vert }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x' }
{ \in }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Daher ist in diesem Fall das Supremum stets eine reelle Zahl, und stimmt mit dem Maximum überein. Man spricht daher auch von der \stichwort {Maximumsnorm} {.}





\inputfaktbeweis
{Abbildungsraum/Abgeschlossene beschränkte Menge/Maximumsnorm/Euklidisch/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{ \R^k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {kompakte}{}{} Teilmenge, es sei $E$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ = }{ C(T,E) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Vektorraum der stetigen Abbildungen}{}{} von $T$ nach $E$.}
\faktfolgerung {Dann ist $C$, versehen mit der \definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{,} ein \definitionsverweis {vollständiger metrischer Raum}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es sei \maabbdisp {f_n} {T} {E } {} eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} von \definitionsverweis {stetigen Abbildungen}{}{.} Wir müssen zeigen, dass diese Folge gegen eine \definitionsverweis {Grenzabbildung}{}{} \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} die ebenfalls stetig ist. Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n_0 }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n,m }
{ \geq }{ n_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f_n(x) -f_m(x)} \Vert }
{ \leq} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Daher ist für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathl{{ \left( f_n(x) \right) }_{ n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in $E$ und somit, wegen der Vollständigkeit von euklidischen Räumen, konvergent in $E$. Wir nennen den Grenzwert dieser Folge $f(x)$, sodass sich insgesamt eine Grenzabbildung \maabbeledisp {f} {T} {E } {x} {f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) } {,} ergibt, gegen die die Funktionenfolge \definitionsverweis {punktweise konvergiert}{}{.} Da
\mathl{{ \left( f_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Cauchy-Folge ist, gibt es zu jedem vorgegebenen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} stets ein $n_0$ derart, dass die Cauchy-Bedingung für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt, konvergiert die Funktionenfolge sogar \definitionsverweis {gleichmäßig}{}{} gegen $f$ \zusatzklammer {und das bedeutet die Konvergenz in der Supremumsnorm} {} {.} Aufgrund von Lemma 55.8 ist daher $f$ \definitionsverweis {stetig}{}{} und daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ C }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}

}