Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 75/latex

\setcounter{section}{75}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^2 \setminus \{ (0,0) \} } {\R^2 \setminus \{ (0,0) \} } {(u,v)} { \left( { \frac{ -u }{ u^2+v^2 } } , \, { \frac{ -v }{ u^2+v^2 } } \right) } {,} ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

Auf einer Kugeloberfläche
\mathl{K \subseteq \R^3}{} nennt man einen Durchschnitt von $K$ mit einer Ebene, die durch den Kugelmittelpunkt läuft, einen \stichwort {Großkreis} {} auf $K$. Zwei Punkte
\mathbed {P,Q \in K} {}
{P \neq Q} {}
{} {} {} {,} heißen \stichwort {antipodal} {,} wenn ihre Verbindungsgerade durch den Kugelmittelpunkt läuft.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Kugeloberfläche. Zeige, dass je zwei nicht \definitionsverweis {antipodale Punkte}{}{}
\mathbed {P,Q \in K} {}
{P \neq Q} {}
{} {} {} {,} auf genau einem \definitionsverweis {Großkreis}{}{} von $K$ liegen.

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Planned flight map of the Oiseau Blanc.svg} }
\end{center}
\bildtext {Warum fliegt das Flugzeug einen Bogen?} }

\bildlizenz { Planned flight map of the Oiseau Blanc.svg } {} {Pethrus} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

\inputaufgabe
{}
{

Ein Flugzeug soll von Osnabrück aus zu einem Zielort auf der Südhalbkugel fliegen. Kann es kürzer sein, in Richtung Norden zu fliegen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Lucy Sonnenschein findet, dass die Tage zu kurz sind. Daher entschließt sie sich, jeden Tag, und zwar bei Tageslicht, um eine Zeitzone nach Westen zu fliegen, damit jeder Tag $25$ statt $24$ Stunden besitzt. \aufzaehlungfuenf{Kann Lucy Sonnenschein mit dieser Strategie den Anteil an Lichtstunden in ihrem Leben erhöhen? }{Kann Lucy Sonnenschein mit dieser Strategie ihr Leben verlängern? }{Lucy hat jetzt Freunde in aller Welt. Nach wie vielen Tagen sieht sie sie wieder? }{Wodurch erlebt Lucy zeitliche Einbußen, die ihren täglichen Zeitgewinn ausgleichen? }{Hat das was mit Relativitätstheorie zu tun? }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass zu zwei Punkten
\mathl{A,B \neq N,S}{} auf der Einheitssphäre $S^2$ die Differenz der in den beiden stereographischen Standardkarten genommenen Abständen, also \mathkor {} {d( \alpha_1(A),\alpha_1(B))} {und} {d( \alpha_2(A),\alpha_2(B))} {,} beliebig klein und beliebig groß sein kann.

}
{} {} Die vorstehende Aufgabe zeigt, dass man über Karten im Allgemeinen keinen sinnvollen Abstandsbegriff auf einer Mannigfaltigkeit erhalten kann. Eine natürliche Metrik auf der Einheitssphäre ergibt sich durch die induzierte Metrik des $\R^3$ oder durch den geodätischen Abstand, siehe Aufgabe 75.18.

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {halboffenes Intervall}{}{}
\mathl{[a,b[}{} keine \definitionsverweis {topologische Mannigfaltigkeit}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{I=[0,1[}{} das \zusatzklammer {nach oben} {} {} halboffene Einheitsintervall und $S^1$ der \definitionsverweis {Einheitskreis}{}{.} Zeige, dass es eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} \maabbdisp {f} {I} {S^1 } {} gibt, dass aber \mathkor {} {I} {und} {S^1} {} nicht \definitionsverweis {homöomorph}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die drei eindimensionalen Mannigfaltigkeiten \mathlistdisp {S^1 = { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid \betrag { (x,y) } = 1 \right\} }} {} {\R} {und} {\R \setminus \{0\}} {} paarweise nicht homöomorph sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ der \definitionsverweis {Graph}{}{} der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} {\begin{cases} \sin \frac{1}{x} \text{ für } x \neq 0\, , \\ 0 \text{ sonst}\, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebenen Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {.} Zeige, dass $M$ keine \definitionsverweis {topologische Mannigfaltigkeit}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {offener Ball}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U { \left( P,r \right) } }
{ \subseteq }{ \R^m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} $C^\infty$-\definitionsverweis {diffeomorph}{}{} zum $\R^m$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Sei
\mathdisp {S= { \left\{ P \in \R^3 \mid \Vert {P} \Vert = 1 \right\} }} { }
die Einheitssphäre. Zu
\mathl{v=(a,b,c) \neq 0}{} ist
\mathdisp {E_v = { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid ax+by+cz = 0 \right\} }} { }
eine Ebene durch den Nullpunkt, die einen Großkreis \zusatzklammer {einen \anfuehrung{Äquator}{}} {} {} und zwei offene Halbsphären auf $S$ definiert.

a) Beschreibe zu
\mathl{v=(a,b,c) \neq 0}{} den zugehörigen Großkreis und die beiden Halbsphären mit Gleichungen bzw. mit Ungleichungen.

b) Zeige, dass man $S$ nicht mit drei offenen Halbsphären überdecken kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die offene Zylinderoberfläche
\mathl{S^1 \times {]0,1[}}{} zu
\mathl{S^1 \times \R}{,} zur punktierten Ebene
\mathl{\R^2 \setminus \{(0,0)\}}{} und zu
\mathl{S^2 \setminus \{N,S\}}{} \definitionsverweis {homöomorph}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{]a,b[}{} ein \definitionsverweis {offenes Intervall}{}{} und \maabbdisp {f} {]a,b[} {\R_{\geq 0} } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Es sei $M$ die äußere Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers. Zeige, dass diese Menge bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine zu einem offenen Zylindermantel homöomorphe Mannigfaltigkeit ist. Zeige ferner, dass keine Mannigfaltigkeit vorliegt, wenn $f$ sowohl Nullstellen als auch positive Werte besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {topologische Mannigfaltigkeit}{}{} genau dann \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{} ist, wenn sie \definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {topologische Mannigfaltigkeit}{}{} und es sei
\mathl{M= \bigcup_{i \in I} U_i}{} eine \definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{} mit \definitionsverweis {Karten}{}{} \maabbdisp {\alpha_i} {U_i} {V_i } {} mit
\mathl{V_i \subseteq \R^n}{.} Zu
\mathl{i,j \in I}{} seien \maabbdisp {\varphi_{ij} = \alpha_j \circ (\alpha_i)^{-1}} {V_i \cap \alpha_i(U_i \cap U_j) } { V_j \cap \alpha_j(U_i \cap U_j) } {} die \definitionsverweis {Übergangsabbildungen}{}{.} Zeige, dass zu
\mathl{i,j,k \in I}{} die sogenannte \stichwort {Kozykelbedingung} {} \zusatzklammer {auf welchen Teilmengen} {?} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_{ij} }
{ =} {\varphi_{kj} \circ \varphi_{ik} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Überprüfe die Kozykelbedingung \zusatzklammer {siehe Aufgabe 75.15} {} {} für die Einheitssphäre $M=S^2$ und die drei stereographischen Projektionen vom Nordpol, vom Südpol und von
\mathl{P=(1,0,0)}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Bild}{}{} der \definitionsverweis {Großkreise}{}{} durch die beiden Pole auf der \definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{} unter der \definitionsverweis {stereographischen Projektion}{}{} vom Nordpol aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Zeige, dass auf der \definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subset }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch folgende Zuordnung eine \definitionsverweis {Metrik}{}{} festgelegt wird. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mathl{d(P,Q)}{} die Länge des \zusatzklammer {kürzeren} {} {} Verbindungsweges von $P$ nach $Q$ auf dem durch diese Punkte festgelegten \definitionsverweis {Großkreis}{}{} \zusatzklammer {berücksichtige auch die Fälle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $P,Q$ \definitionsverweis {antipodal}{}{}} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{8}
{

Wir fixieren die beiden Punkte $N=(0,0,1)$ und $P=(1,0,0)$ auf der \definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{} $K$. Es sei $G$ die Verbindungsgerade und es sei $H$ die zu $G$ senkrechte Ebene durch $N$. Führe auf $H$ einen parametrisierten Einheitskreis $E$ mit $N$ als Mittelpunkt ein. Bestimme zu $S \in E$ die Länge des \zusatzklammer {kürzeren} {} {} Weges von $N$ nach $P$ auf demjenigen Kreis, der durch den Schnitt von $K$ mit der durch \mathkor {} {N,P} {und} {S} {} gegebenen Ebene festgelegt ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Man gebe eine \definitionsverweis {injektive}{}{} \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R} {S^2 } {,} die \zusatzklammer {als Abbildung nach $\R^3$} {} {} \definitionsverweis {rektifizierbar}{}{} ist und unendliche \definitionsverweis {Länge}{}{} besitzt, und für die \mathkor {} {\operatorname{lim}_{ t \rightarrow \infty } \, \varphi (t) = N} {und} {\operatorname{lim}_{ t \rightarrow - \infty } \, \varphi (t) = S} {} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass das Achsenkreuz keine \definitionsverweis {topologische Mannigfaltigkeit}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgabe zum Hochladen}

\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Erstelle eine Animation, die die geometrischen Objekte aus Aufgabe 15.19 darstellt.

}
{} {}