Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 76

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

eine Karte (also und offen). Zeige, dass ein Diffeomorphismus ist.


Aufgabe

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

eine Abbildung. Es sei eine offene Überdeckung von . Zeige, dass genau dann differenzierbar ist, wenn alle Einschränkungen differenzierbar sind.


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

differenzierbare Funktionen auf . Beweise die folgenden Aussagen.
  1. Die Abbildung
    ist differenzierbar.
  2. ist differenzierbar.
  3. ist differenzierbar.
  4. Wenn keine Nullstelle besitzt, so ist auch differenzierbar.


Aufgabe

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass dies einen Ringhomomorphismus

induziert.


Aufgabe

Zeige, dass zu die Einbettung des Unterraumes in den , die durch gegeben ist, beliebig oft differenzierbar ist.


Aufgabe

Zeige, dass die offene Zylinderoberfläche zu , zur punktierten Ebene und zu diffeomorph ist.


Die nächste Aufgabe verwendet folgende Definition.

Eine Funktion

heißt homogen vom Grad , wenn für jeden Punkt und jedes die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es sei

eine stetig differenzierbare homogene Funktion, die in der Faser über regulär sei. Zeige, dass jede Faser zu eine zu diffeomorphe Mannigfaltigkeit ist.


Aufgabe

Es sei ein offenes Intervall und

eine stetig differenzierbare Funktion. Es sei die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers. Zeige, dass diese Menge eine zu einem offenen Zylinder diffeomorphe Mannigfaltigkeit ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine Ellipsoidoberfläche und die Einheitssphäre -diffeomorph sind.


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer zweidimensionalen zusammenhängenden differenzierbaren Mannigfaltigkeit und einem Punkt derart, dass und zueinander diffeomorph sind.




Aufgaben zum Abgeben

In der folgenden Aufgabe interpretiere man als .

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Für welche Punkte ist die Faser über eine Mannigfaltigkeit? Man gebe jeweils eine möglichst einfache Beschreibung des Diffeomorphietyps.


Aufgabe (6 Punkte)

Es seien zwei Punkte und auf der Einheitssphäre gegeben. Zeige, dass es einen Diffeomorphismus der Sphäre in sich gibt, der in überführt.


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zu jeder offenen Teilmenge betrachten wir die Menge der differenzierbaren Funktionen auf . Es sei eine offene Überdeckung.

  1. Zeige, dass zu offen und auch die Einschränkung zu gehört.
  2. Sei . Zeige, dass genau dann ist, wenn sämtliche Einschränkungen sind.
  3. Es sei eine Familie von Funktionen gegeben, die die „Verträglichkeitsbedingung“ für alle erfüllen. Zeige, dass es ein gibt mit für alle .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die mindestens zwei Elemente besitze. Zeige, dass es differenzierbare Funktionen

gibt mit , aber .



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