Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 89/latex

\setcounter{section}{89}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Diskutiere die Newton-Leibniz-Formel als einen Spezialfall des Satzes von Stokes.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{} mit \definitionsverweis {kompaktem Träger}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} $f'$ ebenfalls kompakten Träger hat, und dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \int_\R f' d \lambda^1 }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R_{\geq 0}} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{} mit \definitionsverweis {kompaktem Träger}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} $f'$ ebenfalls kompakten Träger hat, und dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \int_{\R_{\geq 0} } f' d \lambda^1 }
{ = }{ f(0) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Zeige, dass diese Aussage nicht gelten muss, wenn $f$ keinen kompakten Träger besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine $n$-\definitionsverweis {dimensionale}{}{} \definitionsverweis {orientierte}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{} und mit \definitionsverweis {abzählbarer Basis der Topologie}{}{} und es sei $\omega$ eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {geschlossene}{}{} $(n-1)$-\definitionsverweis {Differentialform }{}{} auf $M$ mit \definitionsverweis {kompaktem Träger}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{\partial M} \omega }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {kompakte}{}{} $n$-\definitionsverweis {dimensionale}{}{} \definitionsverweis {orientierte}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} \zusatzklammer {ohne Rand} {} {} mit \definitionsverweis {abzählbarer Basis der Topologie}{}{} und es sei $\omega$ eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} $(n-1)$-\definitionsverweis {Differentialform }{}{} auf $M$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ M } d\omega }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{Was bedeutet diese Aussage für $S^1$? Wie kann man diese Aussage in diesem Fall über ein Wegintegral beweisen?} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {kompakte}{}{} \definitionsverweis {orientierte}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} \zusatzklammer {ohne Rand} {} {} mit \definitionsverweis {abzählbarer Basis der Topologie}{}{} und es sei $\tau$ eine \definitionsverweis {positive Volumenform}{}{} auf $M$. Zeige, dass $\tau$ nicht \definitionsverweis {exakt}{}{} ist.

}
{Wie sieht dies ohne die Kompaktheitsvoraussetzung aus?} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ B \left( 0,1 \right) \setminus \{(0,0)\} }
{ \subset }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit dem Rand
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \partial M }
{ = }{ S^1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir betrachten die beiden \definitionsverweis {stetig differenzierbaren}{}{} $1$-\definitionsverweis {Differentialformen}{}{}
\mathdisp {\omega= ydx-xdy \text{ und } \tau= { \frac{ 1 }{ x^2+y^2 } } { \left( ydx-xdy \right) }} { }
auf $M$. Zeige, dass die Einschränkungen der beiden Formen auf den Rand übereinstimmen und insbesondere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \int_{\partial M} \omega }
{ = }{ \int_{\partial M} \tau }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Vergleiche \mathkor {} {\int_M d \omega} {und} {\int_M d \tau} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man mache sich klar, dass der Satz von Green nicht behauptet, dass der Flächeninhalt eines umrandeten Gebiets im $\R^2$ nur von der Länge des Randes abhängt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ das durch $(0,2),\, (1,-1)$ und $(-2,-1)$ gegebene Dreieck und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau }
{ = }{ x^2ydx \wedge dy }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine $2$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{} auf $D$. Finde eine \definitionsverweis {Stammform}{}{} für $\tau$ und berechne damit
\mathl{\int_{ D } \tau}{} durch ein Integral über dem Dreiecksrand.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestätige den Satz von Green für das Einheitsquadrat
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ = }{ [0,1] \times [0,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und die \definitionsverweis {Differentialformen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { x^ay^b dx + x^cy^d dy }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c,d }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch explizite Berechnungen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestätige den Satz von Green durch explizite Berechnungen für die Menge
\mathl{T=[-2,2] \times [-2,2] \setminus U { \left( 0,1 \right) }}{} \zusatzklammer {also das zentrierte Quadrat der Seitenlänge $4$ ohne den offenen Einheitskreis} {} {} und die \definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega }
{ = }{(x-y)dx + xy dy }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise den Satz von Green für ein Dreieck $D$ mit den Eckpunkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1,P_2,P_3 }
{ \in }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und für die Differentialform
\mathl{xdy}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {[a,b]} { \R_{+} } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.} Wir fassen den \definitionsverweis {Subgraphen}{}{} als eine \definitionsverweis {Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{} auf, wobei der Rand aus dem Graphen, dem Grundintervall und den beiden Seitenkanten, aber ohne die vier Eckpunkte besteht. Berechne den Flächeninhalt des Subgraphen mit den beiden \definitionsverweis {Differentialformen}{}{}
\mathl{xdy}{} und
\mathl{ydx}{} über den Rand.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das Volumen der dreidimsionalen \definitionsverweis {abgeschlossenen Einheitskugel}{}{} durch ein geeignetes Flächenintegral über die \definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{} $S^2$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die $2$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\omega }
{ =} { x dy \wedge dz -y dx \wedge dz + z dx \wedge dy }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf der Einheitskugel
\mathl{B \left( 0,1 \right)}{.}

a) Zeige, dass $d \omega$ das Dreifache der Standardvolumenform auf der Kugel ist.

b) Zeige, dass
\mathl{\omega{{|}}_{S^2}}{} die Standardflächenform auf der Einheitssphäre ist.

c) Berechne die Kugeloberfläche aus dem Kugelvolumen mit dem Satz von Stokes.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} mit einem nichtleeren Rand. Zeige, dass es eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{} \maabb {} {M} { \partial M } {} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} ein \definitionsverweis {Halbraum}{}{.} Zeige, dass es eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {H} { \partial H } {} gibt, deren \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} auf
\mathl{\partial H}{} die \definitionsverweis {Identität}{}{} ist.

}
{Wie sieht das bei $n=0$ aus?} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es auf einem \definitionsverweis {Annulus}{}{} \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} Abbildungen ohne \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die im Beweis zum Brouwerschen Fixpunktsatz verwendete Abbildung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(x) }
{ =} { x + \left( - \left\langle x , h(x) \right\rangle + \sqrt{1 + \left\langle x , h(x) \right\rangle^2 - \Vert {x} \Vert^2 }\right) \cdot h(x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(x) }
{ = }{ { \frac{ \psi(x)-x }{ \Vert { \psi (x)-x} \Vert } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} die Einheitskugel auf die Einheitssphäre abbildet.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $D$ das durch $(0,2),\, (1,-1)$ und $(-2,-1)$ gegebene Dreieck und
\mathl{\tau =( 3x^2y^5-x \sin y ) dx \wedge dy}{} eine $2$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{} auf $D$. Finde eine \definitionsverweis {Stammform}{}{} für $\tau$ und berechne damit
\mathl{\int_{ D } \tau}{} durch ein Integral über dem Dreiecksrand.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Wir betrachten den Würfel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q }
{ =} { [-1,1]^3 }
{ \subseteq} { \R^3 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und die $2$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { dx \wedge dy +y dx \wedge dz +x^2y^2z^2 dy \wedge dz }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Berechne
\mathl{d \omega}{} und die beiden Integrale \mathkor {} {\int_{ \partial Q } \omega} {und} {\int_{ Q } d \omega} {} \zusatzklammer {unabhängig voneinander} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Berechne den Flächeninhalt der \definitionsverweis {abgeschlossenen Einheitskreisscheibe}{}{} über ein geeignetes \definitionsverweis {Wegintegral}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Zeige, dass es auf einem \definitionsverweis {Torus}{}{} \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} Abbildungen ohne \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $B$ die \definitionsverweis {abgeschlossene Einheitskreisscheibe}{}{} und $K$ der obere Halbkreisbogen. Zeige, dass es eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {B} {K } {} gibt, deren \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} auf
\mathl{K}{} die \definitionsverweis {Identität}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w }
{ \in }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit \mathkor {} {\Vert {v} \Vert \leq 1} {und} {\Vert {w} \Vert = 1} {.} Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v+aw} \Vert }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}