Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 88

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei eine berandete Mannigfaltigkeit und sei der Rand. Zeige, dass der topologische Rand von gleich ist.


Aufgabe

Bestimme die Träger der folgenden Funktionen von nach .

  1. Eine Polynomfunktion.
  2. Die Sinusfunktion.
  3. Die Exponentialfunktion.
  4. Die Indikatorfunktion .
  5. Die Indikatorfunktion .
  6. Die Indikatorfunktion .
  7. Die Indikatorfunktion .


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und eine Teilmenge. Zeige, dass der Abschluss von gleich dem Träger der Indikatorfunktion ist.


Aufgabe

Man gebe eine kompakte Ausschöpfung für die reellen Zahlen an.


Aufgabe

Man gebe eine kompakte Ausschöpfung für den an.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum. Bestimme zur Überdeckung von durch eine untergeordnete Partition der Eins.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und eine offene Überdeckung. Wir betrachten die Familie der Indikatorfunktionen

Welche Eigenschaften einer (dieser Überdeckung) untergeordneten Partition der Eins erfüllt diese Familie?


Aufgabe

Wir betrachten die kompakte Ausschöpfung , , der reellen Zahlen und die offene Überdeckung , , (es sei ). Finde eine Überdeckung von mit offenen Intervallen, die die Eigenschaften aus Lemma 88.8 (und seinem Beweis) erfüllt.


Aufgabe

Stifte eine Homöomorphie zwischen der abgeschlossenen Kreisscheibe und dem abgeschlossenen Quadrat.


Aufgabe

Es sei eine offene Menge im Halbraum und sei

eine stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass es eine offene Menge und eine stetig differenzierbare Funktion

mit und gibt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei , , eine kompakte Ausschöpfung eines topologischen Raumes . Zeige, dass die Beziehung

gilt.


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe zur offenen Überdeckung

eine untergeordnete stetige Partition der Eins an.


Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die kompakte Ausschöpfung

des und die offene Überdeckung

(es sei ). Finde eine Überdeckung des mit offenen Kreisscheiben, die die Eigenschaften aus Lemma 88.8 (und seinem Beweis) erfüllt.


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen topologischen Raum, der keine kompakte Ausschöpfung besitzt.



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