Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Definitionsabfrage

Definition:Mengensystem

Zu einer Menge ${}M$ heißt eine Teilmenge ${}{\mathcal {A}}\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M)$ der Potenzmenge ein (Teil)-Mengensystem auf ${}M$.

Definition:Mengen-Algebra

Ein Teilmengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf einer Menge ${}M$ heißt Mengen-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist ${}M\in {\mathcal {A}}$.
2. Mit ${}T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch das Komplement ${}M\setminus T$ zu ${}{\mathcal {A}}$.
3. Für je zwei Mengen ${}S,T\in {\mathcal {A}}$ ist auch ${}S\cup T\in {\mathcal {A}}$.

Definition:${}\sigma$-Algebra

Ein Teilmengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf einer Menge ${}M$ heißt ${}\sigma$-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist ${}M\in {\mathcal {A}}$.
2. Mit ${}T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch das Komplement ${}M\setminus T$ zu ${}{\mathcal {A}}$.
3. Für jede abzählbare Familie ${}T_{i}\in {\mathcal {A}}$, ${}i\in I$, ist auch

   ${}\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}\,.$

Definition:Messraum

Eine Menge ${}M$, auf der eine ${}\sigma$- Algebra ${}{\mathcal {A}}$ erklärt ist, heißt ein Messraum.

Definition:Erzeugte Sigmaalgebra

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}{\mathcal {E}}\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M)$ eine Menge von Teilmengen aus ${}M$. Dann nennt man die kleinste ${}\sigma$- Algebra, die ${}{\mathcal {E}}$ enthält, die von ${}{\mathcal {E}}$ erzeugte ${}\sigma$-Algebra. Sie wird mit ${}\sigma ({\mathcal {E}})$ bezeichnet. Das System ${}{\mathcal {E}}$ heißt Erzeugendensystem dieser ${}\sigma$-Algebra.

Definition:Dynkin-System

Ein Teilmengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf einer Menge ${}M$ heißt Dynkin-System, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist ${}M\in {\mathcal {A}}$.
2. Mit ${}S,T\in {\mathcal {A}}$ und ${}S\subseteq T$ gehört auch ${}T\setminus S$ zu ${}{\mathcal {A}}$.
3. Für jede abzählbare Familie ${}T_{i}\in {\mathcal {A}}$, ${}i\in I$, mit paarweise disjunkten Mengen ${}T_{i}$ ist auch

   ${}\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}\,.$

Definition:Mengen-Präring

Ein Teilmengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf einer Menge ${}M$ heißt Mengen-Präring, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist ${}\emptyset \in {\mathcal {A}}$.
2. Mit ${}S,T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch ${}S\setminus T$ zu ${}{\mathcal {A}}$.
3. Für je zwei Mengen ${}S,T\in {\mathcal {A}}$ ist auch ${}S\cup T\in {\mathcal {A}}$.

Definition:Messbare Abbildung

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}})$ und ${}(N,{\mathcal {B}})$ Messräume. Eine Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

heißt messbar (oder genauer ${}{\mathcal {A}}-{\mathcal {B}}$-messbar), wenn für alle ${}T\in {\mathcal {B}}$ das Urbild ${}\varphi ^{-1}(T)$ zu ${}{\mathcal {A}}$ gehört.

Definition:Topologie

Es sei ${}X$ eine Menge. Eine Familie ${}{\mathcal {T}}$ von Teilmengen von ${}X$ heißt Topologie auf ${}X$, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:

1. Es ist ${}\emptyset \in {\mathcal {T}}$ und ${}X\in {\mathcal {T}}$.
2. Sind ${}U\in {\mathcal {T}}$ und ${}V\in {\mathcal {T}}$, so ist auch ${}U\cap V\in {\mathcal {T}}$.
3. Ist ${}I$ eine Indexmenge und ${}U_{i}\in {\mathcal {T}}$ für alle ${}i\in I$, so ist auch ${}\bigcup _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {T}}$.

Ein topologischer Raum ist ein Paar ${}(X,{\mathcal {T}})$, wobei ${}X$ eine Menge und ${}{\mathcal {T}}$ eine Topologie auf ${}X$ ist.

Definition:Hausdorffsch

Ein topologischer Raum ${}X$ heißt hausdorffsch, wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten ${}x,y\in X$ offene Mengen ${}U$ und ${}V$ mit ${}x\in U$, ${}y\in V$ und mit ${}U\cap V=\emptyset$ gibt.

Definition:Basis einer Topologie

Es sei ${}(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Ein System ${}{\mathcal {C}}$ von offenen Mengen in ${}X$ heißt Basis der Topologie, wenn man jede offene Menge in ${}{\mathcal {T}}$ als Vereinigung von offenen Mengen aus ${}{\mathcal {C}}$ erhalten kann.

Definition:Topologie mit abzählbarer Basis

Es sei ${}(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Man sagt, dass ${}X$ eine abzählbare Basis besitzt, wenn es eine Basis der Topologie gibt, die nur aus abzählbar vielen offenen Mengen besteht.

Definition:Stetig

Eine Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

zwischen topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ heißt stetig, wenn Urbilder von offenen Mengen wieder offen sind.

Definition:Homöomorphe Räume

Zwei topologische Räume ${}X$ und ${}Y$ heißen homöomorph, wenn es eine bijektive stetige Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

gibt, deren Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ ebenfalls stetig ist.

Definition:Unterraumtopologie

Es sei ${}(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum und ${}Y\subseteq X$ eine Teilmenge. Folgende Vorschrift definiert eine Topologie ${}{\mathcal {T}}_{Y}$ auf ${}Y$: Für eine Teilmenge ${}U\subseteq Y$ gilt ${}U\in {\mathcal {T}}_{Y}$ genau dann, wenn es eine in ${}X$ offene Menge ${}V\in {\mathcal {T}}$ derart gibt, dass ${}V\cap Y=U$ gilt.

Definition:Borel-Mengen

Es sei ${}(M,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Dann nennt man die von ${}{\mathcal {T}}$ erzeugte ${}\sigma$- Algebra die Menge der Borel-Mengen von ${}M$.

Definition:Prämaß

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}{\mathcal {P}}$ ein Mengen-Präring auf ${}M$. Dann heißt eine Abbildung

$\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$

ein Prämaß auf ${}M$, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen ${}T_{i}$, ${}i\in I$, aus ${}{\mathcal {P}}$, für die ${}\bigcup _{i\in I}T_{i}$ ebenfalls zu ${}{\mathcal {P}}$ gehört, gilt

${}\mu {\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}=\sum _{i\in I}\mu (T_{i})\,.$

Definition:Maß

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}{\mathcal {A}}$ eine ${}\sigma$- Algebra auf ${}M$. Ein Prämaß auf ${}M$ nennt man ein Maß.

Definition:Maßraum

Eine Menge ${}M$, auf der eine ${}\sigma$- Algebra ${}{\mathcal {A}}$ und ein Maß

$\mu \colon {\mathcal {A}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$

erklärt ist, heißt ein Maßraum. Man schreibt dafür kurz ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$.

Definition:Wahrscheinlichkeitsraum

Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ mit ${}\mu (M)=1$.

Definition:Zählmaß

Auf einer Menge ${}M$ nennt man das auf ${}(M,{\mathfrak {P}}\,(M))$ durch

${}z(T)={\begin{cases}{\#\left(T\right)}\,,{\text{ falls }}T{\text{ endlich}}\,,\\\infty {\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

definierte Maß das Zählmaß auf ${}M$.

Definition:Dirac-Maß

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}x\in M$ ein Punkt. Das auf ${}(M,{\mathfrak {P}}\,(M))$ durch

${}\delta _{x}(T)={\begin{cases}1\,,{\text{ falls }}x\in T\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

definierte Maß heißt das im Punkt ${}x$ konzentrierte Dirac-Maß auf ${}M$.

Definition:Gittermaß

Es sei ${}\epsilon >0$ Die Menge

${}\Gamma _{\epsilon }={\left\{\epsilon (a_{1},\ldots ,a_{n})\mid a_{i}\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,$

nennt man das Gitter zum Gitterpunktabstand ${}\epsilon$. Das durch

${}\mu _{\epsilon }(T)=\epsilon ^{n}\cdot {\#\left(T\cap \Gamma _{\epsilon }\right)}\,$

für ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ definierte Maß heißt das Gittermaß zum Gitterabstand ${}\epsilon$.

Definition:Ausschöpfung

Es sei ${}M$ eine Menge und sei ${}T_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Folge von Teilmengen in ${}M$ mit ${}T_{n}\subseteq T_{n+1}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Es sei ${}T=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$. Dann sagt man, dass diese Folge eine Ausschöpfung von ${}T$ bildet (oder ${}T$ ausschöpft), und schreibt dafür ${}T_{n}\uparrow T$.

Definition:Schrumpfung

Es sei ${}M$ eine Menge und sei ${}T_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Folge von Teilmengen in ${}M$ mit ${}T_{n}\supseteq T_{n+1}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Es sei ${}T=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$. Dann sagt man, dass diese Folge eine Schrumpfung von ${}T$ bildet (oder gegen ${}T$ schrumpft), und schreibt dafür ${}T_{n}\downarrow T$.

Definition:Endliches Prämaß

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$,

$\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

ein Prämaß auf ${}M$. Dann heißt ${}\mu$ endlich, wenn

${}\mu (T)<\infty \,$

für alle ${}T\in {\mathcal {P}}$ ist.

Definition:${}\sigma$-endliches Prämaß

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$,

$\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

ein Prämaß auf ${}M$. Dann heißt ${}\mu$ ${}\sigma$-endlich, wenn man ${}M$ als eine abzählbare Vereinigung von Teilmengen ${}M_{i}$ aus ${}{\mathcal {P}}$ mit

${}\mu (M_{i})<\infty \,$

schreiben kann.

Definition:Bildmaß

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum, ${}(N,{\mathcal {B}})$ ein Messraum und

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine messbare Abbildung. Dann nennt man das durch

${}\nu (T):=\mu (\varphi ^{-1}(T))\,$

definierte Maß auf ${}N$ das Bildmaß von ${}\mu$ unter ${}\varphi$. Es wird mit ${}\varphi _{*}\mu$ bezeichnet.

Definition:Maßtreue Abbildung

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ Maßräume. Eine messbare Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

heißt maßtreu, wenn für jede messbare Menge ${}T\subseteq N$ die Beziehung

${}\nu (T)=\mu (\varphi ^{-1}(T))\,$

gilt.

Definition:Produktraum

Unter dem Produkt der topologischen Räume ${}X$ und ${}Y$ versteht man die Produktmenge ${}X\times Y$ zusammen mit derjenigen Topologie (genannt Produkttopologie), bei der eine Teilmenge ${}W\subseteq X\times Y$ genau dann offen ist, wenn man sie als Vereinigung von Produktmengen der Form ${}U\times V$ mit offenen Mengen ${}U\subseteq X$ und ${}V\subseteq Y$ schreiben kann.

Definition:Äußeres Maß

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$. Dann heißt eine Abbildung

$\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$

ein äußeres Maß auf ${}M$, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

1. Für je zwei Mengen ${}S,T\in {\mathcal {P}}$ mit ${}S\subseteq T$ gilt ${}\mu (S)\leq \mu (T)$.
2. Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen ${}T_{i}$, ${}i\in I$, aus ${}{\mathcal {P}}$, für die ${}\bigcup _{i\in I}T_{i}$ ebenfalls zu ${}{\mathcal {P}}$ gehört, gilt

   ${}\mu {\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}\leq \sum _{i\in I}\mu {\left(T_{i}\right)}\,.$

Definition:Fortsetzung eines äußeren Maßes

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$ und

$\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

ein äußeres Maß auf ${}M$. Für eine beliebige Teilmenge ${}T\subseteq M$ definiert man

${\tilde {\mu }}(T):=\inf {\left(\sum _{i\in I}\mu (T_{i}),\,T\subseteq \bigcup _{i\in I}T_{i},\,T_{i}\in {\mathcal {P}},\,I{\text{ abzählbar}}\right)}\,$

und nennt dies die Fortsetzung des äußeren Maßes ${}\mu$.

Definition:Zerlegungseigenschaft (äußeres Maß)

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$,

$\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

ein äußeres Maß auf ${}M$ und ${}{\tilde {\mu }}$ die Fortsetzung von ${}\mu$ auf die Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$. Man sagt, dass eine Teilmenge ${}Z\subseteq M$ die Zerlegungseigenschaft besitzt, wenn für alle ${}S\subseteq M$ die Gleichheit ${}{\tilde {\mu }}(S)={\tilde {\mu }}(S\cap Z)+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus Z))$ gilt.

Definition:Produkt-${}\sigma$-Algebra

Es seien ${}(M_{1},{\mathcal {A}}_{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n})$ Mengen mit darauf erklärten ${}\sigma$- Algebren. Dann nennt man die von allen Quadern

$S_{1}\times \cdots \times S_{n}{\text{ mit }}S_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n$

auf ${}M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ erzeugte ${}\sigma$- Algebra die Produkt-${}\sigma$-Algebra der ${}(M_{i},{\mathcal {A}}_{i})$, ${}i=1,\ldots ,n$. Sie wird mit ${}{\mathcal {A}}_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}{\mathcal {A}}_{n}$ bezeichnet.

Definition:Produkt-Präring

Es seien ${}(M_{1},{\mathcal {P}}_{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {P}}_{n})$ Mengen mit darauf erklärten Präringen. Dann nennt man den von allen Quadern

$S_{1}\times \cdots \times S_{n}{\text{ mit }}S_{i}\in {\mathcal {P}}_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n$

erzeugten Präring den Produkt-Präring der ${}(M_{i},{\mathcal {P}}_{i})$, ${}i=1,\ldots ,n$.

Definition:Produkt-Maß

Es seien ${}(M_{1},{\mathcal {A}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n},\mu _{n})$ ${}\sigma$- endliche Maßräume. Dann nennt man das in Lemma 65.3 und Satz 65.4 konstruierte Maß das Produktmaß auf ${}M_{1}\times \cdots \times M_{n}$. Es wird mit ${}\mu _{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}\mu _{n}$ bezeichnet.

Definition:Eindimensionales Borel-Lebesgue-Maß

Das eindeutig bestimmte Maß ${}\lambda ^{1}=\lambda$ auf ${}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$, das für jedes halboffene Intervall ${}[a,b[$ den Wert ${}\lambda ([a,b[)=b-a$ besitzt, heißt (eindimensionales) Borel-Lebesgue-Maß.

Definition:Das Borel-Lebesgue-Maß

Das eindeutig bestimmte Maß ${}\lambda =\lambda ^{n}$ auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$, das für jeden Quader der Form ${}Q=[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]$ den Wert ${}\lambda (Q)=(b_{1}-a_{1})\cdots (b_{n}-a_{n})$ besitzt, heißt Borel-Lebesgue-Maß auf ${}\mathbb {R} ^{n}$.

Definition:Translationsinvariantes Maß

Ein Maß auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$ heißt translationsinvariant, wenn für alle messbaren Teilmengen ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und alle Vektoren ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ die Gleichheit

${}\mu (T)=\mu (T+v)\,$

gilt.

Definition:Erzeugtes Parallelotop

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und seien linear unabhängige Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ gegeben. Dann nennt man

${}P={\left\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}\mid a_{i}\in [0,1]\right\}}\,$

das von den ${}v_{i}$ erzeugte Parallelotop.

Definition:Messbare numerische Funktion

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum. Dann nennt man eine numerische Funktion

$M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

messbar, wenn sie ${}{\mathcal {A}}-{\overline {\mathcal {B}}}$-messbar ist.

Definition:Positiver Teil

Zu einer Funktion

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

nennt man ${}f_{+}={\operatorname {sup} \,(f,0)}$ den positiven Teil und ${}f_{-}=-\inf {\left(f,\,0\right)}={\operatorname {sup} \,(-f,0)}$ den negativen Teil von ${}f$.

Definition:Einfache Funktion

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum. Eine messbare numerische Funktion

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

heißt einfach, wenn sie nur endlich viele Werte besitzt.

Definition:Sigma-einfache Funktion

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum. Eine messbare numerische Funktion

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

heißt ${}\sigma$-einfach, wenn sie nur abzählbar viele Werte besitzt.

Definition:Subgraph

Es sei ${}M$ eine Menge und

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine nichtnegative Funktion. Dann nennt man die Menge

${}S(f)={\left\{(x,y)\in M\times {\overline {\mathbb {R} }}\mid 0\leq y\leq f(x)\right\}}\,$

den Subgraphen der Funktion.

Definition:Lebesgue-Integral

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum und

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann heißt

${}\int _{M}f\,d\mu :={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f))\,$

das Integral von ${}f$ über ${}M$ (zum Maß ${}\mu$).

Definition:Integrierbare Funktion

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum und

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine messbare numerische Funktion. Dann heißt ${}f$ integrierbar, wenn die beiden Integrale ${}\int _{M}f_{+}\,d\mu$ und ${}\int _{M}f_{-}\,d\mu$ endlich sind. In diesem Fall nennt man

${}\int _{M}f\,d\mu =\int _{M}f_{+}\,d\mu -\int _{M}f_{-}\,d\mu \,$

das Integral von ${}f$.

Definition:Limes superior

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge reeller Zahlen und es sei ${}H$ die Menge der Häufungspunkte dieser Folge. Dann setzt man

${}\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}=\inf \,{\left(H\right)}\,$

und

${}\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}={\operatorname {sup} \,(H)}\,$

und nennt diese Zahlen den Limes inferior bzw. den Limes superior der Folge. (Wenn es keinen Häufungspunkt gibt, so ist dies als ${}\infty$ bzw. als ${}-\infty$ zu interpretieren).

Definition:Rotationsmenge

Zu einer Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\geq 0}$ nennt man

${\left\{(x,y\cos \alpha ,y\sin \alpha )\in \mathbb {R} ^{3}\mid (x,y)\in T,\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}$

die zugehörige Rotationsmenge (um die ${}x$-Achse).

Definition:Kegel über einer Basis

Es sei ${}B\subseteq \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\times 0$ und ${}P\in \mathbb {R} ^{n+1}$ ein Punkt. Dann nennt man die Menge

${}K_{B}={\left\{P+t(Q-P)\mid Q\in B,\,t\in [0,1]\right\}}\,$

den Kegel zur Basis ${}B$ mit der Spitze ${}P$.

Definition:Maß zu einer Dichte

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum und es sei

$g\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine nichtnegative messbare Funktion. Dann nennt man das für jede messbare Teilmenge ${}T\subseteq M$ durch

${}\nu (T):=\int _{T}g\,d\mu \,$

definierte Maß auf ${}M$ das Maß zur Dichte ${}g$. Es wird mit ${}g\mu$ bezeichnet.

Definition:Topologische Mannigfaltigkeit

Ein topologischer Hausdorff-Raum ${}M$ heißt eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$, wenn es eine offene Überdeckung ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ derart gibt, dass jedes ${}U_{i}$ homöomorph zu einer offenen Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist.

Definition:Karte

Es sei ${}M$ eine topologische Mannigfaltigkeit. Dann nennt man jede Homöomorphie

$\varphi \colon U\longrightarrow V,$

wobei ${}U\subseteq M$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen sind, eine (topologische) Karte für ${}M$.

Definition:Übergangsabbildung

Es sei ${}M$ eine topologische Mannigfaltigkeit, es seien ${}U_{1},U_{2}\subseteq M$ offene Teilmengen und ${}\alpha _{1}\colon U_{1}\rightarrow V_{1}$ und ${}\alpha _{2}\colon U_{2}\rightarrow V_{2}$ seien Karten (mit $V_{1},V_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen). Dann heißt die Abbildung

$\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})\longrightarrow \alpha _{2}(U_{1}\cap U_{2})$

die Übergangsabbildung zu diesen Karten.

Definition:Differenzierbare Mannigfaltigkeit

Es seien ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}k\in {\overline {\mathbb {N} }}_{+}$. Ein topologischer Hausdorff-Raum ${}M$ zusammen mit einer offenen Überdeckung ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Karten

$\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$

mit ${}V_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen derart, dass die Übergangsabbildungen

$\alpha _{j}\circ (\alpha _{i})^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$

${}C^{k}$- Diffeomorphismen für alle ${}i,j\in I$ sind, heißt ${}C^{k}$-Mannigfaltigkeit oder differenzierbare Mannigfaltigkeit (der Dimension ${}n$ vom Differenzierbarkeitsgrad ${}k$). Die Menge der Karten ${}(U_{i},\alpha _{i})$, ${}i\in I$, nennt man auch den ${}C^{k}$-Atlas der Mannigfaltigkeit.

Definition:Offene Untermannigfaltigkeit

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine offene Teilmenge ${}U\subseteq M$, die mit den eingeschränkten Karten versehen ist, heißt offene Untermannigfaltigkeit.

Definition:Zusammenhängender topologischer Raum

Ein topologischer Raum ${}X$ heißt zusammenhängend, wenn es in ${}X$ genau zwei Teilmengen gibt (nämlich ${}\emptyset$ und der Gesamtraum $X\neq \emptyset$), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.

Definition:Differenzierbare Abbildung (Mannigfaltigkeit)

Es seien ${}L$ und ${}M$ zwei ${}C^{k}$-Mannigfaltigkeiten mit Atlanten ${}(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)$ und ${}(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)$. Es sei ${}1\leq \ell \leq k$. Eine stetige Abbildung

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

heißt eine ${}C^{\ell }$-differenzierbare Abbildung, wenn für alle ${}i\in I$ und alle ${}j\in J$ die Abbildungen

$\beta _{j}\circ \varphi \circ (\alpha _{i})^{-1}\colon \alpha _{i}(\varphi ^{-1}(V_{j})\cap U_{i})\longrightarrow V_{j}'$

${}C^{\ell }$-differenzierbar sind.

Definition:Diffeomorphismus (Mannigfaltigkeit)

Es seien ${}L$ und ${}M$ zwei ${}C^{k}$- Mannigfaltigkeiten. Ein Homöomorphismus

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

heißt ein ${}C^{k}$-Diffeomorphismus, wenn sowohl ${}\varphi$ als auch ${}\varphi ^{-1}$ ${}C^{k}$- Abbildungen sind.

Definition:Diffeomorphe Mannigfaltigkeiten

Zwei ${}C^{k}$- Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$ heißen ${}C^{k}$-diffeomorph, wenn es zwischen ihnen einen ${}C^{k}$- Diffeomorphismus gibt.

Definition:Tangential äquivalente Kurven

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Es seien

$\gamma _{1}\colon I_{1}\longrightarrow M$

und

$\gamma _{2}\colon I_{2}\longrightarrow M$

zwei auf offenen Intervallen ${}0\in I_{1},I_{2}\subseteq \mathbb {R}$ definierte differenzierbare Kurven mit ${}\gamma _{1}(0)=P=\gamma _{2}(0)$. Dann heißen ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ tangential äquivalent in ${}P$, wenn es eine offene Umgebung ${}P\in U$ und eine Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ derart gibt, dass

${}{\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{1}{|}_{\gamma _{1}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)={\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{2}{|}_{\gamma _{2}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)\,$

gilt.

Definition:Tangentialvektor

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Unter einem Tangentialvektor an ${}P$ versteht man eine Äquivalenzklasse von tangential äquivalenten differenzierbaren Kurven durch ${}P$. Die Menge dieser Tangentialvektoren wird mit

$T_{P}M$

bezeichnet.

Definition:Tangentialraum

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Unter dem Tangentialraum an ${}P$, geschrieben ${}T_{P}M$, versteht man die Menge der Tangentialvektoren an ${}P$ versehen mit der durch eine beliebige Karte gegebenen reellen Vektorraumstruktur.

Definition:Kotangentialraum

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Den Dualraum des Tangentialraumes

${}T_{P}M$ an ${}P$ nennt man den Kotangentialraum an ${}P$. Er wird mit

$T_{P}^{*}M$

bezeichnet.

Definition:Tangentialabbildung (in einem Punkt)

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in M$ und ${}Q=\varphi (P)$. Dann nennt man die Abbildung

$T_{P}M\longrightarrow T_{\varphi (P)}N,\,[\gamma ]\longmapsto [\varphi \circ \gamma ],$

die zugehörige Tangentialabbildung im Punkt ${}P$. Sie wird mit ${}T_{P}(\varphi )$ bezeichnet.

Definition:Kotangentialabbildung

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in M$ und ${}Q=\varphi (P)$. Dann nennt man die zur Tangentialabbildung

$T_{P}(\varphi )\colon T_{P}M\longrightarrow T_{Q}N$

duale Abbildung

$T_{Q}^{*}N\longrightarrow T_{P}^{*}M,\,h\longmapsto h\circ T_{P}(\varphi ),$

die Kotangentialabbildung im Punkt ${}P$. Sie wird mit ${}T_{P}^{*}(\varphi )$ bezeichnet.

Definition:Regulärer Punkt

Es seien ${}L$ und ${}M$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine differenzierbare Abbildung. Dann heißt ${}\varphi$ im Punkt ${}Q\in L$ regulär (und ${}Q$ ein regulärer Punkt für ${}\varphi$), wenn die Tangentialabbildung

$T_{Q}(\varphi )\colon T_{Q}L\longrightarrow T_{\varphi (Q)}M$

im Punkt ${}Q$ maximalen Rang besitzt.

Definition:Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit

Es sei ${}N$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$ und ${}M\subseteq N$ eine abgeschlossene Teilmenge. Dann heißt ${}M$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension ${}m$ von ${}N$, wenn es zu jedem Punkt ${}P\in M$ eine Karte

$\theta \colon W\longrightarrow W'$

gibt mit ${}P\in W\subseteq N$ offen, ${}W'\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und mit

${}M\cap W=\theta ^{-1}((\mathbb {R} ^{m}\times \{0\})\cap W')\,.$

Definition:Tangentialbündel

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann nennt man die Menge

${}TM=\biguplus _{P\in M}T_{P}M\,,$

versehen mit der Projektionsabbildung

$\pi \colon TM\longrightarrow M,\,(P,v)\longmapsto P,$

das Tangentialbündel von ${}M$.

Definition:Tangentialabbildung

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine differenzierbare Abbildung. Es seien ${}TM$ und ${}TN$ die zugehörigen Tangentialbündel. Dann versteht man unter der Tangentialabbildung

$T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN$

die disjunkte Vereinigung der Tangentialabbildungen in den einzelnen Punkten, also

${}T(\varphi )=\biguplus _{P\in M}T_{P}(\varphi )\,.$

Definition:Tangentialbündel (mit Topologie)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$ und

${}TM=\biguplus _{P\in M}T_{P}M\,$

das Tangentialbündel, versehen mit der Projektionsabbildung

$\pi \colon TM\longrightarrow M,\,(P,v)\longmapsto P.$

Das Tangentialbündel wird mit derjenigen Topologie versehen, bei der eine Teilmenge ${}W\subseteq TM$ genau dann offen ist, wenn für jede Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

die Menge ${}(T(\alpha )){\left(W\cap \pi ^{-1}(U)\right)}$ offen in ${}V\times \mathbb {R} ^{n}$ ist.

Definition:Vektorfeld (Mannigfaltigkeit)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Abbildung

$F\colon M\longrightarrow TM$

mit der Eigenschaft, dass ${}F(P)\in T_{P}M$ für jeden Punkt ${}P\in M$ ist, heißt (zeitunabhängiges) Vektorfeld.

Definition:Kotangentialbündel

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann nennt man die Menge

${}T^{*}M=\biguplus _{P\in M}T_{P}^{*}M\,,$

versehen mit der Projektionsabbildung

$\pi \colon T^{*}M\longrightarrow M,\,(P,u)\longmapsto P,$

und derjenigen Topologie, bei der eine Teilmenge ${}W\subseteq T^{*}M$ genau dann offen ist, wenn für jede Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

die Menge ${}(T^{*}(\alpha ))^{-1}{\left(W\cap \pi ^{-1}(U)\right)}$ offen in ${}V\times (\mathbb {R} ^{n})^{*}$ ist, das Kotangentialbündel von ${}M$.

Definition:Produkt von Mannigfaltigkeiten

Es seien ${}M$ und ${}N$ zwei differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit den Atlanten ${}(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)$ und ${}(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)$. Dann nennt man den Produktraum ${}M\times N$ mit den Karten

$\alpha _{i}\times \beta _{j}\colon U_{i}\times V_{j}\longrightarrow U_{i}'\times V_{j}'$

(mit ${}(i,j)\in I\times J$ und ${}U_{i}'\times V_{j}'\subseteq \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}$) das Produkt der Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$.

Definition:Äußere Potenz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Man nennt den (in Konstruktion 79.4 konstruierten) ${}K$-Vektorraum ${}\bigwedge ^{n}V$ die ${}n$-te äußere Potenz (oder das ${}n$-te Dachprodukt) von ${}V$. Die Abbildung

$V^{n}\longrightarrow \bigwedge ^{n}V,\,(v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n},$

nennt man die universelle alternierende Abbildung.

Definition:Orientierungsgleiche Basen

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Man nennt zwei Basen ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ orientierungsgleich, wenn die Determinante ihrer Übergangsmatrix positiv ist.

Definition:Orientierung (Vektorraum)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Eine Orientierung auf ${}V$ ist eine Äquivalenzklasse von Basen von ${}V$ unter der Äquivalenzrelation, orientierungsgleich zu sein.

Definition:Orientierter Vektorraum

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Er heißt orientiert, wenn auf ihm eine Orientierung erklärt ist.

Definition:Orientierungstreue lineare Abbildung

Es seien ${}V$ und ${}W$ zwei endlichdimensionale orientierte reelle Vektorräume. Eine bijektive lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

heißt orientierungstreu, wenn für jede Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$, die die Orientierung auf ${}V$ repräsentiert, die Bildvektoren ${}\varphi (v_{1}),\ldots ,\varphi (v_{n})$ die Orientierung auf ${}W$ repräsentieren.

Definition:Orientierte Karte

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}U\subseteq M$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen heißt orientiert, wenn der ${}\mathbb {R} ^{n}$ orientiert ist.

Definition:Orientierungstreuer Kartenwechsel

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und es seien ${}(U_{1},V_{1},\alpha _{1})$ und ${}(U_{2},V_{2},\alpha _{2})$ orientierte Karten. Dann heißt der zugehörige Kartenwechsel

$\psi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})\longrightarrow \alpha _{2}(U_{1}\cap U_{2})$

orientierungstreu, wenn für jeden Punkt ${}Q\in \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})$ das totale Differential

$\left(D\psi \right)_{Q}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

orientierungstreu ist.

Definition:Orientierte Mannigfaltigkeit

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$ mit einem Atlas ${}(U_{i},V_{i},\alpha _{i})$ heißt orientiert, wenn jede Karte orientiert ist und wenn sämtliche Kartenwechsel orientierungstreu sind.

Definition:Kompakt (Überdeckungskompakt)

Ein topologischer Raum ${}X$ heißt kompakt (oder überdeckungskompakt), wenn es zu jeder offenen Überdeckung

$X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,\,\,{\text{ mit }}U_{i}{\text{ offen und einer beliebigen Indexmenge }}I$

eine endliche Teilmenge ${}J\subseteq I$ derart gibt, dass

${}X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,$

ist.

Definition:Differentialform vom Grad ${}k$

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine ${}k$-Differentialform (oder ${}k$-Form oder Form vom Grad ${}k$) ist ein Schnitt im ${}k$-fachen Dachprodukt des Kotangentialbündels, also eine Abbildung

$\omega \colon M\longrightarrow \bigwedge ^{k}T^{*}M,\,P\longmapsto \omega (P),$

mit ${}\omega (P)\in \bigwedge ^{k}T_{P}^{*}M$.

Definition:Zurückgezogene Form

Es seien ${}L$ und ${}M$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine differenzierbare Abbildung. Es sei ${}\omega$ eine ${}k$-Differentialform auf ${}M$. Dann nennt man die ${}k$-Form auf ${}L$, die der durch

$(P,v_{1},\ldots ,v_{k})\longmapsto \omega (\varphi (P),T_{P}(\varphi )(v_{1}),\ldots ,T_{P}(\varphi )(v_{k}))$

gegebenen alternierenden Abbildung entspricht, die mit ${}\varphi$ zurückgezogene ${}k$-Form. Sie wird mit

$\varphi ^{*}\omega$

bezeichnet.

Definition:Positive Volumenform

Es sei ${}M$ eine ${}n$- dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\omega$ eine messbare ${}n$- Differentialform auf ${}M$. Dann heißt ${}\omega$ eine positive Volumenform, wenn für jede Karte (eines gegebenen Atlases)

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

(mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und Koordinatenfunktionen $x_{1},\ldots ,x_{n}$) in der lokalen Darstellung der Differentialform

${}\alpha _{*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$

die Funktion ${}f$ überall positiv ist.

Definition:Volumenmaß zu positiver Form

Es sei ${}M$ eine ${}n$- dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie und es sei ${}\omega$ eine positive Volumenform auf ${}M$. Dann heißt die für jede Borelmenge ${}T\subseteq M$ durch eine abzählbare Zerlegung ${}T=\biguplus _{i\in I}T_{i}$ (wobei ${}T_{i}\subseteq U_{i}$ ein offenes Kartengebiet und ${}\alpha _{i*}\omega =f_{i}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ ist) definierte Zahl

${}\int _{T}\omega =\sum _{i\in I}\int _{\alpha _{i}(T_{i})}f_{i}\,d\lambda ^{n}\,$

(aus ${}{\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$) das Maß von ${}T$ zu ${}\omega$ oder das Integral von ${}\omega$ über ${}T$.

Definition:Wegintegral

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(M)$ eine ${}1$- Differentialform. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow M$

eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt

${}\int _{\gamma }\omega :=\int _{[a,b]}\gamma ^{*}\omega =\int _{a}^{b}\omega (\gamma (t);\gamma '(t))\,dt\,$

das Wegintegral von ${}\omega$ längs ${}\gamma$.

Definition:Riemannsche Mannigfaltigkeit

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$ heißt riemannsche Mannigfaltigkeit, wenn auf jedem Tangentialraum ${}T_{P}M$, ${}P\in M$, ein Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle _{P}$ erklärt ist derart, dass für jede Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Funktionen (für ${}1\leq i,j\leq n$)

$g_{ij}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,Q\longmapsto g_{ij}(Q)=\left\langle T(\alpha ^{-1})(e_{i}),T(\alpha ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)},$

${}C^{1}$- differenzierbar sind.

Definition:Kanonische Volumenform

Es sei ${}M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$. Zu ${}P\in M$ sei ${}\omega _{P}$ diejenige alternierende Form auf ${}T_{P}M$ (bzw. das entsprechende Element aus $\bigwedge ^{n}T_{P}^{*}M$), die jeder die Orientierung repräsentierenden Orthonormalbasis den Wert ${}1$ zuordnet. Dann heißt die ${}n$- Differentialform

$M\longrightarrow \bigwedge ^{n}T^{*}M,\,P\longmapsto \omega _{P},$

die kanonische Volumenform auf ${}M$.

Definition:Äußere Ableitung von Differentialformen (lokaler Fall)

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und es sei ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(U)$ eine stetig differenzierbare ${}k$- Differentialform mit der Darstellung

${}\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}f_{I}dx_{I}\,$

mit stetig differenzierbaren Funktionen

$f_{I}\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$

Dann nennt man die ${}(k+1)$-Form

${}d\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}df_{I}\wedge dx_{I}=\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x_{j}}}dx_{j}\right)}\wedge dx_{I}\,$

die äußere Ableitung von ${}\omega$.

Definition:Äußere Ableitung (Mannigfaltigkeit)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann definiert man zu einer differenzierbaren Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}_{1}^{k}(M)$ die äußere Ableitung ${}d\omega \in {\mathcal {E}}_{0}^{k+1}(M)$ unter Bezugnahme auf den lokalen Fall und Karten

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

(${}U\subseteq M$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen) durch

${}(d\omega ){|}_{U}=d{\left(\omega {|}_{U}\right)}=\alpha ^{*}{\left(d{\left(\alpha ^{-1*}{\left(\omega {|}_{U}\right)}\right)}\right)}\,.$

Definition:Geschlossene Differentialform

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine differenzierbare Differentialform ${}\omega$ auf ${}M$ heißt geschlossen, wenn ihre äußere Ableitung ${}d\omega =0$ ist.

Definition:Exakte Differentialform

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine ${}k$- Differentialform ${}\omega$ auf ${}M$ heißt exakt, wenn es eine differenzierbare ${}(k-1)$-Differentialform ${}\sigma$ auf ${}M$ mit ${}d\sigma =\omega$ gibt.

Definition:Euklidischer Halbraum

Unter dem euklidischen Halbraum der Dimension ${}n$ versteht man die Menge

${}H={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{1}\geq 0\right\}}\,$

mit der induzierten Topologie.

Definition:Stetig differenzierbare Abbildung (Halbraum)

Es sei ${}U\subseteq H$ eine offene Teilmenge in einem euklidischen Halbraum ${}H\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}P\in U$ sei ein Punkt und es sei

$\varphi \colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine Abbildung. Dann heißt ${}\varphi$ stetig differenzierbar in ${}P$, wenn es eine offene Umgebung ${}P\in V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und eine stetig differenzierbare Funktion

${\tilde {\varphi }}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

mit ${}{\tilde {\varphi }}{|}_{U\cap V}=\varphi {|}_{U\cap V}$ gibt.

Definition:Differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand

Es seien ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}k\in {\overline {\mathbb {N} }}_{+}$. Ein topologischer Hausdorff-Raum ${}M$ zusammen mit einer offenen Überdeckung ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Karten

$\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i},$

wobei die ${}V_{i}\subseteq H\subset \mathbb {R} ^{n}$ offene Mengen im euklidischen Halbraum ${}H$ der Dimension ${}n$ sind, und mit der Eigenschaft, dass die Übergangsabbildungen

$\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$

${}C^{k}$-Diffeomorphismen sind, heißt ${}C^{k}$-Mannigfaltigkeit mit Rand oder differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand (vom Grad ${}k$), oder berandete Mannigfaltigkeit. Die Menge der Karten ${}(U_{i},\alpha _{i})$, ${}i\in I$, nennt man auch den ${}C^{k}$-Atlas der berandeten Mannigfaltigkeit.

Definition:Rand einer berandeten Mannigfaltigkeit

Es sei ${}M$ eine Mannigfaltigkeit mit Rand. Dann ist der Rand von ${}M$, geschrieben ${}\partial M$, durch

${}\partial M={\left\{x\in M\mid \alpha _{i}(x)\in \partial H\cap V_{i}{\text{ für }}{\text{ein }}i\in I\right\}}\,$

definiert, wobei ${}\alpha _{i}$ Karten sind.

Definition:Offenes Innere

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}T\subseteq X$ eine Teilmenge. Dann heißt

${}T^{o}=\bigcup _{U{\text{ offen}},\,U\subseteq T}U\,$

das offene Innere (oder Innere) von ${}T$.

Definition:Topologischer Abschluss

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}T\subseteq X$ eine Teilmenge. Dann heißt

${}{\overline {T}}=\bigcap _{A{\text{ abgeschlossen}},\,T\subseteq A}A\,$

der Abschluss (oder topologische Abschluss) von ${}T$.

Definition:Träger einer Funktion

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und

$f\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt der topologische Abschluss

${\overline {\left\{x\in X\mid f(x)\neq 0\right\}}}$

der Träger von ${}f$.

Definition:Kompakte Ausschöpfung

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Eine kompakte Ausschöpfung ${}A_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, von ${}X$ ist eine Folge von kompakten Teilmengen ${}A_{n}\subseteq X$ mit

$A_{n}\subseteq A_{n+1}^{o}{\text{ und }}\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}=X.$

Definition:Einer Überdeckung untergeordnete Partition der Eins

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}W_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes ${}X$. Eine Partition der Eins

$h_{j}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

mit ${}j\in J$ heißt eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, wenn es für jedes ${}j\in J$ eine offene Menge ${}W_{i(j)}$ aus der Überdeckung derart gibt, dass der Träger von ${}h_{j}$ in ${}W_{i(j)}$ liegt.