Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Definitionsabfrage
Zu einer Menge heißt eine Teilmenge
der
Potenzmenge
ein
(Teil)-Mengensystem auf
.
Ein
Teilmengensystem
auf einer Menge
heißt Mengen-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
- Es ist
.
- Mit
gehört auch das Komplement
zu
.
- Für je zwei Mengen
ist auch
.
Ein
Teilmengensystem
auf einer Menge
heißt
-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
- Es ist
.
- Mit
gehört auch das Komplement
zu
.
- Für jede
abzählbare Familie
,
, ist auch
-
Eine Menge , auf der eine
-
Algebra
erklärt ist, heißt ein Messraum.
Es sei eine Menge und
eine Menge von Teilmengen aus
. Dann nennt man die kleinste
-
Algebra,
die
enthält, die von
erzeugte
-Algebra. Sie wird mit
bezeichnet. Das System
heißt Erzeugendensystem dieser
-Algebra.
Ein
Teilmengensystem
auf einer Menge
heißt Dynkin-System, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
- Es ist
.
- Mit
und
gehört auch
zu
.
- Für jede
abzählbare Familie
,
, mit paarweise disjunkten Mengen
ist auch
-
Ein
Teilmengensystem
auf einer Menge
heißt Mengen-Präring, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
- Es ist
.
- Mit
gehört auch
zu
.
- Für je zwei Mengen
ist auch
.
Es seien
und
Messräume.
Eine
Abbildung
heißt messbar
(oder genauer -messbar),
wenn für alle
das
Urbild
zu
gehört.
Es sei eine Menge. Eine Familie
von Teilmengen von
heißt Topologie auf
, wenn die folgenden Axiome
erfüllt sind:
- Es ist
und
.
- Sind
und
, so ist auch
.
- Ist
eine Indexmenge und
für alle
, so ist auch
.
Ein topologischer Raum ist ein Paar , wobei
eine Menge und
eine Topologie auf
ist.
Ein
topologischer Raum
heißt hausdorffsch, wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten
offene Mengen
und
mit
,
und mit
gibt.
Es sei ein
topologischer Raum.
Ein System
von offenen Mengen in
heißt Basis der Topologie, wenn man jede offene Menge in
als Vereinigung von offenen Mengen aus
erhalten kann.
Es sei ein
topologischer Raum.
Man sagt, dass
eine abzählbare Basis besitzt, wenn es eine
Basis
der Topologie gibt, die nur aus
abzählbar
vielen offenen Mengen besteht.
Eine Abbildung
zwischen
topologischen Räumen
und
heißt stetig, wenn Urbilder von offenen Mengen wieder offen sind.
Zwei
topologische Räume
und
heißen homöomorph, wenn es eine
bijektive
stetige Abbildung
gibt, deren
Umkehrabbildung
ebenfalls stetig ist.
Es sei ein
topologischer Raum
und
eine Teilmenge. Folgende Vorschrift definiert eine Topologie
auf
: Für eine Teilmenge
gilt
genau dann, wenn es eine in
offene Menge
gibt, so dass
gilt.
Es sei ein
topologischer Raum.
Dann nennt man die von
erzeugte
-
Algebra
die Menge der Borel-Mengen von
.
Es sei eine Menge und
ein
Mengen-Präring
auf
. Dann heißt eine
Abbildung
ein Prämaß auf , wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Für jede
abzählbare Familie
von
paarweise disjunkten
Teilmengen
,
,
aus
, für die
ebenfalls zu
gehört, gilt
Es sei eine Menge und
eine
-
Algebra
auf
. Ein
Prämaß
auf
nennt man ein Maß.
Eine Menge , auf der eine
-
Algebra
und ein
Maß
erklärt ist, heißt ein Maßraum. Man schreibt dafür kurz .
Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein
Maßraum
mit
.
Auf einer Menge nennt man das auf
durch
definierte
Maß
das Zählmaß auf .
Es sei eine Menge und
ein Punkt. Das auf
durch
definierte
Maß
heißt das im Punkt konzentrierte Dirac-Maß auf
.
Es sei
Die Menge
nennt man das Gitter zum Gitterpunktabstand . Das durch
für
definierte Maß heißt das Gittermaß zum Gitterabstand
.
Es sei eine Menge und sei
,
,
eine Folge von Teilmengen in
mit
für alle
.
Es sei
.
Dann sagt man, dass diese Folge eine Ausschöpfung von
bildet
(oder
ausschöpft),
und schreibt dafür
.
Es sei eine Menge und sei
,
,
eine Folge von Teilmengen in
mit
für alle
.
Es sei
.
Dann sagt man, dass diese Folge eine Schrumpfung von
bildet
(oder gegen
schrumpft),
und schreibt dafür
.
Es sei eine Menge,
ein
Präring
auf
,
ein
Prämaß
auf . Dann heißt
endlich, wenn
für alle
ist.
Es sei eine Menge,
ein
Präring
auf
,
ein
Prämaß
auf . Dann heißt
-endlich, wenn man
als eine
abzählbare Vereinigung
von Teilmengen
aus
mit
schreiben kann.
Es sei ein
Maßraum,
ein
Messraum
und
eine messbare Abbildung. Dann nennt man das durch
definierte
Maß
auf das Bildmaß von
unter
. Es wird mit
bezeichnet.
Es seien
und
Maßräume.
Eine
messbare Abbildung
heißt maßtreu, wenn für jede messbare Menge
die Beziehung
gilt.
Unter dem Produkt der topologischen Räume
und
versteht man die
Produktmenge
zusammen mit derjenigen Topologie
(genannt Produkttopologie),
bei der eine Teilmenge
genau dann offen ist, wenn man sie als Vereinigung von Produktmengen der Form
mit offenen Mengen
und
schreiben kann.
Es sei eine Menge und
ein
Präring
auf
. Dann heißt eine
Abbildung
ein äußeres Maß auf , wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
- Für je zwei Mengen
mit
gilt
.
- Für jede
abzählbare Familie
von
paarweise disjunkten
Teilmengen
,
, aus
, für die
ebenfalls zu
gehört, gilt
-
Es sei eine Menge,
ein
Präring
auf
und
ein
äußeres Maß
auf . Für eine beliebige Teilmenge
definiert man
und nennt dies die Fortsetzung des äußeren Maßes .
Es sei eine Menge,
ein
Präring
auf
,
ein
äußeres Maß
auf und
die
Fortsetzung
von
auf die
Potenzmenge
. Man sagt, dass eine Teilmenge
die Zerlegungseigenschaft besitzt, wenn für alle
die Gleichheit
gilt.
Es seien Mengen mit darauf erklärten
-
Algebren.
Dann nennt man die von allen
Quadern
auf
erzeugte
-
Algebra
die Produkt-
-Algebra der
,
. Sie wird mit
bezeichnet.
Es seien Mengen mit darauf erklärten
Präringen.
Dann nennt man den von allen
Quadern
erzeugten Präring
den Produkt-Präring der
,
.
Es seien
-
endliche Maßräume.
Dann nennt man das in
Lemma 65.3
und
Satz 65.4
konstruierte
Maß
das Produktmaß auf
. Es wird mit
bezeichnet.
Das eindeutig bestimmte
Maß
auf
, das für jedes
halboffene Intervall
den Wert
besitzt, heißt
(eindimensionales)
Borel-Lebesgue-Maß.
Das eindeutig bestimmte
Maß
auf
, das für jeden
Quader
der Form
den Wert
besitzt, heißt Borel-Lebesgue-Maß auf
.
Ein
Maß
auf heißt translationsinvariant, wenn für alle
messbaren Teilmengen
und alle Vektoren
die Gleichheit
gilt.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum
und seien
linear unabhängige
Vektoren
gegeben. Dann nennt man
das von den erzeugte Parallelotop.
Es sei ein
Messraum.
Dann nennt man eine
numerische Funktion
messbar, wenn sie -messbar
ist.
Zu einer Funktion
nennt man
den positiven Teil und
den negativen Teil von
.
Es sei ein
Messraum. Eine
messbare numerische Funktion
heißt einfach, wenn sie nur endlich viele Werte besitzt.
Es sei ein
Messraum. Eine
messbare numerische Funktion
heißt
-einfach,
wenn sie nur
abzählbar
viele Werte besitzt.
Es sei eine Menge und
eine nichtnegative Funktion. Dann nennt man die Menge
den Subgraphen der Funktion.
Es sei ein
-
endlicher
Maßraum und
eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann heißt
das Integral von über
(zum Maß
).
Es sei ein
-
endlicher
Maßraum
und
eine
messbare
numerische Funktion. Dann heißt integrierbar, wenn die beiden
Integrale
und
endlich sind. In diesem Fall nennt man
das Integral von .
Es sei eine
Folge
reeller Zahlen
und es sei
die Menge der
Häufungspunkte
dieser Folge. Dann setzt man
und
und nennt diese Zahlen den Limes inferior bzw. den Limes superior der Folge.
(Wenn es keinen Häufungspunkt gibt, so ist dies als bzw. als
zu interpretieren).
Zu einer Teilmenge
nennt man
die zugehörige Rotationsmenge
(um die -Achse).
Es sei
und
ein Punkt. Dann nennt man die Menge
den Kegel zur Basis mit der Spitze
.
Es sei ein
Maßraum und es sei
eine nichtnegative
messbare Funktion.
Dann nennt man das für jede
messbare Teilmenge
durch
definierte Maß auf das Maß zur Dichte
. Es wird mit
bezeichnet.
Ein
topologischer
Hausdorff-Raum
heißt eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension
, wenn es eine
offene Überdeckung
derart gibt, dass jedes
homöomorph
zu einer
offenen Teilmenge
des
ist.
Es sei eine
topologische Mannigfaltigkeit.
Dann nennt man jede
Homöomorphie
wobei
und
offen
sind, eine
(topologische)
Karte für
.
Es sei eine
topologische Mannigfaltigkeit, es seien
offene Teilmengen und
und
seien
Karten
(mit
offen). Dann heißt die
Abbildung
Es seien
und
.
Ein
topologischer
Hausdorff-Raum
zusammen mit einer
offenen Überdeckung
und
Karten
mit
offen derart, dass die
Übergangsabbildungen
-
Diffeomorphismen
für alle
sind, heißt
-Mannigfaltigkeit
oder differenzierbare Mannigfaltigkeit
(der Dimension
vom Differenzierbarkeitsgrad
). Die Menge der Karten
,
,
nennt man auch den
-Atlas
der Mannigfaltigkeit.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Eine
offene Teilmenge
,
die mit den
eingeschränkten
Karten
versehen ist, heißt offene Untermannigfaltigkeit.
Ein
topologischer Raum
heißt zusammenhängend, wenn es in
genau zwei Teilmengen gibt
(nämlich
und der Gesamtraum
),
die sowohl
offen
als auch
abgeschlossen
sind.
Es seien
und
zwei
-Mannigfaltigkeiten
mit
Atlanten
und
.
Es sei
.
Eine
stetige Abbildung
heißt eine -differenzierbare Abbildung, wenn für alle
und alle
die Abbildungen
-differenzierbar
sind.
Es seien
und
zwei
-
Mannigfaltigkeiten.
Ein
Homöomorphismus
heißt ein
-Diffeomorphismus,
wenn sowohl
als auch
-
Abbildungen
sind.
Zwei
-
Mannigfaltigkeiten
und
heißen
-diffeomorph, wenn es zwischen ihnen einen
-
Diffeomorphismus
gibt.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
und
ein Punkt. Es seien
und
zwei auf
offenen Intervallen
definierte
differenzierbare Kurven
mit
.
Dann heißen
und
tangential äquivalent in
, wenn es eine offene Umgebung
und eine
Karte
mit
derart gibt, dass
gilt.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
und
ein Punkt. Unter einem Tangentialvektor an
versteht man eine
Äquivalenzklasse
von
tangential äquivalenten
differenzierbaren Kurven
durch
. Die Menge dieser Tangentialvektoren wird mit
bezeichnet.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
und
ein Punkt. Unter dem Tangentialraum an
, geschrieben
, versteht man die Menge der
Tangentialvektoren
an
versehen mit der durch eine beliebige
Karte
gegebenen reellen
Vektorraumstruktur.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
und
ein Punkt. Den
Dualraum
des
Tangentialraumes
Es seien
und
differenzierbare Mannigfaltigkeiten
und es sei
eine
differenzierbare Abbildung.
Es sei
und
.
Dann nennt man die Abbildung
die zugehörige Tangentialabbildung im Punkt . Sie wird mit
bezeichnet.
Es seien
und
differenzierbare Mannigfaltigkeiten
und
eine
differenzierbare Abbildung.
Es sei
und
.
Dann nennt man die zur
Tangentialabbildung
duale Abbildung
die Kotangentialabbildung im Punkt . Sie wird mit
bezeichnet.
Es seien
und
differenzierbare Mannigfaltigkeiten
und sei
eine
differenzierbare Abbildung.
Dann heißt im Punkt
regulär
(und
ein regulärer Punkt für
),
wenn die
Tangentialabbildung
im Punkt
maximalen Rang
besitzt.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
der
Dimension
und
eine
abgeschlossene Teilmenge.
Dann heißt
eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension
von
, wenn es zu jedem Punkt
eine
Karte
gibt mit
offen,
offen und mit
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Dann nennt man die Menge
versehen mit der Projektionsabbildung
das Tangentialbündel von .
Es seien
und
differenzierbare Mannigfaltigkeiten
und
eine
differenzierbare Abbildung.
Es seien
und
die zugehörigen
Tangentialbündel.
Dann versteht man unter der Tangentialabbildung
die disjunkte Vereinigung der Tangentialabbildungen in den einzelnen Punkten, also
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
der
Dimension
und
das Tangentialbündel, versehen mit der Projektionsabbildung
Das Tangentialbündel wird mit derjenigen
Topologie
versehen, bei der eine Teilmenge
genau dann offen ist, wenn für jede
Karte
die Menge offen in
ist.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Eine Abbildung
mit der Eigenschaft, dass
für jeden Punkt
ist, heißt
(zeitunabhängiges)
Vektorfeld.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Dann nennt man die Menge
versehen mit der Projektionsabbildung
und derjenigen
Topologie,
bei der eine Teilmenge
genau dann
offen
ist, wenn für jede
Karte
die Menge offen in
ist, das Kotangentialbündel von
.
Es seien
und
zwei
differenzierbare Mannigfaltigkeiten
mit den
Atlanten
und
.
Dann nennt man den
Produktraum
mit den
Karten
(mit
und
)
das Produkt der Mannigfaltigkeiten
und
.
Es sei ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum. Man nennt den
(in
Konstruktion 79.4
konstruierten)
-Vektorraum
die
-te äußere Potenz
(oder das
-te Dachprodukt)
von
. Die Abbildung
nennt man die universelle alternierende Abbildung.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum. Man nennt zwei
Basen
und
orientierungsgleich, wenn die
Determinante
ihrer
Übergangsmatrix
positiv
ist.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum. Eine Orientierung auf
ist eine
Äquivalenzklasse
von
Basen
von
unter der
Äquivalenzrelation,
orientierungsgleich
zu sein.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum. Er heißt orientiert, wenn auf ihm eine
Orientierung
erklärt ist.
Es seien und
zwei
endlichdimensionale
orientierte
reelle Vektorräume.
Eine
bijektive
lineare Abbildung
heißt orientierungstreu, wenn für jede
Basis
, die die
Orientierung
auf
repräsentiert, die Bildvektoren
die Orientierung auf
repräsentieren.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Eine
Karte
mit
und
offen heißt orientiert, wenn der
orientiert
ist.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
und es seien
und
orientierte Karten.
Dann heißt der zugehörige
Kartenwechsel
orientierungstreu, wenn für jeden Punkt
das
totale Differential
orientierungstreu ist.
Eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
mit einem
Atlas
heißt orientiert, wenn jede Karte
orientiert
ist und wenn sämtliche Kartenwechsel
orientierungstreu
sind.
Ein
topologischer Raum
heißt kompakt
(oder überdeckungskompakt),
wenn es zu jeder offenen Überdeckung
eine endliche Teilmenge
derart gibt, dass
ist.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Eine
-Differentialform
(oder
-Form oder Form vom Grad
)
ist ein
Schnitt
im
-fachen
Dachprodukt
des
Kotangentialbündels,
also eine Abbildung
mit
.
Es seien
und
differenzierbare Mannigfaltigkeiten
und es sei
eine
differenzierbare Abbildung.
Es sei eine
-Differentialform
auf
. Dann nennt man die
-Form auf
, die der durch
gegebenen
alternierenden Abbildung
entspricht, die mit zurückgezogene
-Form. Sie wird mit
bezeichnet.
Es sei eine
-
dimensionale
differenzierbare Mannigfaltigkeit
und
eine
messbare
-
Differentialform
auf
. Dann heißt
eine positive Volumenform, wenn für jede
Karte
(eines gegebenen Atlases)
(mit
und Koordinatenfunktionen
)
in der lokalen Darstellung der Differentialform
die Funktion überall positiv ist.
Es sei eine
-
dimensionale
differenzierbare Mannigfaltigkeit
mit einer
abzählbaren Basis der Topologie
und es sei
eine
positive Volumenform
auf
. Dann heißt die für jede
Borelmenge
durch eine
abzählbare
Zerlegung
(wobei
ein offenes Kartengebiet und
ist)
definierte Zahl
(aus )
das Maß von
zu
oder das Integral von
über
.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
und
eine
-
Differentialform.
Es sei
eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt
das Wegintegral von längs
.
Eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
heißt riemannsche Mannigfaltigkeit, wenn auf jedem
Tangentialraum
,
,
ein
Skalarprodukt
erklärt ist derart, dass für jede Karte
mit
die Funktionen
(für
)
-
differenzierbar
sind.
Es sei eine
orientierte
riemannsche Mannigfaltigkeit
der
Dimension
. Zu
sei
diejenige
alternierende Form auf
(bzw. das entsprechende Element aus
),
die jeder die
Orientierung repräsentierenden
Orthonormalbasis
den Wert
zuordnet. Dann heißt die
-
Differentialform
die kanonische Volumenform auf .
Es sei
offen
und es sei
eine
stetig differenzierbare
-
Differentialform
mit der Darstellung
mit stetig differenzierbaren Funktionen
Dann nennt man die -Form
die äußere Ableitung von .
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Dann definiert man zu einer
differenzierbaren
Differentialform
die äußere Ableitung
unter Bezugnahme auf den
lokalen Fall
und Karten
(
und
offen)
durch
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Eine
differenzierbare
Differentialform
auf
heißt geschlossen, wenn ihre
äußere Ableitung
ist.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Eine
-
Differentialform
auf
heißt exakt, wenn es eine
differenzierbare
-Differentialform
auf
mit
gibt.
Unter dem euklidischen Halbraum der Dimension versteht man die Menge
mit der induzierten Topologie.
Es sei
eine
offene Teilmenge
in einem
euklidischen Halbraum
,
sei ein Punkt und es sei
eine
Abbildung.
Dann heißt stetig differenzierbar in
, wenn es eine offene Umgebung
und eine
stetig differenzierbare
Funktion
mit
gibt.
Es seien
und
.
Ein
topologischer
Hausdorff-Raum
zusammen mit einer
offenen Überdeckung
und
Karten
wobei die
offene Mengen im
euklidischen Halbraum
der Dimension
sind, und mit der Eigenschaft, dass die
Übergangsabbildungen
-Diffeomorphismen
sind, heißt
-Mannigfaltigkeit mit Rand oder differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand
(vom Grad
),
oder berandete Mannigfaltigkeit. Die Menge der Karten
,
,
nennt man auch den
-Atlas der berandeten Mannigfaltigkeit.
Es sei eine
Mannigfaltigkeit mit Rand.
Dann ist der Rand von
, geschrieben
, durch
definiert, wobei Karten sind.
Es sei ein
topologischer Raum
und
eine Teilmenge. Dann heißt
das offene Innere
(oder Innere)
von .
Es sei ein
topologischer Raum
und
eine Teilmenge. Dann heißt
der Abschluss
(oder topologische Abschluss)
von .
Es sei ein
topologischer Raum
und
eine Funktion. Dann heißt der topologische Abschluss
der Träger von .
Es sei ein
topologischer Raum.
Eine kompakte Ausschöpfung
,
,
von
ist eine
Folge
von
kompakten Teilmengen
mit
Es sei
eine
offene Überdeckung
eines
topologischen Raumes
. Eine
Partition der Eins
mit
heißt eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, wenn es für jedes
eine offene Menge
aus der Überdeckung derart gibt, dass der
Träger
von
in
liegt.