Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 1

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme für die Mengen

die Mengen

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. ,
  8. .


Aufgabe

Es seien und drei Mengen. Man beweise die folgenden Identitäten.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. ,
  8. ,
  9. .


Aufgabe

Skizziere ein Mengendiagramm, das zu vier Mengen alle möglichen Schnittmengen darstellt.


Aufgabe

Skizziere die folgenden Teilmengen im .

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. ,
  8. ,
  9. ,
  10. .

Welche geometrische Gestalt haben die Mengen, in deren Beschreibung nur eine (oder gar keine) Variable vorkommt?

Aufgabe

Beschreibe für je zwei (einschließlich dem Fall, dass das Produkt mit sich selbst genommen wird) der folgenden geometrischen Mengen ihre Produktmenge.

  1. Eine Kreislinie .
  2. Ein Geradenstück .
  3. Eine Gerade .
  4. Eine Parabel .

Welche Produktmengen lassen sich als eine Teilmenge im Raum realisieren, welche nicht?


Aufgabe

Beweise durch Induktion die folgenden Formeln.


Aufgabe *

Beweise durch Induktion für alle die Formel


Aufgabe *

Beweise durch Induktion, dass die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen (beginnend bei ) stets eine Quadratzahl ist.


Aufgabe

Zeige, dass mit der einzigen Ausnahme die Beziehung

gilt.


Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.

Zu einer natürlichen Zahl nennt man die Zahl

die Fakultät von (sprich Fakultät).


Aufgabe

Zeige, dass für die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Die Folge , sei rekursiv durch

definiert. Zeige, dass für

gilt.


Aufgabe *

Zeige mittels vollständiger Induktion für die Formel


Aufgabe

Die Städte seien untereinander durch Straßen verbunden und zwischen zwei Städten gibt es immer genau eine Straße. Wegen Bauarbeiten sind zur Zeit alle Straßen nur in eine Richtung befahrbar. Zeige, dass es trotzdem mindestens eine Stadt gibt, von der aus alle anderen Städte erreichbar sind.


Aufgabe *

Die offizielle Berechtigung für eine Klausurteilnahme werde durch mindestens Punkte im Übungsbetrieb erworben. Professor Knopfloch sagt, dass es aber auf einen Punkt mehr oder weniger nicht ankomme. Zeige durch eine geeignete Induktion, dass man mit jeder Punkteanzahl zur Klausur zugelassen wird.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die mengentheoretischen Fassungen einiger aristotelischer Syllogismen. Dabei bezeichnen Mengen.

  1. Modus Barbara: Aus und folgt .
  2. Modus Celarent: Aus und folgt .
  3. Modus Darii: Aus und folgt .
  4. Modus Ferio: Aus und folgt .
  5. Modus Baroco: Aus und folgt .


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und zwei Mengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. Es gibt eine Menge mit ,
  6. Es gibt eine Menge mit .


Aufgabe (3 Punkte)

Sei . Zeige durch Induktion die Gleichheit


Aufgabe (4 Punkte)

Eine -Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das durch Längsrillen und Querrillen in () mundgerechte kleinere Rechtecke eingeteilt ist. Ein Teilungsschritt an einer Schokolade ist das vollständige Durchtrennen einer Schokolade längs einer Längs- oder Querrille. Eine vollständige Aufteilung einer Schokolade ist eine Folge von Teilungsschritten (an der Ausgangsschokolade oder an einer zuvor erhaltenen Zwischenschokolade), deren Endprodukt aus den einzelnen Mundgerechtecken besteht. Zeige durch Induktion, dass jede vollständige Aufteilung einer -Schokolade aus genau Teilungsschritten besteht.


Aufgabe (4 Punkte)

Wie viele Teilquadrate (unterschiedlicher Seitenlänge) besitzt ein Schachbrett? Man finde möglichst viele Strategien, diese Anzahl zu bestimmen.


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