Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 12/latex
\setcounter{section}{12}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine \definitionsverweis {lineare Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {ax } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R } {\R } {x} { \betrag { x } } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R_{\geq 0} } {\R_{\geq 0} } {x} { \sqrt{x} } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
}
{} {}
Die folgende Aufgabe verwendet die reelle Sinusfunktion, die wir später einführen werden. Im Moment muss man nur wissen, dass sie stetig und periodisch ist und dass sich ihre Werte zwischen $-1$ und $1$ bewegen.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \begin{cases}x \cdot \sin \frac{1}{x} \text{ für } x \neq 0 \, , \\ 0 \text{ sonst}\, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist. Ist der Graph dieser Funktion \anfuehrung{zeichenbar}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge und sei
\maabbdisp {f} {T} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(y)
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus einem nichtleeren
\definitionsverweis {offenen Intervall}{}{}
$]x- \delta, x + \delta[$ gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ < }{ b
}
{ < }{ c
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{}
und es seien
\maabbdisp {g} {[a,b]} {\R
} {}
und
\maabbdisp {h} {[b,c]} {\R
} {}
\definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g (b)
}
{ = }{ h(b)
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann die Funktion
\maabbdisp {f} {[a,c]} {\R
} {}
mit
\mathdisp {f(t) = g (t) \text{ für } t \leq b \text{ und } f(t) = h(t) \text{ für } t > b} { }
ebenfalls stetig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme, für welche Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \begin{cases} 1 \text{ für } x \leq - 1 \, , \\ x^2 \text{ für } - 1< x < 2 \, , \\ -2x+7 \text{ für } x \geq 2 \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Funktion
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \begin{cases} x ,\, \text{ falls } x\in \Q \, , \\ 0,\, \text{ sonst} \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nur im Nullpunkt stetig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche Teilmenge und
\maabbdisp {f} {T} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Zeige, dass $f$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine reelle Folge und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} { { \left\{ { \frac{ 1 }{ n } } \mid n \in \N_+ \right\} } \cup \{0\}
}
{ \subseteq} {\R
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Die Funktion
\maabbdisp {f} {T} {\R
} {}
sei durch
\mathdisp {f { \left( { \frac{ 1 }{ n } } \right) } = x_n \text{ und } f(0)=x} { }
festgelegt. Zeige, dass $f$ genau dann stetig ist, wenn die Folge gegen $x$ konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathdisp {n \mapsto x_n = \left(1+ \frac{1}{2n}\right)^n} { . }
}
{} {}
Die folgende Aufgabe beschreibt eine Variante
des Folgenkriteriums
für die Stetigkeit.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge,
\maabbdisp {f} {T} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungzwei {$f$ ist
\definitionsverweis {stetig}{}{}
im Punkt $x$.
} {Für jede
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $T$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ = }{ x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch die
\definitionsverweis {Bildfolge}{}{}
\mathl{{ \left( f(x_n) \right) }_{ n \in \N }}{} konvergent.
}
}
{} {}
Die nächsten beiden Aufgaben verwenden folgende Definition.
Es seien
\mathkor {} {L} {und} {M} {}
Mengen und es sei
\maabbdisp {f} {L} {M} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zu einer \definitionsverweis {Teilmenge}{}{}
\mathl{S \subseteq L}{} heißt die Abbildung
\maabbeledisp {} {S} {M
} {x} {f(x)
} {,}
die \definitionswort {Einschränkung der Abbildung}{} auf die Teilmenge $S$.
Die Einschränkung wird mit $f{{|}}_S$ bezeichnet.
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{S \subseteq T \subseteq {\mathbb K}}{} Teilmengen. Zeige, dass zu einer stetigen Funktion
\maabbdisp {f} {T} { {\mathbb K}
} {}
auch die Einschränkung
\mathl{f{{|}}_S}{} stetig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {streng wachsende}{}{}
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {[0,1]} {\R
} {,}
derart, dass es keine
\zusatzklammer {endliche} {} {}
Zerlegung
\mathl{0=a_0 <a_1 < \cdots < a_{n-1} < a_n=1}{} des Intervalls
\mathl{[0,1]}{} gibt, so dass die Einschränkungen
\mathl{f {{|}}_{]a_{i-1}, a_i]}}{}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Es sei
\maabb {f} {T} { {\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x)
}
{ =} { b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Für jede Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $T$, die gegen $a$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
konvergiert auch die Bildfolge
\mathl{{ \left( f(x_n) \right) }_{ n \in \N }}{} gegen $b$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
der
\definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 2x^3+3x^2-1 }{ x^3-x^2+x+3 } }} { }
im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ = }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
eine Funktion und
\mathl{a \in \R}{.} Definiere die Begriffe \anfuehrung{linksseitiger}{} und \anfuehrung{rechtsseitiger Grenzwert}{} von $f$ in $a$ sowie den Begriff \anfuehrung{Sprungstelle}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b_n
}
{ =} { 2a_n^4-6 a_n^3+a_n^2-5a_n+3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierten
\definitionsverweis {Folge}{}{,}
wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ =} { { \frac{ 3n^3-5n^2+7 }{ 4n^3+2n-1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass die Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
mit
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} 1, \text{ falls } x \in \Q \, , \\ 0 \, \text{ sonst} \, , \end{cases}} { }
in keinem Punkt $x \in \R$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathdisp {a_n =\sqrt{ { \frac{ 2 \sqrt{n} -3 }{ 3 \sqrt{n} -2 } } }} { }
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff der geraden und der ungeraden Funktion.
Eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
heißt \definitionswort {gerade}{,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { f(-x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
Eine Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
heißt \definitionswort {ungerade}{,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { -f(-x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass man jede
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{g+h
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer stetigen
\definitionsverweis {geraden Funktion}{}{}
$g$ und einer stetigen
\definitionsverweis {ungeraden Funktion}{}{}
$h$ schreiben kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{7}
{
Zeige, dass die Menge der
\definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{}
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
mit
\mathl{f(\Q) \subseteq \Q}{}
\definitionsverweis {überabzählbar}{}{}
ist.
}
{} {}
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