Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Vorlesung 12

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Stetige Funktionen

Den Abstand zwischen zwei reellen (oder komplexen) Zahlen und bezeichnen wir mit .

Bei einer Funktion

kann man sich fragen, inwiefern der Abstand in der Wertemenge durch den Abstand in der Definitionsmenge kontrollierbar ist. Sei und der Bildpunkt. Man möchte, dass für Punkte , die „nahe“ an sind, auch die Bildpunkte „nahe“ an sind. Schon lineare Funktionen mit unterschiedlicher Steigung zeigen, dass die „Nähe“ im Bildbereich nicht mit der „Nähe“ im Definitionsbereich direkt verglichen werden kann. Die Zielsetzung ist vielmehr, dass zu einer gewünschten Genauigkeit im Bildbereich überhaupt eine Ausgangsgenauigkeit gefunden werden kann, die sichert, dass die Funktionswerte innerhalb der gewünschten Genauigkeit beieinander liegen.

Um diese intuitive Vorstellung zu präzisieren, sei ein vorgegeben. Dieses repräsentiert eine „gewünschte Zielgenauigkeit“. Die Frage ist dann, ob man ein finden kann (eine „Startgenauigkeit“) mit der Eigenschaft, dass für alle mit die Beziehung gilt. Dies führt zum Begriff der stetigen Abbildung, den wir parallel für die reellen und die komplexen Zahlen entwickeln. Wir verwenden für und das gemeinsame Symbol und wir betrachten Funktionen

wobei eine Teilmenge ist. Wegen könnte man sich auf beschränken. Allerdings ist die reelle Situation etwas suggestiver und viele komplexe Fragestellungen lassen sich einfach auf den reellen Fall zurückführen, so dass es durchaus erlaubt ist, sich zunächst auf zu beschränken.


Definition  

Es sei eine Teilmenge,

eine Funktion und . Man sagt, dass stetig im Punkt ist, wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt. Man sagt, dass stetig ist, wenn sie in jedem Punkt stetig ist.

Bei sollte man an den Definitionsbereich der Funktion denken. Typische Situationen sind, dass ganz ist, oder ein reelles Intervall, oder ohne endlich viele Punkte und Ähnliches. Statt mit den nichnegativen reellen Zahlen und kann man genauso gut mit Stammbrüchen und arbeiten.


Beispiel  

Eine konstante Funktion

ist stetig. Zu jedem vorgegeben kann man hier ein beliebiges wählen, da ja ohnehin

gilt.

Die Identität

ist ebenfalls stetig. Zu jedem vorgegebenen und kann man hier wählen, was zu der Tautologie führt: Wenn , so ist


Heaviside.svg

Beispiel  

Wir betrachten die Funktion

mit

Diese Funktion ist im Nullpunkt nicht stetig. Für und jedes beliebige positive gibt es nämlich negative Zahlen mit . Für diese ist aber .


Nicht jede stetige Funktion kann man zeichnen, auch nicht nach beliebiger Vergrößerung. Gezeigt wird eine Approximation einer Weierstraß-Funktion, die stetig, aber nirgendwo differenzierbar ist. Bei einer stetigen Funktion kann man zwar die Größe der Schwankungen im Bildbereich durch Einschränkungen im Definitionsbereich kontrollieren, die Anzahl der Schwankungen (die Anzahl der Richtungswechsel des Graphen) kann man aber nicht kontrollieren.

Die folgende Aussage bringt die Stetigkeit mit konvergenten Folgen in Verbindung.



Lemma  

Es sei eine Teilmenge,

eine Funktion und . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist stetig im Punkt .
  2. Für jede konvergente Folge in mit ist auch die Bildfolge konvergent mit dem Grenzwert .

Beweis  

Sei (1) erfüllt und sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Wir müssen zeigen, dass

ist. Dazu sei vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von gegen gibt es eine natürliche Zahl derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Nach der Wahl von ist dann

so dass die Bildfolge gegen konvergiert.
Sei (2) erfüllt.  Wir nehmen an, dass nicht stetig ist. Dann gibt es ein derart, dass es für alle Elemente gibt, deren Abstand zu maximal gleich ist, deren Wert unter der Abbildung aber zu einen Abstand besitzt, der größer als ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche , . D.h. für jede natürliche Zahl gibt es ein mit

Diese so konstruierte Folge konvergiert gegen , aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen , da der Abstand der Bildfolgenglieder zu zumindest ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).




Rechenregeln für stetige Funktionen



Lemma  

Es seien und Teilmengen und

und

Funktionen mit . Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Wenn in und in stetig ist, so ist auch die Hintereinanderschaltung in stetig.
  2. Wenn und stetig sind, so ist auch stetig.

Beweis  

Die Aussage (1) ergibt sich direkt aus der Folgencharakterisierung der Stetigkeit. Daraus folgt auch (2).




Lemma  

Es sei und seien

stetige Funktionen.

Dann sind auch die Funktionen

stetig. Für eine Teilmenge , auf der keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion

stetig.

Beweis  

Dies ergibt sich aus der Folgencharakterisierung der Stetigkeit und Satz 8.10.




Korollar  

Polynomfunktionen

sind stetig.

Beweis  

Aufgrund von Beispiel 12.2 und Lemma 12.6 sind für jedes die Potenzen

stetig. Daher sind auch für jedes die Funktionen

stetig und wiederum aufgrund von Lemma 12.6 sind auch alle Funktionen

stetig.


Rationale Funktionen sind auf ihrer Definitionsmenge stetig.



Korollar  

Es seien zwei Polynome und es sei .

Dann ist die rationale Funktion

stetig.

Beweis  

Dies folgt aus Korollar 12.7 und Lemma 12.6.




Grenzwerte von Funktionen

Eng verwandt mit dem Stetigkeitsbegriff ist der Begriff des Grenzwertes einer Funktion.


Definition  

Es sei eine Teilmenge und sei ein Punkt. Es sei

eine Funktion. Dann heißt Grenzwert (oder Limes) von in , wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für jedes aus

die Abschätzung

folgt. In diesem Fall schreibt man

Dieser Begriff ist eigentlich nur dann sinnvoll, wenn es in jeder offenen Umgebung von auch Punkte aus gibt. Dann heißt ein Berührpunkt von . In diesem Fall ist der Grenzwert, wenn er existiert, eindeutig bestimmt (andernfalls ist jeder Punkt ein Grenzwert).

Eine typische Situation ist die folgende: Es sei ein reelles Intervall, sei ein Punkt darin und es sei . Die Funktion sei auf , aber nicht im Punkt definiert, und es geht um die Frage, inwiefern man zu einer sinnvollen Funktion auf ganz fortsetzen kann. Dabei soll durch bestimmt sein. In Zusammenhang mit differenzierbaren Funktionen werden wir zu einer Funktion im Punkt die Steigung der Sekanten untersuchen, die durch und , , festgelegt sind. Diese Steigung ist durch gegeben, wobei dieser Ausdruck für nicht definiert ist. Der Grenzwert davon für ist, falls er existiert, die Steigung der Tangente.



Lemma

Es sei eine Teilmenge und sei ein Punkt. Es sei eine Funktion und . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. Es ist
  2. Für jede Folge in , die gegen [[{{:MDLUL/MDLUL/ ()|opt=Ziel}}|]], konvergiert auch die Bildfolge gegen .

Beweis

Siehe Aufgabe 12.15.




Lemma  

Es sei eine Teilmenge und sei ein Punkt. Es seien und Funktionen derart, dass die Grenzwerte und existieren. Dann gelten folgende Beziehungen.

  1. Die Summe besitzt einen Grenzwert in , und zwar ist
  2. Das Produkt besitzt einen Grenzwert in , und zwar ist
  3. Es sei für alle und . Dann besitzt der Quotient einen Grenzwert in , und zwar ist

Beweis  

Dies ergibt sich aus Lemma 12.10 und aus Satz 8.10.



Beispiel  

Wir betrachten den Limes

wobei , ist. Für ist der Ausdruck nicht definiert, und aus dem Ausdruck ist nicht direkt ablesbar, ob der Grenzwert existiert und welchen Wert er annimmt. Man kann den Ausdruck aber mit erweitern, und erhält dann

Aufgrund der Rechenregeln für Grenzwerte können wir den Grenzwert von Zähler und Nenner ausrechnen, und es ergibt sich insgesamt .




Korollar  

Es sei , und . Es sei eine Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. Die Funktion ist stetig in .
  2. Es ist

Beweis  

Dies ergibt sich direkt aus Lemma 12.10 oder aus dem Folgenkriterium.

Für eine stetige Funktion folgt daraus, dass sie sich zu einer stetigen Funktion (durch ) genau dann fortsetzen lässt, wenn der Limes von in gleich ist.


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