Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 54/latex

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\setcounter{section}{54}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und es seien
\mathl{L,L_1 , \ldots , L_m}{} \definitionsverweis {Linearformen}{}{} auf $V$. Zeige, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigcap_{i = 1}^m \operatorname{kern} L_i }
{ \subseteq} { \operatorname{kern} L }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} genau dann gilt, wenn $L$ zu dem von den
\mathl{L_1 , \ldots , L_m}{} \definitionsverweis {erzeugten Untervektorraum}{}{} \zusatzklammer {im \definitionsverweis {Dualraum}{}{}} {} {} gehört.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {lokalen Extrema}{}{} der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x,y) }
{ =} {5x+3y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf der Ellipse
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid 2x^2+y^2 = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {lokalen Extrema}{}{} der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x,y) }
{ =} {x^2y^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} unter der Nebenbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid 4x +7y = 100 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Für eine Party soll eine Bowle gemischt werden, wobei $100$ Euro zur Verfügung stehen. Die Zutaten sind Orangensaft, Erdbeeren, Rum und Sekt. Die Preisfunktion ist \maabbeledisp {} {\R_+^4} {\R } {(x,y,z,w)} { x+y+5z+3w } {.} Die Stimmungsfunktion $h$ wird durch

\maabbeledisp {h} {\R_+^4 } { \R } {(x,y,z,w)} { x^3y \sqrt{z}w } {,} beschrieben. Bei welchem Mischungsverhältnis wird die Stimmung optimiert? \zusatzklammer {Es genügt, den (die) kritischen Punkt(e) für die Lagrange-Bedingung auszurechnen} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man beweise die Formel aus Beispiel 54.6, indem man den durch die Linearform $f$ gegebenen affinen Unterraum linear parametrisiert und das Optimierungsproblem für $h$ auf dem zugehörigen
\mathl{\R^{n-1}}{} betrachtet.

}
{} {}

Man löse die folgende Aufgabe direkt und als eine Extremwertaufgabe unter Nebenbedingungen.


\inputaufgabe
{}
{

Für welche Punkte
\mathl{(t,t^2)}{} der \definitionsverweis {Standardparabel}{}{} wird der \definitionsverweis {Abstand}{}{} zum Punkt
\mathl{(0,1)}{} minimal?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme sämtliche \definitionsverweis {Tangenten}{}{} an die Hyperbel
\mathdisp {{ \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid xy = 1 \right\} }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass durch \maabbeledisp {} {[0,2 \pi [} {\R^2 } {t} { \left( \cos^{ 3 } t , \, \sin^{ 3 } t \right) } {,} eine \definitionsverweis {bijektive Parametrisierung}{}{} der Standardastroide
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid { \left( x^2+y^2-1 \right) }^3+27 x^2y^2 = 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x,y) }
{ =} {x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf der Standardastroide
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid { \left( x^2+y^2-1 \right) }^3+27 x^2y^2 = 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {lokalen Extrema}{}{} der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x,y) }
{ =} {x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf der Standardastroide
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid { \left( x^2+y^2-1 \right) }^3+27 x^2y^2 = 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} unter Verwendung der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (x,y) }
{ = }{\left( \cos^{ 3 } t , \, \sin^{ 3 } t \right) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegebenen Parametrisierung \zusatzklammer {siehe Aufgabe 54.7} {} {} von $M$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {lokalen Extrema}{}{} der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y) }
{ =} {x^2+y^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid (x-1)^2+(y-2)^2 = 20 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {globalen Extrema}{}{} der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y) }
{ =} {x^4+y^4-8(x^2+y^2) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^2 \leq 9 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {globalen Extrema}{}{} der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y) }
{ =} {2x^2+y^2-x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^2 \leq 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {lokalen Extrema}{}{} der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x,y) }
{ =} {3x-7y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf der Ellipse
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid 3x^2+2y^2 = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbdisp {g} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} Funktion.

a) Zeige, dass $g$ in einem Punkt $a \in \R$ genau dann ein lokales Maximum besitzt, wenn die Einschränkung der Funktion \maabbeledisp {y} {\R^2} {\R } {(x,y)} {y } {,} auf den Graphen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ =} { { \left\{ (x,y) \mid y = g(x) \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im Punkt
\mathl{(a,g(a))}{} ein lokales Maximum besitzt.

b) Wie steht in dieser Situation der Satz über Extrema mit Nebenbedingungen mit dem eindimensionalen notwendigen Kriterium für ein lokales Extremum in Verbindung?

c) Man gebe ein Beispiel von zwei stetig differenzierbaren Funktionen \maabbdisp {f,h} {\R^2} {\R } {} und einem Punkt
\mathl{P \in \R^2}{} derart, dass \mathkor {} {\left(Df\right)_{P}} {und} {\left(Dh\right)_{P}} {} linear abhängig sind und dass $h$ auf der Faser zu $f$ durch $P$ kein lokales Extremum besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es soll eine \zusatzklammer {quaderförmige} {} {} Schachtel mit den Seitenlängen
\mathl{a,b,c \in \R_+}{} angefertigt werden, deren Inhalt gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{abc }
{ =} { 1000 \, \rm{cm}^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} sein soll.

a) Wie müssen
\mathl{a,b,c,}{} gewählt werden, damit der Materialaufwand für die sechs Seiten kritisch \zusatzklammer {also extremal sein könnte} {} {} wird?

b) Ist der Materialaufwand unter der in a) beschriebenen Situation minimal oder maximal?

c) Für die Luxusversion der Schachtel aus Teil a) soll die kleinste Seitenfläche \zusatzklammer {vorne und hinten} {} {} mit einer Goldfolie bedeckt werden. Die Materialkosten für eine solche Seite sind dreimal so hoch wie für eine normale Seite. Für welche Seitenlängen sind nun die Materialkosten extremal?

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {lokalen Extrema}{}{} der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x,y,z) }
{ =} {3x+4y+2z }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf dem Ellipsoid
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid 2x^2+y^2+3z^2 = 4 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme sämtliche \definitionsverweis {Tangenten}{}{} an die Astroide
\mathdisp {{ \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid { \left( x^2+y^2-1 \right) }^3+27 x^2y^2 = 0 \right\} }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{6 (1+2+3)}
{

Wir betrachten im Einheitswürfel
\mathl{E=[-1,1]^3 \subseteq \R^3}{} eingeschriebene Vierecke mit den Eckpunkten \zusatzklammer {\mathlk{-1 \leq a,b \leq 1}{}} {} {}
\mathdisp {(1,a,-1),\, (b,1,-1),\, (-1,-a,1),\, (-b,-1,1)} { . }
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass die vier Punkte in einer Ebene liegen. }{Unter welcher Bedingung an $a,b$ handelt es sich um ein Quadrat? }{Für welche $a,b$ erhält man ein Quadrat mit maximalem Flächeninhalt? }

}
{} {}




\inputaufgabe
{6}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {\R^2} {\R } {} \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktionen}{}{} derart, dass die Nullfasern \mathkor {} {M= { \left\{ (x,y) \in \R \mid f(x,y) = 0 \right\} }} {und} {N= { \left\{ (x,y) \in \R \mid g(x,y) = 0 \right\} }} {} \definitionsverweis {disjunkt}{}{} sind und beide nur \definitionsverweis {reguläre Punkte}{}{} besitzen. Es sei
\mathdisp {(P,Q) \in M \times N \subseteq \R^2 \times \R^2} { }
ein Punktepaar, für das der Abstand zwischen solchen Punkten minimal wird. Zeige, dass die zugehörigen \definitionsverweis {Tangenten}{}{} parallel sind.

}
{} {}

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