Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 54

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum über einem Körper und es seien Linearformen auf . Zeige, dass die Beziehung

genau dann gilt, wenn zu dem von den erzeugten Untervektorraum (im Dualraum) gehört.


Aufgabe

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

auf der Ellipse


Aufgabe

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

unter der Nebenbedingung


Aufgabe *

Für eine Party soll eine Bowle gemischt werden, wobei Euro zur Verfügung stehen. Die Zutaten sind Orangensaft, Erdbeeren, Rum und Sekt. Die Preisfunktion ist

Die Stimmungsfunktion wird durch

beschrieben. Bei welchem Mischungsverhältnis wird die Stimmung optimiert? (Es genügt, den (die) kritischen Punkt(e) für die Lagrange-Bedingung auszurechnen).


Aufgabe

Man beweise die Formel aus Beispiel 54.6, indem man den durch die Linearform gegebenen affinen Unterraum linear parametrisiert und das Optimierungsproblem für auf dem zugehörigen betrachtet.


Man löse die folgende Aufgabe direkt und als eine Extremwertaufgabe unter Nebenbedingungen.

Aufgabe

Für welche Punkte der Standardparabel wird der Abstand zum Punkt minimal?


Aufgabe

Bestimme sämtliche Tangenten an die Hyperbel


Aufgabe

Zeige, dass durch

eine bijektive Parametrisierung der Standardastroide

gegeben ist.


Aufgabe

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

auf der Standardastroide


Aufgabe

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

auf der Standardastroide

unter Verwendung der durch gegebenen Parametrisierung (siehe Aufgabe 54.7) von .


Aufgabe

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

auf


Aufgabe

Bestimme die globalen Extrema der Funktion

auf


Aufgabe

Bestimme die globalen Extrema der Funktion

auf


Aufgabe *

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

auf der Ellipse


Aufgabe *

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion.

a) Zeige, dass in einem Punkt genau dann ein lokales Maximum besitzt, wenn die Einschränkung der Funktion

auf den Graphen

im Punkt ein lokales Maximum besitzt.

b) Wie steht in dieser Situation der Satz über Extrema mit Nebenbedingungen mit dem eindimensionalen notwendigen Kriterium für ein lokales Extremum in Verbindung?

c) Man gebe ein Beispiel von zwei stetig differenzierbaren Funktionen

und einem Punkt derart, dass und linear abhängig sind und dass auf der Faser zu durch kein lokales Extremum besitzt.


Aufgabe *

Es soll eine (quaderförmige) Schachtel mit den Seitenlängen angefertigt werden, deren Inhalt gleich

sein soll.

a) Wie müssen gewählt werden, damit der Materialaufwand für die sechs Seiten kritisch (also extremal sein könnte) wird?

b) Ist der Materialaufwand unter der in a) beschriebenen Situation minimal oder maximal?

c) Für die Luxusversion der Schachtel aus Teil a) soll die kleinste Seitenfläche (vorne und hinten) mit einer Goldfolie bedeckt werden. Die Materialkosten für eine solche Seite sind dreimal so hoch wie für eine normale Seite. Für welche Seitenlängen sind nun die Materialkosten extremal?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

auf dem Ellipsoid


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme sämtliche Tangenten an die Astroide


Aufgabe (6 (1+2+3) Punkte)

Wir betrachten im Einheitswürfel eingeschriebene Vierecke mit den Eckpunkten ()

  1. Zeige, dass die vier Punkte in einer Ebene liegen.
  2. Unter welcher Bedingung an handelt es sich um ein Quadrat?
  3. Für welche erhält man ein Quadrat mit maximalem Flächeninhalt?


Aufgabe (6 Punkte)

Es seien

stetig differenzierbare Funktionen derart, dass die Nullfasern und disjunkt sind und beide nur reguläre Punkte besitzen. Es sei

ein Punktepaar, für das der Abstand zwischen solchen Punkten minimal wird. Zeige, dass die zugehörigen Tangenten parallel sind.


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