Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 53

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Betrachte die Abbildung

Für welche Punkte ist regulär? Was besagt der Satz über implizite Abbildungen in dieser Situation? Wie sieht lokal die Faser in einem regulären Punkt aus? Kann es leere Fasern geben? Bestimme die Faser über .


Aufgabe

Es seien

zwei stetig differenzierbare Funktionen, deren Ableitungen und stets positiv seien. Zeige, dass die Funktion

stetig differenzierbar und in jedem Punkt regulär ist. Man gebe explizit eine Beschreibung der Fasern von als Graph an.


Aufgabe

Beschreibe die Fasern der Abbildung

Man gebe, falls dies möglich ist,

Diffeomorphismen zwischen und den Fasern von an.


Aufgabe

Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung


Aufgabe

Beschreibe die Fasern der Abbildung

Man gebe, falls dies möglich ist, Diffeomorphismen zwischen offenen Intervallen und (möglichst großen) offenen Teilmengen der Fasern von an.


Aufgabe

Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung


Aufgabe

Finde für die folgenden Kurven

Abbildungen

derart, dass das Bild von genau die Faser von über ist.

  1. .
  2. .
  3. .


Aufgabe *

Es sei

eine Funktion.

a) Realisiere den Graphen von als Faser zu einer Abbildung

über .

b) Sei stetig differenzierbar. Zeige, dass die Punkte auf dem Graphen von regulär sind.


Aufgabe

Sei

Man fertige eine Skizze an, die die Fasern, die Tangentialräume und lokale Diffeomorphismen zwischen Tangentialraum und Faser sichtbar macht.


Aufgabe

Sei

Man fertige Skizzen für den (1) Graph und (2) die Fasern und die Tangentialräume dieser Abbildung an.


Aufgabe

Es sei

eine stetige Abbildung und die Faser über . Zeige, dass es auch eine stetige Abbildung

derart gibt, dass die Faser von über einem Punkt ist.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und ein Untervektorraum. Zeige, dass es eine lineare Abbildung

in einen weiteren reellen endlichdimensionalen Vektorraum derart gibt, dass die Faser über ist und dass in jedem Punkt regulär ist.


Soccer field - empty.svg

Aufgabe

Ein Fußballfeld soll in einen Park mit Erhebungen und mit Senken umgewandelt werden. Dabei sollen die Linien unverändert bleiben und alle anderen Punkte sollen ihre Höhe ändern. Ist dabei jede Vorgabe, welche umrandeten Gebiete erhöht oder gesenkt werden sollen, möglich? Ist jedes solche Vorhaben durch eine stetige oder eine differenzierbare Höhenfunktion durchführbar? Können im differenzierbaren Fall alle Punkte regulär sein?


Aufgabe

Es sei offen und

eine stetig differenzierbare Abbildung, die im Punkt ein surjektives totales Differential besitze. Es sei

(mit offen) ein lokaler Diffeomorphismus auf die Faser durch , bei dem auf abgebildet wird. Zeige, dass man den Tangentialraum an die Faser durch auch als

beschreiben kann.


Die nächste Aufgabe knüpft an Aufgabe 34.25 an.

Aufgabe

Im Nullpunkt befinde sich die Pupille eines Auges (oder eine Linse) und die durch bestimmte Ebene sei die Netzhaut (oder eine Fotoplatte). Bestimme die Abbildung

die das Sehen (oder Fotografieren) beschreibt (d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet). Ist diese Abbildung differenzierbar? Für welche Punkte ist diese Abbildung regulär, wie sehen die Fasern aus?


Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

Bestimme die regulären Punkte und die Fasern dieser Abbildung.


Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

Bestimme die regulären Punkte, die Fasern, das Bild und das Bild aller regulären Punkte dieser Abbildung.


Aufgabe

Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung


Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung . Zeige, dass regulär ist.

b) Beschreibe für den Punkt den Tangentialraum an die Faser von durch .

c) Man gebe für einen lokalen Diffeomorphismus zwischen einem offenen Intervall und einer offenen Umgebung von in der Faser durch an.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Zeige, dass die Faser durch den Punkt sich lokal durch eine differenzierbare Kurve

mit parametrisieren lässt, und bestimme die möglichen Werte der Ableitung .


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Tangentialraum an die Faser im Punkt der Abbildung

und zwar sowohl durch lineare Gleichungen als auch durch eine parametrisierte Gerade.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

im Punkt . Man gebe eine differenzierbare Abbildung

an, wobei eine möglichst große offene Teilmenge des Tangentialraumes an die Faser von durch ist, die eine Bijektion zwischen und stiftet ( offen).


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien

stetige Abbildungen und seien und Fasern dieser Abbildungen, d.h. es sei und (für gewisse ). Zeige, dass es eine stetige Abbildung

und ein derart gibt, dass ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe explizit eine stetige Abbildung

derart, dass die Faser von über gleich ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Fasern der Abbildung

in jedem Punkt lokal homöomorph zu einem offenen reellen Intervall sind. D.h. dass es zu jedem Punkt eine offene Umgebung , ein offenes Intervall und eine stetige Bijektion

gibt (wobei die Faser von durch bezeichnet), deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.


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