Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 74/latex

\setcounter{section}{74}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {[a,b]} {[c,d] } {} eine bijektive, \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} Abbildung. Was besagt in dieser Situation die Transformationsformel für Quader und was die Newton-Leibniz-Formel?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {{\mathbb C}^2} {{\mathbb C}^2 } {(x,y)} {(xe^y, -e^{-y}) } {,} in jedem Punkt \definitionsverweis {maßtreu}{}{,} aber nicht injektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x+y^2,-y^4-2xy^2-x^2+y^2+x+y) } {,} \definitionsverweis {flächentreu}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Transformation \maabbeledisp {} {[0,2 \pi] \times [0,1]} { B \left( 0,1 \right) } {(\alpha,w)} {( \sqrt{w} \cos \alpha, \sqrt{w} \sin \alpha) } {,} auf geeigneten offenen Teilmengen ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} ist und berechne die \definitionsverweis {Jacobi-Determinante}{}{} in jedem Punkt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein $C^1$-\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} mit \definitionsverweis {offenen}{}{} \definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{} Mengen \mathkor {} {G} {und} {H} {} im $\R^n$. Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {maßtreu}{}{} ist, wenn die \definitionsverweis {Jacobi-Determinante}{}{} überall den Wert $1$ oder überall den Wert $-1$ hat.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechtecks
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{[-1,3] \times [0,2] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} unter der Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} { \R^2 } {(x,y)} {(x^3,y-x^2) } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {[a,b]} { \R_+ } {} eine stetig differenzierbare Funktion. Beweise die Volumenformel für den zugehörigen Rotationskörper $K$ mit der Transformationsformel und der Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {[a,b] \times D} { K } {(x,y,z)} { (x, f(x)y, f(x) z) } {,} wobei $D$ die Einheitskreisscheibe bezeichnet.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{B \subseteq \R^n}{} \definitionsverweis {messbar}{}{,}
\mathl{P =(a_1 , \ldots , a_n,a_{n+1}) \in \R^{n+1}}{} ein Punkt mit
\mathl{a_{n+1} >0}{} und $K_B$ der zugehörige \definitionsverweis {Kegel}{}{.} Beweise die Maßformel für den Kegel mit der Transformationsformel und der Abbildung \maabbeledisp {\varphi} { \R^n \times [0, a_{n+1}] } { \R^n \times [0, a_{n+1}] } {(x_1 , \ldots , x_n, t) } { (x_1 , \ldots , x_n,0) + { \frac{ t }{ a_{n+1} } } (a_1-x_1 , \ldots , a_n-x_n,a_{n+1} ) } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T }
{ =} { { \left\{ (\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\in\mathbb{R}^2 \mid \frac{\pi}{2}\leq\rho\leq\theta, \ \cos\theta\geq0, \ \sin\theta\geq 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Berechne den Flächeninhalt von T.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Interpretiere die Substitutionsregel als einen Spezialfall der Transformationsformel.

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Annulus.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Annulus.svg } {} {Nandhp} {Commons} {PD} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Flächeninhalt eines \definitionsverweis {Annulus}{}{} gleich dem Produkt aus der Länge des Mittelkreises und der Breite ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A } , \mu)}{} ein $\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{} \definitionsverweis {Maßraum}{}{} und \maabbdisp {h_1, h_2} {M} { \R_{\geq 0} } {} \definitionsverweis {messbare Funktionen}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_M h_1h_2 d \mu }
{ =} { \int_{S(h_1)} h_2 d \mu \otimes \lambda^1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei $h_2$ in natürlicher Weise als Funktion auf dem \definitionsverweis {Subgraphen}{}{}
\mathl{S(h_1)}{} zu $h_1$ aufgefasst wird.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne
\mathl{\int_{\R^2} { \frac{ 1 }{ 1+ { \left( x^2+y^2 \right) }^2 } } dx dy}{} mit Korollar 74.5.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Berechne den Wert des Quadrats
\mathl{{ \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid \betrag { x }, \betrag { y } \leq 1 \right\} }}{} für das \definitionsverweis {Bildmaß}{}{}
\mathl{\mu= \varphi_*\lambda^2}{} unter der Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x+y,xy) } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4 (1+3)}
{

Es seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {offene Mengen}{}{} im $\R^n$ und es sei \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein $C^1$-\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{.} Es sei \maabbdisp {f} {H} {\R_+ } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}

a) Definiere einen Diffeomorphismus zwischen den offenen Subgraphen zu $f$ bzw. zu $f \circ \varphi$.

b) Beweise die Transformationsformel für Integrale in diesem Fall direkt aus Satz 74.2, angewendet auf den Subgraphen, mit Hilfe von Aufgabe 74.12.

}
{} {}

\inputaufgabe
{7 (3+2+2)}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {} {[0,10]} {\R } {x} {x^2 } {,} und interessieren uns für die Straße der Breite $1$, deren Mittelstreifen der vorgegebene Funktionsgraph ist.

a) Zeige, dass zu zwei verschiedenen Punkten auf dem Funktionsgraphen die Senkrechten der Länge $1$ \zusatzklammer {mit dem Mittelpunkt auf dem Graphen} {} {} untereinander überschneidungsfrei sind.

b) Man gebe eine \zusatzklammer {möglichst einfache} {} {} Parametrisierung der Straße an.

c) Bestimme den Flächeninhalt der Straße.

}
{} {}