Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 74

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei

eine bijektive, stetig differenzierbare Abbildung. Was besagt in dieser Situation die Transformationsformel für Quader und was die Newton-Leibniz-Formel?


Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

in jedem Punkt maßtreu, aber nicht injektiv ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

flächentreu ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Transformation

auf geeigneten offenen Teilmengen ein Diffeomorphismus ist und berechne die Jacobi-Determinante in jedem Punkt.


Aufgabe

Es sei

ein -Diffeomorphismus mit offenen zusammenhängenden Mengen und im . Zeige, dass genau dann maßtreu ist, wenn die Jacobi-Determinante überall den Wert oder überall den Wert hat.


Aufgabe *

Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechtecks unter der Abbildung


Aufgabe

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion. Beweise die Volumenformel für den zugehörigen Rotationskörper mit der Transformationsformel und der Abbildung

wobei die Einheitskreisscheibe bezeichnet.


Aufgabe *

Es sei messbar, ein Punkt mit und der zugehörige Kegel. Beweise die Maßformel für den Kegel mit der Transformationsformel und der Abbildung


Aufgabe

Sei

Berechne den Flächeninhalt von T.


Aufgabe

Interpretiere die Substitutionsregel als einen Spezialfall der Transformationsformel.


Annulus.svg

Aufgabe

Zeige, dass der Flächeninhalt eines Annulus gleich dem Produkt aus der Länge des Mittelkreises und der Breite ist.


Aufgabe

Es sei ein -endlicher Maßraum und

messbare Funktionen. Zeige

wobei in natürlicher Weise als Funktion auf dem Subgraphen zu aufgefasst wird.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Wert des Quadrats für das Bildmaß unter der Abbildung


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Es seien und offene Mengen im und es sei

ein -Diffeomorphismus. Es sei

eine stetige Funktion.

a) Definiere einen Diffeomorphismus zwischen den offenen Subgraphen zu bzw. zu .

b) Beweise die Transformationsformel für Integrale in diesem Fall direkt aus Satz 74.2, angewendet auf den Subgraphen, mit Hilfe von Aufgabe 74.14.


Aufgabe (7 (3+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

und interessieren uns für die Straße der Breite , deren Mittelstreifen der vorgegebene Funktionsgraph ist.

a) Zeige, dass zu zwei verschiedenen Punkten auf dem Funktionsgraphen die Senkrechten der Länge (mit dem Mittelpunkt auf dem Graphen) untereinander überschneidungsfrei sind.

b) Man gebe eine (möglichst einfache) Parametrisierung der Straße an.

c) Bestimme den Flächeninhalt der Straße.



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