Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesung 74

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Die Transformationsformel für Integrale



Korollar  

Es seien und offene Mengen im und es sei

ein -Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante für . Es sei ein kompakter achsenparalleler Quader.

Dann gilt

Beweis  

Da stetig differenzierbar ist, ist die Abbildung

stetig und daher nach Satz 36.10 gleichmäßig stetig auf dem kompakten Quader . D.h. zu jedem gibt es ein mit für alle . Dann gibt es auch ein derart, dass für alle kompakten Teilquader mit maximaler Kantenlänge das Bild in einem abgeschlossenen Intervall der Länge liegt. Damit ist die Differenz zwischen dem Minimum und dem Maximum von maximal gleich .

Sei gegeben. Wir unterteilen in kompakte Teilquader, indem wir jede Quaderkante in gleichlange Teile unterteilen, und wählen dabei so groß, dass die entstehenden Teilquader die oben beschriebene Eigenschaft haben. Es sei eine Indexmenge zu dieser Unterteilung, es ist also und damit . Diese beiden Vereinigungen sind nicht disjunkt, jedoch sind die Schnittmengen der Quader nach Lemma 66.11 und die Schnittmengen der als Bilder von Quaderseiten nach Korollar 73.6 Nullmengen. Wir wenden Lemma 73.7 auf die Teilquader an und erhalten

Dabei ist die Differenz zwischen links und rechts durch

beschränkt, kann also durch beliebig klein gemacht werden. Die gleichen Abschätzungen gelten wegen der Monotonie des Integrals auch für das Integral , so dass

gilt.




Satz  

Es seien und offene Mengen im und es sei

ein -Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante für . Es sei eine messbare Menge.

Dann ist ebenfalls messbar und es gilt

Beweis  

Ein Diffeomorphismus und seine Umkehrabbildung sind stetig, daher liegt eine Bijektion der messbaren Teilmengen von und von vor. Wir betrachten die beiden Zuordnungen

also das Maß auf mit der Dichte , und

also das Bildmaß von unter der Umkehrabbildung , und müssen zeigen, dass diese beiden Maße gleich sind.
Nach Korollar 74.1 gilt die Gleichheit für alle kompakten achsenparallelen Quader. Aufgrund von Aufgabe 69.3 bzw. Korollar 73.6 gilt die Gleichheit auch für alle offenen bzw. „nach oben halboffenen“ achsenparallelen Quader, also Produkte von nach oben halboffenen Intervallen. Die Menge der endlichen disjunkten Vereinigungen von diesen zuletzt genannten Quadern bilden einen Mengen-Präring im . Diese Menge ist auch ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für das System der Borelmengen. Daher müssen nach Satz 63.7 die beiden Maße generell übereinstimmen.


Wir kommen zur Transformationsformel für Integrale.



Satz  

Es seien und offene Mengen im und es sei

ein -Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante

für . Es sei

eine messbare Funktion.

Dann ist auf genau dann integrierbar, wenn die Hintereinanderschaltung auf integrierbar ist. In diesem Fall gilt

Beweis  

Die Zuordnung für messbare Mengen ist ein Maß auf und zwar handelt es sich um das Bildmaß von unter der Umkehrabbildung

Nach Satz 74.2 besitzt dieses Maß die Dichte . Daher gilt nach Aufgabe 73.19 und der allgemeinen Transformationsformel




Beispiele zur Transformationsformel

Wenn bei einem Diffeomorphismus der Betrag der Jacobi-Determinante überall ist, so ist er maßtreu. Es ist einfach, maßtreue, nichtlineare Abbildungen zu konstruieren.


Beispiel  

Es sei ein beliebiges Polynom in der einen Variablen . Dann ist die Abbildung

ein flächentreuer Diffeomorphismus. Die Jacobi-Matrix von ist ja

so dass die Jacobi-Determinante konstant gleich ist. Wenn man die Rollen von und vertauscht und die Hintereinanderschaltung von solchen Abbildungen betrachtet, so erhält man flächentreue Abbildungen, denen man es nicht auf den ersten Blick ansieht. Beispielsweise ist zu und die Hintereinanderschaltung




Korollar  

Es sei

die Polarkoordinatenauswertung und es seien und offene Mengen, auf denen einen Diffeomorphismus induziert. Es sei

eine integrierbare Funktion.

Dann ist

Dies gilt auch dann, wenn außerhalb von Nullmengen ein Diffeomorphismus vorliegt. Insbesondere gilt bei stetigem die Formel

Beweis  

Dies folgt wegen

direkt aus Satz 74.3.




Lemma  

Es ist

Beweis  

Durch eine einfache Substitution ist die Aussage äquivalent zu

Nennen wir dieses Integral . Nach Korollar 73.2 ist

Durch Einführung von Polarkoordinaten und ist dieses Integral nach Korollar 74.5 und nach einer erneuten Anwendung von Korollar 73.2 gleich

Damit ist auch .


Hesounů rybník.JPG

Beispiel  

Es soll eine Straße in der Ebene der Breite asphaltiert werden. Dabei wird die Straße durch den Verlauf des Mittelstreifen vorgegeben, der durch die Kurve

bestimmt ist. Dabei sei zweimal stetig differenzierbar und bogenparametrisiert, d.h. es sei , was bedeutet, dass die Mittelstreifenkurve mit normierter Geschwindigkeit durchlaufen wird. Die Breite ist dabei senkrecht zum Mittelstreifen zu messen. Die zu asphaltierende Trasse wird dann durch die Abbildung

parametrisiert. Wir nehmen an, dass diese Parametrisierung injektiv ist, was erfüllt ist, wenn die Mittelstreifenabbildung injektiv ist und die Straße nicht zu breit werden soll.

Die Jacobi-Matrix der Parametrisierung ist

Die Determinante davon ist

Daher ist die Asphaltfläche nach der Transformationsformel gleich

Wenn wir weiter annehmen, dass

ist (was bedeutet, dass die Straßenbreite nicht allzu groß ist), so ist dieses Integral nach Korollar 73.2 geich

Dies bedeutet, dass die Asphaltfläche gleich der Mittelstreifenlänge mal der Straßenbreite ist.



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