Kurs:Analysis 3/11/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	2	3	0	10	0	4	0	0	0	6	8	0	0	39

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Mengenpräring auf einer Menge ${}M$.
2. Eine Ausschöpfung einer Menge ${}M$.
3. Das Lebesgue-Integral zu einer messbaren nichtnegativen Funktion ${}f\colon M\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ auf einem ${}\sigma$- endlichen Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
4. Die Übergangsabbildung zu Karten einer topologischen Mannigfaltigkeit.
5. Die Kotangentialabbildung im Punkt ${}P\in M$ zu einer differenzierbaren Abbildung ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$.
6. Eine riemannsche Mannigfaltigkeit.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Fortsetzung eines äußeren Maßes.
2. Der Satz von der monotonen Konvergenz.
3. /Fakt/Name

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass stetige Abbildungen Borel-messbar sind.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Volumen des von den Vektoren

${\begin{pmatrix}2\\0\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\-1\\2\\0\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}-1\\0\\2\\1\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{4}$ erzeugten Parallelotops (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Satz über die Fortsetzung eines äußeren Maßes.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Menge und es sei ${}T_{n}\uparrow M$ eine Ausschöpfung von ${}M$ mit Teilmengen ${}T_{n}\subseteq M$, ${}n\in \mathbb {N}$. Zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ sei ${}A_{n}\subseteq M\times \mathbb {R}$ der Subgraph zur Indikatorfunktion ${}e_{T_{n}}$. Zeige, dass die ${}A_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Ausschöpfung von ${}M\times [0,1]$ bilden.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 (1+2+2+1) Punkte)

Wir betrachten die Differentialform

${}\omega =ydx+zdy+xdz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$ und die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,\left(u,\,v\right)\longmapsto \left(u^{2},\,v^{2},\,uv\right).$

1. Berechne die äußere Ableitung von ${}\omega$.
2. Berechne den Rückzug ${}\varphi ^{*}\omega$ von ${}\omega$ unter ${}\varphi$.
3. Berechne die äußere Ableitung von ${}\varphi ^{*}\omega$ auf ${}\mathbb {R} ^{2}$.
4. Berechne den Rückzug ${}\varphi ^{*}d\omega$ von ${}d\omega$ unter ${}\varphi$ unabhängig von (3).

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz von Green für ein Dreieck ${}D$ mit den Eckpunkten ${}P_{1},P_{2},P_{3}\in \mathbb {R} ^{2}$ und für die Differentialform ${}xdy$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)