Kurs:Analysis 3/13/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	$\sum$
Punkte	3	4	0	0	5	8	0	0	0	0	3	0	0	0	0	0	23

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Ein Dynkin-System auf einer Menge $M$ .
Ein Maßraum.
Eine offene Untermannigfaltigkeit $U \subseteq M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ .
Das Kotangentialbündel (einschließlich der Topologie) einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ .
Eine exakte Differentialform $ω$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ .
Der Rand einer Mannigfaltigkeit mit Rand.

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Der Eindeutigkeitssatz für Maße.
Die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion
$f : M ⟶ ℝ_{\geq 0}$
auf einem $σ$ -endlichen Maßraum $(M, 𝒜, μ)$ .
Die Formel für das Volumen des Rotationskörpers (zum Subgraphen) zu einer stetigen Funktion $f : [a, b] \to ℝ_{\geq 0}$ .
Der Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten das von den beiden Vektoren $(\begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix})$ erzeugte Parallelogramm $P$ . Man gebe ein explizites achsenparalleles Quadrat (mit positivem Flächeninhalt) an, dass ganz in $P$ liegt.

Aufgabe * (8 (3+5) Punkte)

Auf einer kreisförmigen Platte $P$ mit Radius $1$ und Mittelpunkt $(0, 0)$ sei durch

f (x, y) = x^{2} y + 1

eine Massenverteilung gegeben.

a) Bestimme die Gesamtmasse von $P$ .

b) Bestimme den Schwerpunkt von $P$ .

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

a) Schreibe die komplexe Abbildung

f : ℂ ⟶ ℂ, z ⟼ z^{3},

in reellen Koordinaten (mithilfe der Identifizierung $ℂ = ℝ + ℝ i ≅ ℝ^{2}$ ).

b) Zeige, dass die beiden Komponentenfunktionen aus Teil a) (also der Realteil und der Imaginärteil von $f$ ) harmonische Funktionen sind.

Aufgabe (0 Punkte)