Kurs:Analysis 3/13/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	4	0	0	5	8	0	0	0	0	3	0	0	0	0	0	23

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Dynkin-System auf einer Menge ${}M$.
2. Ein Maßraum.
5. Eine exakte Differentialform ${}\omega$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
6. Der Rand einer Mannigfaltigkeit mit Rand.

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Eindeutigkeitssatz für Maße.
2. Die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion

   $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

   auf einem ${}\sigma$-endlichen Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
3. Die Formel für das Volumen des Rotationskörpers (zum Subgraphen) zu einer stetigen Funktion ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$.
4. Der Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten das von den beiden Vektoren ${}{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}$ erzeugte Parallelogramm ${}P$. Man gebe ein explizites achsenparalleles Quadrat (mit positivem Flächeninhalt) an, dass ganz in ${}P$ liegt.

Aufgabe * (8 (3+5) Punkte)

Auf einer kreisförmigen Platte ${}P$ mit Radius ${}1$ und Mittelpunkt ${}(0,0)$ sei durch

${}f(x,y)=x^{2}y+1\,$

eine Massenverteilung gegeben.

a) Bestimme die Gesamtmasse von ${}P$.

b) Bestimme den Schwerpunkt von ${}P$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

a) Schreibe die komplexe Abbildung

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3},$

in reellen Koordinaten (mit Hilfe der Identifizierung ${\mathbb {C} }=\mathbb {R} +\mathbb {R} {\mathrm {i} }\cong \mathbb {R} ^{2}$).

b) Zeige, dass die beiden Komponentenfunktionen aus Teil a) (also der Realteil und der Imaginärteil von ${}f$) harmonische Funktionen sind.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)