Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	10	5	5	5	2	4	4	4	3	4	4	5	4	65

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine topologische Gruppe.
2. Die Zariski-Topologie auf dem Spektrum eines kommutativen Ringes ${}R$.
3. Der projektive Raum (schematheoretische Definition).
4. Eine lokal freie Garbe.
5. Eine elliptische Kurve.
6. Der Grad eines Weildivisors auf einer Kurve.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Charakterisierungssatz für lokal freie Garben im affinen Fall.
2. Der Satz über die Determinantengarbe.
3. Der Satz von Riemann-Roch für invertierbare Garben auf Kurven.

Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.

Aufgabe (5 Punkte)

Interpretiere die lineare Gleichung ${}rx+sy+tz=0$ als reelles Vektorbündel, als Garbe, als algebraisches Vektorbündel, als Modul, etc.

Aufgabe (5 Punkte)

Sagen Sie etwas Schlaues zum Thema Möbiusband.

Aufgabe (5 Punkte)

Man erläutere das Konzept Verklebungsdatum für topologische Räume, Vektorbündel, Garben.

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne das Kroneckerprodukt der beiden Matrizen ${}{\begin{pmatrix}3&-4\\5&-2\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}-2&7\\6&3\end{pmatrix}}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen. Zeige, dass es dazu eine Prägarbe der Schnitte auf ${}X$ gibt und dass es sich dabei um eine Garbe handelt.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Prägarbe, die keine Garbe ist. Wie sieht die Vergarbung aus?

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen surjektiven Homomorphismus zwischen Garben von kommutativen Gruppen, dessen globale Auswertung nicht surjektiv ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe eine explizite Basis für ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(3)\right)}$ über einem Körper ${}K$ an und man bestimme die Dimension davon.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Hauptdivisor zu ${}f={\frac {t}{t^{2}+1}}$ auf der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y]\right)}$ mit ${}t={\frac {Y}{X}}$ für die Körper ${}K=\mathbb {R}$ und ${}K={\mathbb {C} }$.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass es in einer abelschen Kategorie mit genügend Injektiven stets eine injektive Auflösung gibt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und ${}I=U\cup V$ eine Überdeckung mit (in ${}I$) offenen Intervallen. Zeige, dass man eine stetige Funktion

$f\colon U\cap V\longrightarrow \mathbb {R}$

als

${}f=g{|}_{U\cap V}-h{|}_{U\cap V}\,$

mit stetigen Funktionen ${}g\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ und ${}g\colon V\rightarrow \mathbb {R}$ schreiben kann.

Aufgabe (4 Punkte)

Führe eine Berechnung einer ersten Čech-Kohomologie durch, bei der das Ergebnis nicht ${}0$ ist.