Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 12/latex
\setcounter{section}{12}
\zwischenueberschrift{Das projektive Spektrum eines graduierten Ringes}
Das projektive Spektrum wird üblicherweise für
$\N$-\definitionsverweis {graduierte Ringe}{}{}
eingeführt. Da man aber in der Konstruktion Nenneraufnahmen an homogenen Elementen betrachtet, wobei auch negative Grade auftreten, ist es sinnvoller, von Anfang an mit $\Z$-Graduierungen zu arbeiten.
\inputdefinition
{}
{
Zu einem $\Z$-\definitionsverweis {graduierten Ring}{}{} nennt man das von allen homogenen Elementen von einem Grad $\neq 0$ \definitionsverweis {erzeugte Ideal}{}{} das \definitionswort {irrelevante Ideal}{.} Es wird mit $R_+$ bezeichnet.
}
Im positiv-graduierten Fall ist dies einfach das Ideal
\mathl{\bigoplus_{n \geq 1 } R_n}{.} Bei negativen Graden kann es auch das Einheitsideal sein.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter}{}{}
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Dann nennt man die Menge der
\definitionsverweis {homogenen Primideale}{}{}
von $R$, die nicht $R_+$ umfassen, das
\definitionswort {projektive Spektrum}{}
von $R$. Es wird mit
\mathl{\operatorname{Proj} { \left( R \right) }}{} bezeichnet.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter}{}{}
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Dann nennt man die Menge der
\definitionsverweis {homogenen Primideale}{}{}
von $R$, die nicht $R_+$ umfassen, zusammen mit der Topologie, bei der die Teilmengen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D_+ { \left( {\mathfrak a} \right) }
}
{ =} { { \left\{ {\mathfrak p} \in \operatorname{Proj} { \left( R \right) } \mid {\mathfrak a} \not\subseteq {\mathfrak p} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als offen erklärt werden, das
\definitionswort {projektive Spektrum}{}
von $R$.
}
Es handelt sich in der Tat um eine Topologie. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D_+( {\mathfrak a})
}
{ =} { \bigcup_{f \in {\mathfrak a} \text{ homogen} } D_+(f)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D_+(f)
}
{ =} { { \left\{ {\mathfrak p} \in \operatorname{Proj} { \left( R \right) } \mid f \notin {\mathfrak p} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese
\mathl{D_+(f)}{} bilden eine Basis der Topologie.
\inputdefinition
{}
{
Das
\definitionsverweis {projektive Spektrum}{}{}
des
\definitionsverweis {Polynomrings}{}{}
\mathl{R [X_0,X_1 , \ldots , X_n]}{} nennt man den
\definitionswort {projektiven Raum}{}
der Dimension $n$ über $R$.
}
Zu einem $\Z$-graduierten Ring $S$ bezeichnet man den Ring der nullten Stufe mit $S_0$. Wenn $R$ $\N$-graduiert ist, so ist $R_0$ häufig ein einfacher Ring, beispielsweise ein Körper, aber wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein homogenes Element mit einem positiven Grad ist, so ist die Nenneraufnahme $R_f$ in natürlicher Weise $\Z$-graduiert und ${ \left( R_f \right) }_0$ kann beliebig kompliziert sein.
Zu einem homogenen Primideal ${\mathfrak p}$ ist
\mathl{R \setminus {\mathfrak p}}{} ein multiplikatives System und entsprechend ist der Durchschnitt von $R \setminus {\mathfrak p}$ mit der Menge aller homogenen Elemente ein multiplikatives System. Der Ring der nullten Stufe zu dieser Nenneraufnahme spielt eine besondere Rolle, er wird mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_{ ( {\mathfrak p} )}
}
{ =} { ( R_{ (R \setminus {\mathfrak p}) \cap \{ \text{homogene Elemente} \} })_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bezeichnet.
\inputfaktbeweis
{Graduierter Ring/Homogenes Primideal/Lokalisierung/Nullte Stufe/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Zu einem
\definitionsverweis {homogenen}{}{}
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
${\mathfrak p}$ in einem
$\N$-\definitionsverweis {graduierten Ring}{}{}
$R$}
\faktfolgerung {ist
\mathl{R_{ ( {\mathfrak p} )}}{} ein
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r,s
}
{ \in }{ R_{({\mathfrak p})}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Nichteinheiten. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{ { \frac{ a }{ f } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{ { \frac{ b }{ g } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit homogenen Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g
}
{ \notin }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und homogenen Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die jeweils den gleichen Grad wie ihre Nenner haben. Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da andernfalls eine Einheit vorliegen würde. Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ag+bf
}
{ \in }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ f } } + { \frac{ b }{ g } }
}
{ =} { { \frac{ ag+bf }{ fg } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ebenfalls eine Nichteinheit in $R_{( {\mathfrak p} )}$.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{ \operatorname{Proj} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das mit der Zariski-Topologie versehene
\definitionsverweis {projektive Spektrum}{}{}
von $R$. Unter der
\definitionswort {Strukturgarbe}{}
auf $Y$ versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den kommutativen Ring
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \Gamma (U, {\mathcal O}_Y )
}
{ =} { { \left\{ { \left( s_{\mathfrak p} \right) }_{ {\mathfrak p} \in U} \in \prod_{ {\mathfrak p} \in U } R_{ ( {\mathfrak p}) } \mid \text{ für alle } {\mathfrak p} \in U \text{ gibt es homogene Elemente } a,b \in R \text{ mit } {\mathfrak p} \in D_+(b) \subseteq U \text{ und } s_{\mathfrak q} = { \frac{ a }{ b } } \text{ in } R_{ ( {\mathfrak q})} \text{ für alle } {\mathfrak q} \in D_+(b) \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und jeder Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die natürliche Projektion zuordnet.
}
Diese Definition beinhaltet insbesondere, dass in jeder Darstellung die Differenz
\mathl{\operatorname{Grad} \, (a) - \operatorname{Grad} \, (b)}{} gleich $0$ ist. Man kann dies als Vergarbung der durch
\mathdisp {D_+( {\mathfrak a} ) \mapsto \operatorname{colim}_{ D_+( {\mathfrak a} ) \subseteq D_+(f) }\, (R_f)_0} { }
definierten Prägarbe auffassen, wodurch klar wird, dass eine Garbe aus kommutativen Ringen vorliegt.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter Ring}{}{.}
Unter dem
\definitionswort {projektiven Spektrum}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{ \operatorname{Proj} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
versteht man das mit der Zariski-Topologie und der Strukturgarbe versehene
\definitionsverweis {projektive Spektrum}{}{}
von $R$.
}
\inputfaktbeweis
{Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Homogene Einheit/Homöomorphie/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter Ring}{}{,}
der zumindest eine homogene Einheit positiven Grades besitze.}
\faktfolgerung {Dann ist die Abbildung
\maabbeledisp {} { \operatorname{Proj} { \left( R \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( R_0 \right) }
} { {\mathfrak p} } { {\mathfrak p} \cap R_0
} {,}
eine Bijektion, die bezüglich der Zariski-Topologien eine
\definitionsverweis {Homöomorphie}{}{}
und bezüglich der Strukturgarben ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
ist. Ferner ist dabei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_{ ( {\mathfrak p} )}
}
{ =} { { \left( R_0 \right) }_{ {\mathfrak p} \cap R_0 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zunächst ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}_0
}
{ \defeq }{ {\mathfrak p} \cap R_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Primideal und die Abbildung ist wohldefiniert. Es sei $g$ eine Einheit positiven Grades. Wir behaupten, dass sich ${\mathfrak p}$ aus ${\mathfrak p}_0$ rekonstruieren lässt, und zwar sind die homogenen Elemente von ${\mathfrak p}$, die ja das Ideal festlegen, gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} \cap H
}
{ =} { { \left\{ h \text{ homogen} \mid \text{ es gibt } i\in \Z,j\in \N_+ \text{ mit } g^i h^j \in {\mathfrak p}_0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei ist die Inklusion $\subseteq$ klar, da man
\mathkor {} {i} {und} {j} {}
so wählen kann, dass der Grad von
\mathl{g^i h^j}{} gleich $0$ wird. Wenn umgekehrt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g^i h^j
}
{ \in }{ {\mathfrak p}_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so ist zunächst
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h^j
}
{ \in }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und wegen der Primeigenschaft dann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h
}
{ \in }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit ist die Abbildung injektiv. Zum Nachweis der Surjektivität sei ${\mathfrak q}$ ein Primideal aus $R_0$ und wir betrachten das von
\mathdisp {{ \left\{ h \text{ homogen} \mid \text{ es gibt } i\in \Z,j\in \N_+ \text{ mit } g^i h^j \in {\mathfrak q} \right\} }} { }
erzeugte Ideal. Dieses enthält keine Einheit und somit auch nicht ganz $R_+$, da es nicht $g$ enthält, da ${\mathfrak q}$ nicht die $1$ enthält. Wenn
\mathl{h_1h_2}{} zu dieser Menge gehört, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g^i h_1^j h_2^j
}
{ \in }{ {\mathfrak q}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für gewisse $i,j$ und für eine gewisse Potenz davon können wir dies als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( g^i h_1^j h_2^j \right) }^n
}
{ =} { { \left( g^ah_1^b \right) } { \left( g^c h_2^d \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
derart schreiben, dass beide Faktoren den Grad $0$ haben. Dann muss ein Faktor zu ${\mathfrak q}$ gehören und somit
\mathkor {} {h_1} {oder} {h_2} {}
zu der angegebenen Menge.
Zum Nachweis der Homöomorphie beachte man, dass die Mengen
\mathkor {} {D_+(f)} {bzw.} {D(f)} {}
zu homogenen Elementen
\zusatzklammer {vom Grad $0$} {} {}
jeweils eine
\definitionsverweis {Basis der Topologie}{}{}
bilden, dass das Urbild von $D(f)$ gleich
\mathl{D_+(f)}{} ist und dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D_+(f)
}
{ = }{ D_+(fg^j)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
\inputfaktbeweis
{Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Hauptmenge/Schema/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Zu einem
$\Z$-\definitionsverweis {graduierten Ring}{}{}
$R$ und einem
\definitionsverweis {homogenen Element}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von einem Grad $\neq 0$ ist}
\faktfolgerung {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D_+(f)
}
{ \cong} { \operatorname{Spek} { \left( { \left( R_f \right) }_0 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als
\definitionsverweis {beringte Räume}{}{.}
Insbesondere ist das
\definitionsverweis {projektive Spektrum}{}{}
\mathl{\operatorname{Proj} { \left( R \right) }}{} ein
\definitionsverweis {Schema}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus
Lemma 12.8,
angewendet auf $R_f$, unter Berücksichtigung, dass die homogenen Primideale von $D_+(f)$ den homogenen Primidealen von $R_f$ entsprechen. Die Schemaeigenschaft folgt, da die
\mathl{D_+(f)}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das projektive Spektrum überdecken.
\inputbeispiel{}
{
Das
\definitionsverweis {projektive Spektrum}{}{}
zum standard-graduierten Polynomring
\mathl{R[X_0,X_1 , \ldots , X_n ]}{,} also der projektive Raum, wird durch die
\mathl{D_+ { \left( X_i \right) }}{} überdeckt. Man spricht von der \stichwort {affinen Standardüberdeckung des projekiven Raumes} {.} Dabei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma { \left( D_+(X_i), {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{R} } \right) }
}
{ =} { { \left( R[X_0,X_1 , \ldots , X_n ]_{X_i} \right) }_0
}
{ =} { R [ { \frac{ X_0 }{ X_i } } , { \frac{ X_1 }{ X_i } } , \ldots , { \frac{ X_{i-1} }{ X_i } } , { \frac{ X_{i+1} }{ X_i } } , \ldots , { \frac{ X_n }{ X_i } } ]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Polynomring in $n$ Variablen und daher ist
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{Y_j
}
{ = }{ { \frac{ X_j }{ X_i } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{j
}
{ \neq }{i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D_+ { \left( X_i \right) }
}
{ =} { \operatorname{Spek} { \left( R[Y_0,Y_1, \ldots , Y_{i-1} , Y_{i+1} , \ldots , Y_n ] \right) }
}
{ =} { { {\mathbb A}_{ R }^{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der projektive $n$-dimensionale Raum wird also durch $n+1$ affine Räume überdeckt.
}
\inputfaktbeweis
{Graduierter Ring/Z/Homogener Ringhomomorphismus/Morphismus/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {A} {und} {B} {}
$\Z$-\definitionsverweis {graduierte Ringe}{}{}
über einem kommutativen Ring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{A_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabb {\theta} { A} {B
} {}
ein
\definitionsverweis {homogener Ringhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen natürlichen
\definitionsverweis {Schemamorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {D_+( \theta(A_+)B) } { \operatorname{Proj} { \left( A \right) }
} { {\mathfrak p} } { \theta^{-1}( {\mathfrak p} )
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Das Urbild eines Primideals unter einem Ringhomomorphismus ist wieder ein Primideal und das Urbild eines homogenen Ideals ist wieder ein homogenes Ideal. Für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \in} { D_+ ( \theta(A_+)B)
}
{ =} { \operatorname{Proj} { \left( B \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt es ein homogenes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{A_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\theta(f)
}
{ \notin }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A_+
}
{ \not \subseteq }{ \theta^{-1} ( {\mathfrak p} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \theta^{-1} ( {\mathfrak p} )
}
{ \in }{ \operatorname{Proj} { \left( A \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es gibt also eine Abbildung
\maabbdisp {\varphi} { D_+ ( \theta(A_+)B) } { \operatorname{Proj} { \left( A \right) }
} {.}
Für ein homogenes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{A_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dabei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1} (D_+(f))
}
{ = }{D_+( \theta(f))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da dies auch für die Spektrumsabbildung gilt. Daher ist die Abbildung stetig. Nach
Korollar 10.10
ist die Spektrumsabbildung in eindeutiger Weise ein Morphismus von Schemata. Auf jedem $D(f)$ ist dieser durch den Ringhomomorphismus
\maabbdisp {\theta_f} {A_f} {B_{\theta(f)}
} {}
gegeben. Bei $f$ homogen ist dieser Ringhomomorphismus wieder homogen und induziert insbesondere einen Ringhomomorphismus
\maabbdisp {{ \left( \theta_f \right) }_0} { { \left( A_f \right) }_0} { { \left( B_{\theta(f)} \right) }_0
} {}
in der nullten Stufe. Da dies nach
Lemma 12.9
die Schnittringe zu
\mathkor {} {D_+(f)} {bzw.} {D_+(\theta(f))} {}
sind, und da diese Ringhomomorphismen mit den Restriktionen verträglich sind, und da das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} D_+(\theta(f)) & \stackrel{ \varphi = \theta^{-1} }{\longrightarrow} & D_+(f) & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ \operatorname{Spec} { \left( (B_{\theta(f)})_0 \right) } & \stackrel{ (\theta_f)_0^{-1} }{\longrightarrow} & \operatorname{Spec} { \left( (A_f)_0 \right) } & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutiert, handelt es sich um einen Morphismus lokal beringter Räume.
\inputbeispiel{}
{
Die Unterringbeziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ \subseteq} {K[X_0, X_1 , \ldots , X_n]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
führt im Sinne von
Satz 12.11
zu einem
\definitionsverweis {Schemamorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { {\mathbb P}^{n}_{K} \supset D_+(X_1 , \ldots , X_n)} { {\mathbb P}^{n-1}_{K}
} {.}
Einem $K$-Punkt mit den homogenen Koordinaten
\mathl{(x_0,x_1 , \ldots , x_n)}{} wird der Punkt
\mathl{(x_1 , \ldots , x_n)}{} zugeordet, und diese Abbildung ist nur auf der angegebenen offenen Teilmenge definiert, es gibt keine sinnvolle Fortsetzung auf den Punkt
\mathl{(1,0 , \ldots , 0 )}{.} Man spricht von der \stichwort {Projektion weg von einem Punkt} {.} In den affinen Räumen
\mathkor {} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } }} {bzw.} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }} {}
interpretiert bedeutet die Abbildung, dass eine jede Gerade auf eine Hyperebene projiziert wird. Für die Gerade, die \anfuehrung{senkrecht}{} auf der Hyperebene steht, ist dies nicht wohldefiniert, da die Projektion keine Gerade liefert.
}
Die folgende Definition werden wir insbesondere über einem Körper verwenden.
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {Schema}{}{}
\mathl{{ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }}{} über einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ heißt
\definitionswort {projektiv}{,}
wenn es eine Faktorisierung
\mathdisp {X \stackrel{i}{\longrightarrow} {\mathbb P}^{n}_{R} \longrightarrow \operatorname{Spek} { \left( R \right) }} { }
gibt, bei der $i$ eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Einbettung}{}{}
ist.
}
\inputfaktbeweis
{Standard-graduierter Ring/Projektives Spektrum/Projektives Schema/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Zu einem
\definitionsverweis {standard-graduierten Ring}{}{}
$A$}
\faktfolgerung {ist das
\definitionsverweis {projektive Spektrum}{}{}
$\operatorname{Proj} { \left( A \right) }$ ein
\definitionsverweis {projektives Schema}{}{}
über $\operatorname{Spec} { \left( A_0 \right) }$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} {A_0 [X_0,X_1 , \ldots , X_n]/ {\mathfrak a}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {homogenen Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ A_0 [X_0,X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zur Restklassenabbildung
\maabbdisp {\theta} {A_0 [X_0,X_1 , \ldots , X_n] } { A
} {}
gehört nach
Satz 12.11
der
\definitionsverweis {Schemamorphismus}{}{}
\maabbdisp {i} {\operatorname{Proj} { \left( A \right) }} { {\mathbb P}^{n}_{A_0}
} {.}
So wie die
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{}
\maabbeledisp {} { \operatorname{Spek} { \left( A \right) } } { V( {\mathfrak a} ) \subseteq { {\mathbb A}_{ A_0 }^{ n+1 } }
} { {\mathfrak p} } { \theta^{-1}({\mathfrak p})
} {,}
eine Homöomorphie ist, ist auch die vorliegende projektive Variante eine Homöomorphie auf
\mathl{V_+( {\mathfrak a} )}{.} D.h. insbesondere, dass
\mathl{\operatorname{Proj} { \left( A \right) }}{} in natürlicher Weise einer abgeschlossenen Teilmenge des projektiven Raumes über $A_0$ entspricht. Wir müssen noch zeigen, dass der Garbenhomomorphismus
\maabbdisp {} { {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{A_0} } } { i_* {\mathcal O}_{ \operatorname{Proj} { \left( A \right) } }
} {}
surjektiv ist. Auf
\mathl{D_+(f)}{} zu einem homogenen Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{A_0[X_0,X_1 , \ldots , X_n ]_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dies aber die Abbildung
\maabbdisp {} { { \left( A_0[X_0,X_1 , \ldots , X_n ]_{f} \right) }_0} { { \left( A_f \right) }_0
} {,}
und diese ist surjektiv.
In der vorstehenden Aussage sind die Ringhomomorhismen nur auf den Mengen der Form
\mathl{D_+(f)}{} surjektiv, nicht auf allen offenen Mengen. Da diese aber eine Basis der Topologie bilden, liegt auch die Surjektivität in den Halmen vor. Daher handelt es sich einen surjektiven Garbenhomomorphismus.
\inputdefinition
{}
{
Zu einem
\definitionsverweis {homogenen Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X_0,X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+(F)
}
{ =} { \operatorname{Proj} { \left( K[X_0,X_1 , \ldots , X_n]/(F) \right) }
}
{ \subset} { {\mathbb P}^{n}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionswort {projektive Hyperfläche}{}
zu $F$.
}
\inputdefinition
{}
{
Zu einer
\definitionsverweis {projektiven Hyperfläche}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+(F)
}
{ =} { \operatorname{Proj} { \left( K[X_0,X_1 , \ldots , X_n]/(F) \right) }
}
{ \subset} { {\mathbb P}^{n}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu einem
\definitionsverweis {homogenen Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X_0,X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
von $F$ auch den
\definitionswort {Grad der Hyperfläche}{.}
}
Eine Hyperfläche vom Grad $1$ nennt man \stichwort {Hyperebene} {,} das sind projektiv-lineare Unterräume der Kodimension $1$.
\inputfaktbeweis
{Standard-graduierter Ring/Proj/Affine Beschreibung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ K[X_0,X_1 , \ldots , X_d]/ { \left( f_1 , \ldots , f_s \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {standard-graduierter Ring}{}{}
mit homogenen Erzeugern $f_j$ vom Grad $d_j$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( R_{X_i} \right) }_0
}
{ = }{ K[ { \frac{ X_0 }{ X_i } } , \ldots , { \frac{ X_{i-1} }{ X_i } } , { \frac{ X_{i+1} }{ X_i } } , \ldots , { \frac{ X_{d} }{ X_i } } ]/ { \left( { \frac{ f_1 }{ X_i^{d_1} } } , \ldots , { \frac{ f_s }{ X_i^{d_s} } } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Dieser Restklassenring wird durch die
\definitionsverweis {Dehomogenisierungen}{}{}
der $f_\ell$ bezüglich der Variablen $X_i$ beschrieben.}
\faktzusatz {}
}
{
Es ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ R_{X_i}
}
{ =} { K[ X_0 , \ldots , X_d ,X_i^{-1} ]/ { \left( f_1 , \ldots , f_s \right) }
}
{ =} { K[ { \frac{ X_0 }{ X_i } } , \ldots , { \frac{ X_{i-1} }{ X_i } } , { \frac{ X_{i+1} }{ X_i } } , \ldots , { \frac{ X_{d} }{ X_i } }, X_i,X_i^{-1} ]/ { \left( { \frac{ f_1 }{ X_i^{d_1} } } , \ldots , { \frac{ f_s }{ X_i^{d_s} } } \right) }
}
{ =} { { \left( K[ { \frac{ X_0 }{ X_i } } , \ldots , { \frac{ X_{i-1} }{ X_i } } , { \frac{ X_{i+1} }{ X_i } } , \ldots , { \frac{ X_{d} }{ X_i } } ]/ { \left( { \frac{ f_1 }{ X_i^{d_1} } } , \ldots , { \frac{ f_s }{ X_i^{d_s} } } \right) } \right) } [ X_i,X_i^{-1} ]
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
In dieser letzten Beschreibung ist klar, was der Ring in Grad $0$ ist.
Wenn man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y_k
}
{ = }{ { \frac{ X_k }{ X_i } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{Y_i
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
schreibt, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ f_\ell }{ X_i^{d_\ell} } }
}
{ =} { { \frac{ \sum_\nu a_\nu X^\nu }{ X_i^{d_\ell} } }
}
{ =} { \sum_\nu a_\nu Y^\nu
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und dies ist die Dehomogenisierung von $f_\ell$ bezüglich der Variablen $X_i$.