Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 12

Das projektive Spektrum eines graduierten Ringes

Das projektive Spektrum wird üblicherweise für $\mathbb{N}$-graduierte Ringe eingeführt. Da man aber in der Konstruktion Nenneraufnahmen an homogenen Elementen betrachtet, wobei auch negative Grade auftreten, ist es sinnvoller, von Anfang an mit $\mathbb{Z}$-Graduierungen zu arbeiten.

Definition

Zu einem $\mathbb{Z}$-graduierten Ring nennt man das von allen homogenen Elementen von einem Grad $\ne 0$ erzeugte Ideal das irrelevante Ideal. Es wird mit $R_{+}$ bezeichnet.

Im positiv-graduierten Fall ist dies einfach das Ideal $\underset{n\ge 1}{⨁}{R}_n$. Bei negativen Graden kann es auch das Einheitsideal sein.

Definition

Es sei $R$ ein $\mathbb{Z}$-graduierter kommutativer Ring. Dann nennt man die Menge der homogenen Primideale von $R$, die nicht $R_{+}$ umfassen, das projektive Spektrum von $R$. Es wird mit $\mathrm{Proj}\left(R\right)$ bezeichnet.

Definition

Es sei $R$ ein $\mathbb{Z}$-graduierter kommutativer Ring. Dann nennt man die Menge der homogenen Primideale von $R$, die nicht $R_{+}$ umfassen, zusammen mit der Topologie, bei der die Teilmengen

$D_{+}\left(𝔞\right)=\{𝔭\in \mathrm{Proj}\left(R\right)\mid 𝔞\subseteq ̸𝔭\}$

als offen erklärt werden, das projektive Spektrum von $R$.

Es handelt sich in der Tat um eine Topologie. Es ist

$D_{+}(𝔞)=\bigcup _{f\in 𝔞\text{ homogen}}{D}_{+}(f)$

mit

$D_{+}(f)=\{𝔭\in \mathrm{Proj}\left(R\right)\mid f\notin 𝔭\}.$

Diese $D_{+}(f)$ bilden eine Basis der Topologie.

Definition

Das projektive Spektrum des Polynomrings $R[X_0,X_1,\dots ,X_n]$ nennt man den projektiven Raum der Dimension $n$ über $R$.

Zu einem $\mathbb{Z}$-graduierten Ring $S$ bezeichnet man den Ring der nullten Stufe mit $S_0$. Wenn $R$ $\mathbb{N}$-graduiert ist, so ist $R_0$ häufig ein einfacher Ring, beispielsweise ein Körper, aber wenn  $f\in R$  ein homogenes Element mit einem positiven Grad ist, so ist die Nenneraufnahme $R_f$ in natürlicher Weise $\mathbb{Z}$-graduiert und ${\left(R_f\right)}_0$ kann beliebig kompliziert sein.

Zu einem homogenen Primideal $𝔭$ ist $R\setminus 𝔭$ ein multiplikatives System und entsprechend ist der Durchschnitt von $R\setminus 𝔭$ mit der Menge aller homogenen Elemente ein multiplikatives System. Der Ring der nullten Stufe zu dieser Nenneraufnahme spielt eine besondere Rolle, er wird mit

$R_{(𝔭)}=(R_{(R\setminus 𝔭)\cap \{\text{homogene Elemente}\}}{)}_0$

bezeichnet.

Lemma

Zu einem homogenen Primideal $𝔭$ in einem $\mathbb{N}$-graduierten Ring $R$

ist $R_{(𝔭)}$ ein lokaler Ring.

Beweis

Seien  $r,s\in R_{(𝔭)}$  Nichteinheiten. Dann ist  $r=\frac{a}{f}$  und  $s=\frac{b}{g}$  mit homogenen Elementen  $f,g\notin 𝔭$  und homogenen Elementen  $a,b\in R$,  die jeweils den gleichen Grad wie ihre Nenner haben. Dabei ist  $a,b\in 𝔭$,  da andernfalls eine Einheit vorliegen würde. Daher ist  $ag+bf\in 𝔭$  und somit ist

$\frac{a}{f}+\frac{b}{g}=\frac{ag+bf}{fg}$

ebenfalls eine Nichteinheit in $R_{(𝔭)}$.

$◻$

Definition

Es sei $R$ ein $\mathbb{Z}$-graduierter Ring und  $Y=\mathrm{Proj}\left(R\right)$  das mit der Zariski-Topologie versehene projektive Spektrum von $R$. Unter der Strukturgarbe auf $Y$ versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge  $U\subseteq Y$  den kommutativen Ring

$\Gamma (U,{𝒪}_Y)=\{{\left(s_{𝔭}\right)}_{𝔭\in U}\in \prod _{𝔭\in U}{R}_{(𝔭)}\mid \text{ für alle }𝔭\in U\text{ gibt es homogene Elemente }a,b\in R\text{ mit }𝔭\in D_{+}(b)\subseteq U\text{ und }{s}_{𝔮}=\frac{a}{b}\text{ in }{R}_{(𝔮)}\text{ für alle }𝔮\in D_{+}(b)\}$

und jeder Inklusion  $U\subseteq V$  die natürliche Projektion zuordnet.

Diese Definition beinhaltet insbesondere, dass in jeder Darstellung die Differenz $\mathrm{Grad}(a)-\mathrm{Grad}(b)$ gleich $0$ ist. Man kann dies als Vergarbung der durch

$D_{+}(𝔞)\mapsto {\mathrm{colim}}_{D_{+}(𝔞)\subseteq D_{+}(f)}(R_f{)}_0$

definierten Prägarbe auffassen, wodurch klar wird, dass eine Garbe aus kommutativen Ringen vorliegt.

Definition

Es sei $R$ ein $\mathbb{Z}$-graduierter Ring. Unter dem projektiven Spektrum  $Y=\mathrm{Proj}\left(R\right)$  versteht man das mit der Zariski-Topologie und der Strukturgarbe versehene projektive Spektrum von $R$.

Lemma

Es sei $R$ ein $\mathbb{Z}$-graduierter Ring, der zumindest eine homogene Einheit positiven Grades besitze.

Dann ist die Abbildung

$\mathrm{Proj}\left(R\right)⟶\mathrm{Spek}\left(R_0\right),𝔭⟼𝔭\cap R_0,$

eine Bijektion, die bezüglich der Zariski-Topologien eine Homöomorphie und bezüglich der Strukturgarben ein Isomorphismus ist. Ferner ist dabei

$R_{(𝔭)}={\left(R_0\right)}_{𝔭\cap R_0}.$

Beweis

Zunächst ist  ${𝔭}_0:=𝔭\cap R_0$  ein Primideal und die Abbildung ist wohldefiniert. Es sei $g$ eine Einheit positiven Grades. Wir behaupten, dass sich $𝔭$ aus ${𝔭}_0$ rekonstruieren lässt, und zwar sind die homogenen Elemente von $𝔭$, die ja das Ideal festlegen, gleich

$𝔭\cap H=\{h\text{ homogen}\mid \text{ es gibt }i\in \mathbb{Z},j\in {\mathbb{N}}_{+}\text{ mit }{g}^i{h}^j\in {𝔭}_0\}.$

Dabei ist die Inklusion $\subseteq$ klar, da man $i$ und $j$ so wählen kann, dass der Grad von $g^i{h}^j$ gleich $0$ wird. Wenn umgekehrt  $g^i{h}^j\in {𝔭}_0$  ist, so ist zunächst  $h^j\in 𝔭$  und wegen der Primeigenschaft dann auch  $h\in 𝔭$.  Damit ist die Abbildung injektiv. Zum Nachweis der Surjektivität sei $𝔮$ ein Primideal aus $R_0$ und wir betrachten das von

$\{h\text{ homogen}\mid \text{ es gibt }i\in \mathbb{Z},j\in {\mathbb{N}}_{+}\text{ mit }{g}^i{h}^j\in 𝔮\}$

erzeugte Ideal. Dieses enthält keine Einheit und somit auch nicht ganz $R_{+}$, da es nicht $g$ enthält, da $𝔮$ nicht die $1$ enthält. Wenn $h_1{h}_2$ zu dieser Menge gehört, so ist  $g^i{h}_1^j{h}_2^j\in 𝔮$  für gewisse $i,j$ und für eine gewisse Potenz davon können wir dies als

${\left(g^i{h}_1^j{h}_2^j\right)}^n=\left(g^a{h}_1^b\right)\left(g^c{h}_2^d\right)$

derart schreiben, dass beide Faktoren den Grad $0$ haben. Dann muss ein Faktor zu $𝔮$ gehören und somit $h_1$ oder $h_2$ zu der angegebenen Menge.

Zum Nachweis der Homöomorphie beachte man, dass die Mengen $D_{+}(f)$ bzw. $D(f)$ zu homogenen Elementen (vom Grad $0$) jeweils eine Basis der Topologie bilden, dass das Urbild von $D(f)$ gleich $D_{+}(f)$ ist und dass  $D_{+}(f)=D_{+}(f{g}^j)$  ist.

$◻$

Lemma

Zu einem $\mathbb{Z}$-graduierten Ring $R$ und einem homogenen Element  $f\in R$  von einem Grad $\ne 0$ ist

$D_{+}(f)\cong \mathrm{Spek}\left({\left(R_f\right)}_0\right)$

als beringte Räume. Insbesondere ist das projektive Spektrum $\mathrm{Proj}\left(R\right)$ ein Schema.

Beweis

Dies folgt aus Lemma 12.8, angewendet auf $R_f$, unter Berücksichtigung, dass die homogenen Primideale von $D_{+}(f)$ den homogenen Primidealen von $R_f$ entsprechen. Die Schemaeigenschaft folgt, da die $D_{+}(f)$ zu  $f\in R_{+}$  das projektive Spektrum überdecken.

$◻$

Beispiel

Das projektive Spektrum zum standard-graduierten Polynomring $R[X_0,X_1,\dots ,X_n]$, also der projektive Raum, wird durch die $D_{+}\left(X_i\right)$ überdeckt. Man spricht von der affinen Standardüberdeckung des projekiven Raumes. Dabei ist

$\Gamma (D_{+}(X_i),{𝒪}_{{\mathbb{P}}_R^n})={(R[X_0,X_1,\dots ,X_n{]}_{X_i})}_0=R[\frac{X_0}{X_i},\frac{X_1}{X_i},\dots ,\frac{X_{i-1}}{X_i},\frac{X_{i+1}}{X_i},\dots ,\frac{X_n}{X_i}]$

ein Polynomring in $n$ Variablen und daher ist (mit $Y_j=\frac{X_j}{X_i}$ für $j\ne i$)

$D_{+}\left(X_i\right)=\mathrm{Spek}(R[Y_0,Y_1,\dots ,Y_{i-1},Y_{i+1},\dots ,Y_n])={𝔸}_R^n.$

Der projektive $n$-dimensionale Raum wird also durch $n+1$ affine Räume überdeckt.

Satz

Es seien $A$ und $B$ $\mathbb{Z}$-graduierte Ringe über einem kommutativen Ring  $R=A_0$  und sei $\theta :A\to B$ ein homogener Ringhomomorphismus.

Dann gibt es einen natürlichen Schemamorphismus

$D_{+}(\theta (A_{+})B)⟶\mathrm{Proj}\left(A\right),𝔭⟼{\theta }^{-1}(𝔭).$

Beweis

Das Urbild eines Primideals unter einem Ringhomomorphismus ist wieder ein Primideal und das Urbild eines homogenen Ideals ist wieder ein homogenes Ideal. Für

$𝔭\in D_{+}(\theta (A_{+})B)=\mathrm{Proj}\left(B\right)$

gibt es ein homogenes Element  $f\in A_{+}$  mit  $\theta (f)\notin 𝔭$.  Daher ist  $A_{+}\subseteq ̸{\theta }^{-1}(𝔭)$  und somit ist  ${\theta }^{-1}(𝔭)\in \mathrm{Proj}\left(A\right)$.  Es gibt also eine Abbildung

$\phi :D_{+}(\theta (A_{+})B)⟶\mathrm{Proj}\left(A\right).$

Für ein homogenes Element  $f\in A_{+}$  ist dabei  ${\phi }^{-1}(D_{+}(f))=D_{+}(\theta (f))$,  da dies auch für die Spektrumsabbildung gilt. Daher ist die Abbildung stetig. Nach Korollar 10.10 ist die Spektrumsabbildung in eindeutiger Weise ein Morphismus von Schemata. Auf jedem $D(f)$ ist dieser durch den Ringhomomorphismus

${\theta }_f:A_f⟶B_{\theta (f)}$

gegeben. Bei $f$ homogen ist dieser Ringhomomorphismus wieder homogen und induziert insbesondere einen Ringhomomorphismus

${\left({\theta }_f\right)}_0:{\left(A_f\right)}_0⟶{\left(B_{\theta (f)}\right)}_0$

in der nullten Stufe. Da dies nach Lemma 12.9 die Schnittringe zu $D_{+}(f)$ bzw. $D_{+}(\theta (f))$ sind, und da diese Ringhomomorphismen mit den Restriktionen verträglich sind, und da das Diagramm

$\begin{array}{cccc}{D}_{+}(\theta (f))& \stackrel{\phi ={\theta }^{-1}}{⟶}& D_{+}(f)& \\ \downarrow & & \downarrow & \\ \mathrm{Spec}((B_{\theta (f)}{)}_0)& \stackrel{({\theta }_f{)}_0^{-1}}{⟶}& \mathrm{Spec}((A_f{)}_0)& \end{array}$

kommutiert, handelt es sich um einen Morphismus lokal beringter Räume.

$◻$

Beispiel

Die Unterringbeziehung

$K[X_1,\dots ,X_n]\subseteq K[X_0,X_1,\dots ,X_n]$

führt im Sinne von Satz 12.11 zu einem Schemamorphismus

${\mathbb{P}}_K^n\supset D_{+}(X_1,\dots ,X_n)⟶{\mathbb{P}}_K^{n-1}.$

Einem $K$-Punkt mit den homogenen Koordinaten $(x_0,x_1,\dots ,x_n)$ wird der Punkt $(x_1,\dots ,x_n)$ zugeordet, und diese Abbildung ist nur auf der angegebenen offenen Teilmenge definiert, es gibt keine sinnvolle Fortsetzung auf den Punkt $(1,0,\dots ,0)$. Man spricht von der Projektion weg von einem Punkt. In den affinen Räumen ${𝔸}_K^{n+1}$ bzw. ${𝔸}_K^n$ interpretiert bedeutet die Abbildung, dass eine jede Gerade auf eine Hyperebene projiziert wird. Für die Gerade, die „senkrecht“ auf der Hyperebene steht, ist dies nicht wohldefiniert, da die Projektion keine Gerade liefert.

Die folgende Definition werden wir insbesondere über einem Körper verwenden.

Definition

Ein Schema $(X,{𝒪}_X)$ über einem kommutativen Ring $R$ heißt projektiv, wenn es eine Faktorisierung

$X\stackrel{i}{⟶}{\mathbb{P}}_R^n⟶\mathrm{Spek}\left(R\right)$

gibt, bei der $i$ eine abgeschlossene Einbettung ist.

Lemma

Zu einem standard-graduierten Ring $A$

ist das projektive Spektrum $\mathrm{Proj}\left(A\right)$ ein projektives Schema über $\mathrm{Spec}\left(A_0\right)$.

Beweis

Es ist

$A=A_0[X_0,X_1,\dots ,X_n]/𝔞$

mit einem homogenen Ideal  $𝔞\subseteq A_0[X_0,X_1,\dots ,X_n]$.  Zur Restklassenabbildung

$\theta :A_0[X_0,X_1,\dots ,X_n]⟶A$

gehört nach Satz 12.11 der Schemamorphismus

$i:\mathrm{Proj}\left(A\right)⟶{\mathbb{P}}_{A_0}^n.$

So wie die Spektrumsabbildung

$\mathrm{Spek}\left(A\right)⟶V(𝔞)\subseteq {𝔸}_{A_0}^{n+1},𝔭⟼{\theta }^{-1}(𝔭),$

eine Homöomorphie ist, ist auch die vorliegende projektive Variante eine Homöomorphie auf $V_{+}(𝔞)$. D.h. insbesondere, dass $\mathrm{Proj}\left(A\right)$ in natürlicher Weise einer abgeschlossenen Teilmenge des projektiven Raumes über $A_0$ entspricht. Wir müssen noch zeigen, dass der Garbenhomomorphismus

${𝒪}_{{\mathbb{P}}_{A_0}^n}⟶i_{\ast }{𝒪}_{\mathrm{Proj}\left(A\right)}$

surjektiv ist. Auf $D_{+}(f)$ zu einem homogenen Element  $f\in A_0[X_0,X_1,\dots ,X_n{]}_{+}$  ist dies aber die Abbildung

${(A_0[X_0,X_1,\dots ,X_n{]}_f)}_0⟶{\left(A_f\right)}_0,$

und diese ist surjektiv.

$◻$

In der vorstehenden Aussage sind die Ringhomomorhismen nur auf den Mengen der Form $D_{+}(f)$ surjektiv, nicht auf allen offenen Mengen. Da diese aber eine Basis der Topologie bilden, liegt auch die Surjektivität in den Halmen vor. Daher handelt es sich einen surjektiven Garbenhomomorphismus.

Definition

Zu einem homogenen Polynom  $F\in K[X_0,X_1,\dots ,X_n]$  über einem Körper $K$ nennt man

$V_{+}(F)=\mathrm{Proj}(K[X_0,X_1,\dots ,X_n]/(F))\subset {\mathbb{P}}_K^n$

die projektive Hyperfläche zu $F$.

Definition

Zu einer projektiven Hyperfläche

$V_{+}(F)=\mathrm{Proj}(K[X_0,X_1,\dots ,X_n]/(F))\subset {\mathbb{P}}_K^n$

zu einem homogenen Polynom  $F\in K[X_0,X_1,\dots ,X_n]$  nennt man den Grad von $F$ auch den Grad der Hyperfläche.

Eine Hyperfläche vom Grad $1$ nennt man Hyperebene, das sind projektiv-lineare Unterräume der Kodimension $1$.

Lemma

Es sei  $R=K[X_0,X_1,\dots ,X_d]/(f_1,\dots ,f_s)$  ein standard-graduierter Ring mit homogenen Erzeugern $f_j$ vom Grad $d_j$.

Dann ist  ${\left(R_{X_i}\right)}_0=K[\frac{X_0}{X_i},\dots ,\frac{X_{i-1}}{X_i},\frac{X_{i+1}}{X_i},\dots ,\frac{X_d}{X_i}]/(\frac{f_1}{X_i^{d_1}},\dots ,\frac{f_s}{X_i^{d_s}})$. 

Dieser Restklassenring wird durch die Dehomogenisierungen der $f_{\ell }$ bezüglich der Variablen $X_i$ beschrieben.

Beweis

Es ist

$\begin{array}{cc}{R}_{X_i}& =K[X_0,\dots ,X_d,X_i^{-1}]/(f_1,\dots ,f_s)\\ & =K[\frac{X_0}{X_i},\dots ,\frac{X_{i-1}}{X_i},\frac{X_{i+1}}{X_i},\dots ,\frac{X_d}{X_i},X_i,X_i^{-1}]/(\frac{f_1}{X_i^{d_1}},\dots ,\frac{f_s}{X_i^{d_s}})\\ & =(K[\frac{X_0}{X_i},\dots ,\frac{X_{i-1}}{X_i},\frac{X_{i+1}}{X_i},\dots ,\frac{X_d}{X_i}]/(\frac{f_1}{X_i^{d_1}},\dots ,\frac{f_s}{X_i^{d_s}}))[X_i,X_i^{-1}].\end{array}$

In dieser letzten Beschreibung ist klar, was der Ring in Grad $0$ ist.

Wenn man  $Y_k=\frac{X_k}{X_i}$  (mit $Y_i=1$) schreibt, so ist

$\frac{f_{\ell }}{X_i^{d_{\ell }}}=\frac{\sum _{\nu }{a}_{\nu }{X}^{\nu }}{X_i^{d_{\ell }}}=\sum _{\nu }{a}_{\nu }{Y}^{\nu },$

und dies ist die Dehomogenisierung von $f_{\ell }$ bezüglich der Variablen $X_i$.

$◻$

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