Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 12
- Das projektive Spektrum eines graduierten Ringes
Das projektive Spektrum wird üblicherweise für - graduierte Ringe eingeführt. Da man aber in der Konstruktion Nenneraufnahmen an homogenen Elementen betrachtet, wobei auch negative Grade auftreten, ist es sinnvoller, von Anfang an mit -Graduierungen zu arbeiten.
Zu einem - graduierten Ring nennt man das von allen homogenen Elementen von einem Grad erzeugte Ideal das irrelevante Ideal. Es wird mit bezeichnet.
Im positiv-graduierten Fall ist dies einfach das Ideal . Bei negativen Graden kann es auch das Einheitsideal sein.
Es sei ein - graduierter kommutativer Ring. Dann nennt man die Menge der homogenen Primideale von , die nicht umfassen, das projektive Spektrum von . Es wird mit bezeichnet.
Es sei ein - graduierter kommutativer Ring. Dann nennt man die Menge der homogenen Primideale von , die nicht umfassen, zusammen mit der Topologie, bei der die Teilmengen
als offen erklärt werden, das projektive Spektrum von .
Es handelt sich in der Tat um eine Topologie. Es ist
mit
Diese bilden eine Basis der Topologie.
Das projektive Spektrum des Polynomrings nennt man den projektiven Raum der Dimension über .
Zu einem -graduierten Ring bezeichnet man den Ring der nullten Stufe mit . Wenn -graduiert ist, so ist häufig ein einfacher Ring, beispielsweise ein Körper, aber wenn ein homogenes Element mit einem positiven Grad ist, so ist die Nenneraufnahme in natürlicher Weise -graduiert und kann beliebig kompliziert sein.
Zu einem homogenen Primideal ist ein multiplikatives System und entsprechend ist der Durchschnitt von mit der Menge aller homogenen Elemente ein multiplikatives System. Der Ring der nullten Stufe zu dieser Nenneraufnahme spielt eine besondere Rolle, er wird mit
bezeichnet.
Zu einem homogenen Primideal in einem - graduierten Ring
ist ein lokaler Ring.
Seien Nichteinheiten. Dann ist und mit homogenen Elementen und homogenen Elementen , die jeweils den gleichen Grad wie ihre Nenner haben. Dabei ist , da andernfalls eine Einheit vorliegen würde. Daher ist und somit ist
ebenfalls eine Nichteinheit in .
Es sei ein - graduierter Ring und das mit der Zariski-Topologie versehene projektive Spektrum von . Unter der Strukturgarbe auf versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge den kommutativen Ring
und jeder Inklusion die natürliche Projektion zuordnet.
Es sei ein - graduierter Ring. Unter dem projektiven Spektrum versteht man das mit der Zariski-Topologie und der Strukturgarbe versehene projektive Spektrum von .
Es sei ein - graduierter Ring, der zumindest eine homogene Einheit positiven Grades besitze.
Dann ist die Abbildung
eine Bijektion, die bezüglich der Zariski-Topologien eine Homöomorphie und bezüglich der Strukturgarben ein Isomorphismus ist. Ferner ist dabei
Zunächst ist ein Primideal und die Abbildung ist wohldefiniert. Es sei eine Einheit positiven Grades. Wir behaupten, dass sich aus rekonstruieren lässt, und zwar sind die homogenen Elemente von , die ja das Ideal festlegen, gleich
Dabei ist die Inklusion klar, da man und so wählen kann, dass der Grad von gleich wird. Wenn umgekehrt ist, so ist zunächst und wegen der Primeigenschaft dann auch . Damit ist die Abbildung injektiv. Zum Nachweis der Surjektivität sei ein Primideal aus und wir betrachten das von
erzeugte Ideal. Dieses enthält keine Einheit und somit auch nicht ganz , da es nicht enthält, da nicht die enthält. Wenn zu dieser Menge gehört, so ist für gewisse und für eine gewisse Potenz davon können wir dies als
derart schreiben, dass beide Faktoren den Grad haben. Dann muss ein Faktor zu gehören und somit oder zu der angegebenen Menge.
Zum Nachweis der Homöomorphie beachte man, dass die Mengen bzw. zu homogenen Elementen (vom Grad ) jeweils eine Basis der Topologie bilden, dass das Urbild von gleich ist und dass ist.
Zu einem - graduierten Ring und einem homogenen Element von einem Grad ist
als beringte Räume. Insbesondere ist das projektive Spektrum ein Schema.
Dies folgt aus Lemma 12.8, angewendet auf , unter Berücksichtigung, dass die homogenen Primideale von den homogenen Primidealen von entsprechen. Die Schemaeigenschaft folgt, da die zu das projektive Spektrum überdecken.
Das projektive Spektrum zum standard-graduierten Polynomring , also der projektive Raum, wird durch die überdeckt. Man spricht von der affinen Standardüberdeckung des projekiven Raumes. Dabei ist
ein Polynomring in Variablen und daher ist (mit für )
Der projektive -dimensionale Raum wird also durch affine Räume überdeckt.
Es seien und - graduierte Ringe über einem kommutativen Ring und sei ein homogener Ringhomomorphismus.
Dann gibt es einen natürlichen Schemamorphismus
Das Urbild eines Primideals unter einem Ringhomomorphismus ist wieder ein Primideal und das Urbild eines homogenen Ideals ist wieder ein homogenes Ideal. Für
gibt es ein homogenes Element mit . Daher ist und somit ist . Es gibt also eine Abbildung
Für ein homogenes Element ist dabei , da dies auch für die Spektrumsabbildung gilt. Daher ist die Abbildung stetig. Nach Korollar 10.10 ist die Spektrumsabbildung in eindeutiger Weise ein Morphismus von Schemata. Auf jedem ist dieser durch den Ringhomomorphismus
gegeben. Bei homogen ist dieser Ringhomomorphismus wieder homogen und induziert insbesondere einen Ringhomomorphismus
in der nullten Stufe. Da dies nach Lemma 12.9 die Schnittringe zu bzw. sind, und da diese Ringhomomorphismen mit den Restriktionen verträglich sind, und da das Diagramm
kommutiert, handelt es sich um einen Morphismus lokal beringter Räume.
Die Unterringbeziehung
führt im Sinne von Satz 12.11 zu einem Schemamorphismus
Einem -Punkt mit den homogenen Koordinaten wird der Punkt zugeordet, und diese Abbildung ist nur auf der angegebenen offenen Teilmenge definiert, es gibt keine sinnvolle Fortsetzung auf den Punkt . Man spricht von der Projektion weg von einem Punkt. In den affinen Räumen bzw. interpretiert bedeutet die Abbildung, dass eine jede Gerade auf eine Hyperebene projiziert wird. Für die Gerade, die „senkrecht“ auf der Hyperebene steht, ist dies nicht wohldefiniert, da die Projektion keine Gerade liefert.
Die folgende Definition werden wir insbesondere über einem Körper verwenden.
Ein Schema über einem kommutativen Ring heißt projektiv, wenn es eine Faktorisierung
gibt, bei der eine abgeschlossene Einbettung ist.
Zu einem standard-graduierten Ring
ist das projektive Spektrum ein projektives Schema über .
Es ist
mit einem homogenen Ideal . Zur Restklassenabbildung
gehört nach Satz 12.11 der Schemamorphismus
So wie die Spektrumsabbildung
eine Homöomorphie ist, ist auch die vorliegende projektive Variante eine Homöomorphie auf . D.h. insbesondere, dass in natürlicher Weise einer abgeschlossenen Teilmenge des projektiven Raumes über entspricht. Wir müssen noch zeigen, dass der Garbenhomomorphismus
surjektiv ist. Auf zu einem homogenen Element ist dies aber die Abbildung
und diese ist surjektiv.
In der vorstehenden Aussage sind die Ringhomomorhismen nur auf den Mengen der Form surjektiv, nicht auf allen offenen Mengen. Da diese aber eine Basis der Topologie bilden, liegt auch die Surjektivität in den Halmen vor. Daher handelt es sich einen surjektiven Garbenhomomorphismus.
Zu einer projektiven Hyperfläche
zu einem homogenen Polynom nennt man den Grad von auch den Grad der Hyperfläche.
Eine Hyperfläche vom Grad nennt man Hyperebene, das sind projektiv-lineare Unterräume der Kodimension .
Es sei ein standard-graduierter Ring mit homogenen Erzeugern vom Grad .
Dann ist .
Dieser Restklassenring wird durch die Dehomogenisierungen der bezüglich der Variablen beschrieben.
Es ist
In dieser letzten Beschreibung ist klar, was der Ring in Grad ist.
Wenn man (mit ) schreibt, so ist
und dies ist die Dehomogenisierung von bezüglich der Variablen .
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