Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 23/latex
\setcounter{section}{23}
\zwischenueberschrift{Injektive Moduln}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$I$ heißt
\definitionswort {injektiv}{,}
wenn es für jeden $R$-Modul $M$, jeden Untermodul
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jeden
$R$-\definitionsverweis {Modul-Homomorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} { N} {I
} {}
eine Fortsetzung
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} { M} {I
} {}
gibt.
}
Über einem Körper ist jeder Vektorraum injektiv, da jeder Untervektorraum in einem Vektorraum ein direktes Komplement besitzt, und die lineare Abbildung auf dem Komplement irgendwie fortgesetzt werden kann. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wird die Sache schon komplizierter.
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
$G$ heißt
\definitionswort {divisibel}{,}
wenn es zu jedem
\mathl{n \in \N_+}{} und jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ein
\mathl{h\in G}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ = }{nh
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
Die Gruppe $\Z$ selbst ist nicht divisibel, dagegen ist $\Q$ als kommutative Gruppe divisibel, da ja zu jedem
\mathl{n\in \N_+}{} die Multiplikationsabbidung
\maabbeledisp {} { \Q} {\Q
} {x} {nx
} {,}
surjektiv ist
\zusatzklammer {man kann durch $n$ dividieren, daher der Name divisibel} {} {.}
\inputfaktbeweis
{Divisible Gruppe/Grundlegende Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Zu einer
\definitionsverweis {divisiblen Gruppe}{}{}
$D$}
\faktfolgerung {ist auch jede
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
$D/H$ divisibel.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ = }{ne
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann gilt auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{[d]
}
{ = }{n[e]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\mathl{D/H}{.}
\inputfaktbeweis
{Kommutative Gruppe/Einbettung in divisible Gruppe/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Zu jeder
\definitionsverweis {kommutativen Gruppe}{}{}
$G$}
\faktfolgerung {gibt es eine
\definitionsverweis {divisible Gruppe}{}{}
$D$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir schreiben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ \Z^{(J)} /H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer geeigneten Indexmenge $J$, die ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $G$ indiziere. Die freie Gruppe
\mathl{\Z^{(J)}}{} kann man in die divisible Gruppe
\mathl{\Q^{(J)}}{} einbetten. Daher gibt es eine Einbettung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq} { \Q^{(J)}/H
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und letztere ist nach
Lemma 23.3
divisibel.
Ohne Beweis erwähnen wir das folgende Resultat.
\inputfakt{Kommutative Gruppe/Injektiv/Divisibel/Fakt}{Lemma}{}
{
\faktsituation {Eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
$G$}
\faktfolgerung {ist genau dann
\definitionsverweis {divisibel}{}{,}
wenn sie
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
\inputfaktbeweis
{Injektiver Modul/Kurze exakte Sequenz/Spaltung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {injektiver Modul}{}{}
über einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.}
\faktfolgerung {Dann
\definitionsverweis {spaltet}{}{}
jede
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
\mathdisp {0 \longrightarrow I \longrightarrow B \longrightarrow C \longrightarrow 0} { }
von
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zur Identität \maabb {\operatorname{Id}_{ I }} {I} {I } {} gibt es eine Fortsetzung \maabb {\varphi} {B} {I } {.} Diese vermittelt die Spaltung.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Algebren/Injektiver Modul/Beziehung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
$S$ eine kommutative
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und $I$ ein
\definitionsverweis {injektiver}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch der $S$-Modul
\mathl{\operatorname{Hom}_{ R } { \left( S, I \right) }}{} injektiv.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ \subseteq }{B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
$S$-Moduln und
\maabbeledisp {\varphi} {A} { \operatorname{Hom}_{ R } { \left( S, I \right) }
} {a} { \varphi_a
} {,}
ein
$S$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{.}
Dies bedeutet explizit, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_a(s)
}
{ = }{ \varphi_{as} (1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Wir betrachten
\mathkor {} {A} {und} {B} {}
als $R$-Moduln und wir betrachten den $R$-Modulhomomorphismus
\mathdisp {A \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} \operatorname{Hom}_{ R } { \left( S, I \right) } \stackrel{\theta \mapsto \theta (1) }{ \longrightarrow} I} { . }
Aufgrund der Injektivität von $I$ als $R$-Modul gibt es eine $R$-lineare Fortsetzung
\maabb {\tilde{\varphi}} {B} { I
} {}
dieser Hintereinanderschaltung. Wir behaupten, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {B} { \operatorname{Hom}_{ R } { \left( S, I \right) }
} {b} { (s \mapsto \tilde{\varphi} (sb) )
} {,}
ein $S$-Modulhomomorphismus ist. Zunächst ist klar, dass die Abbildung
\mathdisp {S \stackrel{1 \mapsto b}{\longrightarrow} B \stackrel{ \tilde{\varphi} }{\longrightarrow} I} { }
zu
\mathl{\operatorname{Hom}_{ R } { \left( S, I \right) }}{} gehört. Die Gesamtzuordnung ist $S$-linear aufgrund der $S$-Modulstruktur von
\mathl{\operatorname{Hom}_{ R } { \left( S, I \right) }}{.} Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{\varphi} (sa)
}
{ = }{ \varphi_{as } (1)
}
{ = }{ \varphi_a (s)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so dass in der Tat eine Fortsetzung gegeben ist.
\zwischenueberschrift{Injektive Auflösungen}
\inputfaktbeweis
{Kommutativer Ring/Modul/Injektiver Modul/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Zu einem
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$M$ über einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$}
\faktfolgerung {gibt es einen
\definitionsverweis {injektiven Modul}{}{}
$I$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Für die kommutative Gruppe $M$ gibt es nach
Lemma 23.4
eine
\definitionsverweis {divisible Gruppe}{}{}
$D$ und eine Einbettung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma 23.5
ist $D$ ein injektiver
$\Z$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Nach
Lemma 23.7
ist dann auch der $R$-Modul
\mathl{\operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( R, D \right) }}{} injektiv. Es liegt ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} M & \stackrel{ }{\longrightarrow} & D & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( R, M \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( R, D \right) } & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vor, wobei die vertikalen Abbildungen durch
\mathl{v \mapsto (r \mapsto rv)}{} gegeben sind. Alle Abbildungen sind injektiv. Die linke vertikale Abbildung und die untere horizontale Abbildung sind $R$-Modulhomomorphismen, daher liegt insgesamt ein
$R$-\definitionsverweis {Untermodul}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( R, D \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vor.
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionswort {injektive Auflösung}{}
eines
$R$-\definitionsverweis {Moduls}{}{}
$M$ über einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ ist ein
\definitionsverweis {exakter Komplex}{}{}
\mathdisp {0 \longrightarrow M \longrightarrow I_0 \longrightarrow I_1 \longrightarrow I_2 \longrightarrow \ldots} { }
von $R$-Moduln, wobei die
\mathbed {I_n} {}
{n \geq 0} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {injektive Moduln}{}{}
sind.
}
\inputfaktbeweis
{Kommutativer Ring/Modul/Injektive Auflösung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$M$ über einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$}
\faktfolgerung {besitzt eine
\definitionsverweis {injektive Auflösung}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Korollar 23.8
gibt es einen injektiven Modul $I_0$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{I_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für den
\definitionsverweis {Restklassenmodul}{}{}
\mathl{I_0/M}{} gibt es entsprechend einen injektiven Modul $I_1$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I_0/M
}
{ \subseteq }{ I_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
u.s.w.
\inputfaktbeweis
{Modul/Injektive Auflösung/Komplex/Anfangshomomorphismus/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {L} {und} {M} {}
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{}
über einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$. Es sei
\mathdisp {0 \longrightarrow L \longrightarrow L_0 \longrightarrow L_1 \longrightarrow \ldots} { }
ein
\definitionsverweis {exakter Komplex}{}{,}
\mathdisp {0 \longrightarrow M \longrightarrow I_0 \longrightarrow I_1 \longrightarrow \ldots} { }
eine
\definitionsverweis {injektive Auflösung}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {L} { M
} {}
ein
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es $R$-Modulhomomorphismen
\maabbdisp {\varphi_n} {L_n} { I_n
} {,}
die mit den Homomorphismen in den Komplexen kommutieren.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Existenz der kommutierenden Homomorphismen wird durch Induktion über $n$ bewiesen. Zum Homomorphismus
\mathl{L \rightarrow M \subseteq I_0}{} gibt es wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ \subseteq }{L_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der Injektivität von $I_0$ einen kommutierenden Homomorphismus
\maabbdisp {\varphi_0} {L_0} {I_0
} {,}
dies sichert den Induktionsanfang. Es sei nun die Existenz der Homomorphismen bis $\varphi_n$ bereits bewiesen. Wir betrachten das kommutative Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} L_{n-1} & \stackrel{ }{\longrightarrow} & L_n & \stackrel{ }{\longrightarrow} & L_{n+1} & \\ \!\!\!\!\! \varphi_{n-1} \downarrow & & \!\!\!\!\! \varphi_n \downarrow & & \downarrow & & \\ I_{n-1} & \stackrel{ }{\longrightarrow} & I_n & \stackrel{ }{\longrightarrow} & I_{n+1} &\!\!\!\!\! , \\ \end{matrix}} { }
wobei der rechte vertikale Pfeil zu konstruieren ist.
Es liegt eine Injektion
\maabbdisp {} {L_n/ \operatorname{bild} L_{n-1} } { L_{n+1}
} {}
vor, und wegen der Kommutativität wird $L_{n-1}$ insgesamt auf $0$ nach
\mathl{I_{n+1}}{} hinein abgebildet. Daher liegt ein Homomorphismus
\maabbdisp {} {L_n/ \operatorname{bild} L_{n-1} } { I_{n+1}
} {}
vor und dieser besitzt eine Fortsetzung nach
\mathl{L_{n+1}}{.}
Im Allgemeinen gibt es in der vorstehenden Situation mehrere Homomomorphismen von Kettenkomplexen. Allerdings sind sie zueinander homotop.
\inputfaktbeweis
{Modul/Exakter Komplex und injektive Auflösung/Homotopie/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
über einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$. Es sei
\mathdisp {0 \longrightarrow M \longrightarrow L_0 \longrightarrow L_1 \longrightarrow \ldots} { }
ein
\definitionsverweis {exakter Komplex}{}{}
und es sei
\mathdisp {0 \longrightarrow M \longrightarrow I_0 \longrightarrow I_1 \longrightarrow \ldots} { }
ein Komplex, wobei die Moduln $I_n$
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
seien. Es seien
\maabbdisp {\varphi, \psi} {L_\bullet} {I_\bullet
} {}
\definitionsverweis {Homomorphismen}{}{}
von Kettenkomplexen.}
\faktfolgerung {Dann sind
\mathkor {} {\varphi} {und} {\psi} {}
\definitionsverweis {homotop}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir definieren induktiv die Homotopien
\maabbdisp {\Theta_n} {L_{n+1}} { I_n
} {}
und legen
\maabbdisp {\Theta_{-1}} {L_0} { M = I_{-1}
} {}
als die Nullabbildung fest
\zusatzklammer {$M$ ist aber im Allgemeinen nicht injektiv} {} {.}
Nehmen wir nun an, dass die Homotopien bis einschließlich $\Theta_{n-1}$ schon konstruiert seien. Es liegt ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} L_{n-1} & \stackrel{ d_n }{\longrightarrow} & L_n & \stackrel{ d_{n+1} }{\longrightarrow} & L_{n+1} & \\ \downarrow & \Theta_{n-1} \swarrow & \downarrow &
& \downarrow & & \\ I_{n-1} & \stackrel{ e_n }{\longrightarrow} & I_n & \stackrel{ e_{n+1} }{\longrightarrow} & I_{n+1} &\!\!\!\!\! . \\ \end{matrix}} { }
vor, und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_{n-1} - \psi_{n-1}
}
{ =} { e_{n-1} \circ \Theta_{n-2} + \Theta_{n-1} \circ d_{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten den Homomorphismus
\mathl{\varphi_n- \psi_n - e_n \circ \Theta_{n-1}}{} von $L_n$ nach $I_n$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ L_{n-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt dabei
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ { \left( \varphi_n- \psi_n - e_n \circ \Theta_{n-1} \right) } (d_n(x))
}
{ =} { { \left( \varphi_n- \psi_n \right) } (d_n(x)) - { \left( e_n \circ \Theta_{n-1} \right) } (d_n(x))
}
{ =} { { \left( \varphi_n- \psi_n \right) } (d_n(x)) - e_n ( \Theta_{n-1} (d_n(x)))
}
{ =} { { \left( \varphi_n- \psi_n \right) } (d_n(x)) - e_n ( - e_{n-1} (\Theta_{n-2} (x)) + \varphi_{n-1} (x) - \psi_{n-1} (x) )
}
{ =} { \varphi_n(d_n(x))- \psi_n (d_n(x)) - e_n ( \varphi_{n-1} (x)) + e_n ( \psi_{n-1} (x) )
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \varphi_n(d_n(x)) - e_n ( \varphi_{n-1} (x)) - \psi_n (d_n(x)) + e_n ( \psi_{n-1} (x) )
}
{ =} { 0
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
da ja die $\varphi$ als auch die $\psi$ mit den Ableitungen kommutieren. Dies bedeutet, dass
\mathl{\varphi_n- \psi_n - e_n \circ \Theta_{n-1}}{} das Bild von $d_n$ auf $0$ abbildet. Wir haben also einen induzierten Homomorphismus
\maabbdisp {} {L_n/ \operatorname{bild} d_n } { I_{n}
} {.}
Da der Komplex $L_\bullet$ exakt ist, liegt eine injektive Abbildung
\maabbdisp {} {L_n/ \operatorname{bild} d_n } { L_{n+1}
} {}
vor, und da $I_n$ injektiv ist, ergibt sich eine Fortsetzung
\maabbdisp {- \Theta_n} { L_{n+1}} {I_n
} {.}
Dabei gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_n- \psi_n - e_n \circ \Theta_{n-1}
}
{ =} { - \Theta_n \circ d_{n+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Injektive und welke Garben}
Ein injektiver Modul ist nach Definition durch die Existenz von Homomorphismen in gewissen Situationen gekennzeichnet. Insofern gibt es das entsprechende Konzept \zusatzklammer {\stichwort {injektives Objekt} {}} {} {} in jeder Kategorie, in der man von injektiven Homomorphismen sprechen kann. Der übliche Rahmen sind hier die additiven bzw. die abelschen Kategorien, siehe die Anhänge. Die Kategorie der Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum \zusatzklammer {und die Kategorie der Garben von Moduln auf einem beringten Raum} {} {} bildet eine solche abelsche Kategorie, das haben wir im Wesentlichen in den Vorlesungen 5 und 6 bewiesen. Wir zeigen nun, dass man auch in dieser Situation Garben in injektive Garben einbetten kann.
\inputfaktbeweis
{Beringter Raum/Modulgarbe/Einbettung/Injektive Garbe/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $(X, {\mathcal O}_{ X } )$ ein
\definitionsverweis {beringter Raum}{}{}
und es sei ${ \mathcal M }$ ein
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine
\definitionsverweis {injektive Modulgarbe}{}{}
${ \mathcal I }$ auf $X$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal M }
}
{ \subseteq }{ { \mathcal I }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Für jede Modulgarbe ${ \mathcal M }$ ist
\maabbdisp {} { { \mathcal M } } { \prod_{x \in X} i_* { \mathcal M }_x
} {}
ein injektiver
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{,}
wobei
\zusatzklammer {für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{x
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mathl{i_* { \mathcal M }_x}{} den
\definitionsverweis {Vorschub}{}{}
des ${\mathcal O}_{ X,x }$-Moduls
\mathl{{ \mathcal M }_x}{}
\zusatzklammer {aufgefasst als Garbe auf $\{x\}$} {} {}
unter der Einbettung
\maabb {i} {\{x\}} { X
} {}
bezeichnet. Nach
Korollar 23.8
gibt es zu
\mathl{{ \mathcal M }_x}{} einen
\definitionsverweis {injektiven}{}{}
${\mathcal O}_{ X,x }$-Modul $I_x$ auf $x$. Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal I }
}
{ \defeq }{ \prod_{x \in X} i_* I_x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit erhalten wir Inklusionen
\mathdisp {{ \mathcal M } \longrightarrow \prod_{x \in X} i_* { \mathcal M }_x \longrightarrow \prod_{x \in X} i_* I_x} { }
von ${\mathcal O}_{ X }$-Moduln. Wir müssen zeigen, dass ${ \mathcal I }$ injektiv ist. Es seien dazu ${\mathcal O}_{ X }$-Moduln
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal F }
}
{ \subseteq }{ { \mathcal G }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ein ${\mathcal O}_{ X }$-Modulhomomorphismus
\maabbdisp {\varphi} {{ \mathcal F } } {{ \mathcal I }
} {}
gegeben. Dies entspricht
nach Aufgabe 3.18
und wegen
Lemma Anhang 4.3
einem Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\varphi_x)
}
{ \in }{ \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}_{ {\mathcal O}_{ X } } { \left( { \mathcal F } , i_* I_x \right) }
}
{ = }{ \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}_{ {\mathcal O}_{ X,x } } { \left( { \mathcal F }_x , I_x \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zu jedem
\mathl{\varphi_x}{} gibt es eine Fortsetzung
\maabb {\tilde{\varphi}_x} {{ \mathcal G }_x } { I_x
} {}
und diese setzen sich zu einer Fortsetzung
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} { { \mathcal G } } { { \mathcal I }
} {}
zusammen.
Injektive Garben stehen in einem engen Verhältnis zu welken Garben. Diese sind häufig rechnerisch zugänglicher.
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
${ \mathcal G }$ auf einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$ heißt
\definitionswort {welk}{,}
wenn für offene Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Einschränkungsabbildungen
\maabbdisp {} { { \mathcal G } { \left( V \right) } } { { \mathcal G } { \left( U \right) }
} {}
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
sind.
}
Im Fall einer welken Garbe sind dann für beliebige offene Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Einschränkungsabbildungen
\maabb {} { { \mathcal G } { \left( V \right) } } { { \mathcal G } { \left( U \right) }
} {}
surjektiv.
\inputfaktbeweis
{Topologischer Raum/Welke Garben/Grundlegende Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und es sei
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { \mathcal F } \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, { \mathcal G } \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { \mathcal H } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
eine
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
von
\definitionsverweis {Garben von abelschen Gruppen}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Wenn ${ \mathcal F }$ eine
\definitionsverweis {welke Garbe}{}{}
ist, so ist die globale Auswertung
\maabb {} { \Gamma { \left( X, { \mathcal G } \right) } } { \Gamma { \left( X, { \mathcal H } \right) }
} {}
\definitionsverweis {surjektiv}{}{.}
} {Wenn
\mathkor {} {{ \mathcal F }} {und} {{ \mathcal G }} {}
welk sind, so ist auch ${ \mathcal H }$ welk.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\aufzaehlungzwei {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, H \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Wir verwenden das Lemma von Zorn und betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathcal M}
}
{ =} { { \left\{ (U,s) \mid U \subseteq X \text{ offen und } s \in \Gamma { \left( U, { \mathcal G } \right) } , \, s \mapsto t \text{ auf } U \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir führen auf $\mathcal M$ durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(U,s)
}
{ \preccurlyeq }{(U',s')
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{U'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $s'$ eine Fortsetzung von $s$ ist, eine
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
ein. Diese Menge ist aufgrund der Garbeneigenschaft
\definitionsverweis {induktiv geordnet}{}{.}
Nach
dem Lemma von Zorn
gibt es somit ein maximales Element
\mathl{(U,s)}{} in $\mathcal M$. Es ist zu zeigen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \neq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
angenommen und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \notin }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der Garbensurjektivität
\maabb {} { { \mathcal G } } { { \mathcal H }
} {}
gibt es eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einen Schnitt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{ \Gamma { \left( V, { \mathcal G } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
der auf
\zusatzklammer {die Restriktion auf $V$} {} {}
$t$ abbildet. Daher bildet
\mathl{s {{|}}_{U \cap V} - r{{|}}_{U \cap V}}{} auf $0$ ab und gehört somit zu $\Gamma { \left( U \cap V, { \mathcal F } \right) }$. Wegen der Welkheit von ${ \mathcal F }$ gibt es einen Schnitt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in} { \Gamma { \left( X, { \mathcal F } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
der auf
\mathl{s {{|}}_{U \cap V} - r{{|}}_{U \cap V}}{} einschränkt. Wir ersetzen $r$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r'
}
{ =} { r + z {{|}}_V
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dieses Element wird nach wie vor nach $t {{|}}_V$ abgebildet und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s {{|}}_{U \cap V} - r'{{|}}_{U \cap V}
}
{ =} { z {{|}}_V - z{{|}}_V
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit sind
\mathkor {} {s} {und} {r'} {}
als Schnitte von ${ \mathcal G }$ über
\mathkor {} {U} {bzw.} {V} {}
verträglich und legen einen Schnitt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s'
}
{ \in }{ \Gamma { \left( U \cup V, { \mathcal F } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fest, der nach $t$ abbildet. Dies ist ein Widerspruch zur Maximalität von $U$.
} {Folgt aus (1).
}
\inputfaktbeweis
{Beringter Raum/Modul/Injektiv/Welk/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} ein
\definitionsverweis {beringter Raum}{}{}
und ${ \mathcal I }$ ein
\definitionsverweis {injektiver}{}{}
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist ${ \mathcal I }$
\definitionsverweis {welk}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{.}
Wir betrachten die Prägarbe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal P } { \left( V \right) }
}
{ \defeq} { \begin{cases} {\mathcal O}_{ X } (V), \text{ falls } V \subseteq U , \\ 0 \text{ sonst} \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und nennen die
\definitionsverweis {Vergarbung}{}{}
davon ${\mathcal O}_U$. Der natürliche Prägarbenhomomorphismus
\maabb {} { { \mathcal P } } {{\mathcal O}_{ X }
} {}
führt nach
Lemma 5.2 (4)
zu einem Garbenhomomorphismus
\maabbdisp {} { { \mathcal O}_U } {{\mathcal O}_{ X }
} {.}
Dieser ist injektiv. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Hom} { \left( { \mathcal O}_U , { \mathcal I } \right) }
}
{ =} { \Gamma { \left( U, { \mathcal I } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da ${ \mathcal I }$ injektiv ist, lässt sich jedes Element daraus zu einem Element aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Hom} { \left( { \mathcal O}_X , { \mathcal I } \right) }
}
{ =} { \Gamma { \left( X, { \mathcal I } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
fortsetzen. Dies bedeutet, dass die Restriktionsabbildung
\maabb {} { \Gamma { \left( X, { \mathcal I } \right) } } { \Gamma { \left( U, { \mathcal I } \right) }
} {}
surjektiv ist.