Kurs:Diskrete Mathematik/12/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | |
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Punkte | 3 | 3 | 3 | 4 | 7 | 6 | 1 | 3 | 0 | 0 | 3 | 3 | 0 | 2 | 0 | 9 | 0 | 0 | 0 | 47 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein Ring .
- Relation/Rechtseindeutig/Definition/Begriff
- Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen und .
- Ungerichteter Graph/Untergraph/Voll/Definition/Begriff
- Ungerichteter Graph/Weg/Länge/Definition/Begriff
- Ungerichteter Graph/Gradmatrix/Definition/Begriff
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Division mit Rest für die ganzen Zahlen.
- Der Multinomialsatz für einen kommutativen Halbring.
- Die eulersche Polyederformel.
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme die Anzahl der Tripel mit
Aufgabe * (4 Punkte)
Es seien und Mengen und seien und Teilmengen. Zeige die Gleichheit
Aufgabe * (7 Punkte)
Beweise den Satz über die Anzahl von fixpunktfreien Permutationen.
Aufgabe * (6 (1+1+1+1+2) Punkte)
Wir definieren die Folge (der sogenannten Bernoulli-Zahlen) , , durch und für durch die rekursive Bedingung
- Berechne .
- Berechne .
- Berechne .
- Berechne .
- Zeige, dass alle rationale Zahlen sind.
Aufgabe * (1 Punkt)
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei ein kommutativer Ring. Zu jedem sei
die Multiplikation mit . Zeige, dass genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.
Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (3 Punkte)
Es seien ganze Zahlen und die davon erzeugte Untergruppe. Zeige, dass eine ganze Zahl genau dann ein gemeinsamer Teiler der ist, wenn ist, und dass genau dann ein größter gemeinsamer Teiler ist, wenn ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Es seien und endliche Mengen mit bzw. Elementen und sei
eine Abbildung. Wie viele Abbildungen
mit
gibt es?
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (2 Punkte)
Bestimme die Automorphismengruppe des abgebildeten Graphen.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (9 Punkte)
Beweise den Fünf-Farben-Satz.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)