Kurs:Diskrete Mathematik/17/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | |
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Punkte | 3 | 3 | 0 | 3 | 8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 7 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 24 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine Gruppe.
- Die Eigenschaft, dass eine natürliche Zahl eine natürliche Zahl teilt
- Verband/Komplementär/Definition/Begriff
- Ungerichteter Graph/Sterngraph/Definition/Begriff
- Ungerichteter Graph/Blatt/Definition/Begriff
- Ungerichteter Graph/Adjazenzmatrix/Definition/Begriff
- Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit einer
Verknüpfung
heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
- Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle gilt
- Das Element ist ein neutrales Element, d.h. für alle gilt
- Zu jedem gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein mit
- Man sagt, dass die natürliche Zahl die natürliche Zahl teilt, wenn es eine natürliche Zahl derart gibt, dass ist.
- Verband/Komplementär/Definition/Begriff/Inhalt
- Ungerichteter Graph/Sterngraph/Definition/Begriff/Inhalt
- Ungerichteter Graph/Blatt/Definition/Begriff/Inhalt
- Ungerichteter Graph/Adjazenzmatrix/Definition/Begriff/Inhalt
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Lösbarkeit von Gleichungen in einer Gruppe .
- /Fakt/Name
- /Fakt/Name
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Die Hochschule „Tellerrand“ bietet lediglich Fächer an, nämlich Hethitologie, Assyriologie, Ägyptologie und Semitistik. Sie bietet lediglich -Fächer-Bachelor an in beliebiger Fächerkombination. Wie viele Fächerkombinationen gibt es (es wird nicht zwischen Erst- und Zweitfach unterschieden)? Skizziere ein Mengendiagramm, das die Studentenschaft mit ihren Fächern widergibt. Die zu einem Fach gehörenden Studenten und Studentinnen sollen dabei durch ein zusammenhängendes Gebiet dargestellt werden.
Es gibt Möglichkeiten.
Aufgabe (8 Punkte)
Es seien endliche Mengen mit bzw. Elementen. Wir betrachten die Abbildung
die durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen gegeben ist. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn
ist.
Sei zuerst
Wir nennen das Minimum rechts . Wir wählen Teilmengen und mit jeweils Elementen und eine bijektive Abbildung
Diese erweitern wir zu einer Abbildung
indem wir die Werte zu Elementen aus irgendwie festlegen. Das Bild von besitzt zumindest Elemente. Diese Abbildung kann nicht durch faktorisieren, da weniger als Elemente besitzt.
Es sei nun
Dabei sei zunächst
Daher gibt es eine injektive Abbildung von nach , und wir fixieren eine injektive Abbildung
Es sei
vorgegeben. Wir definieren
durch
wobei fixiert ist. Dabei ist
nach Konstruktion.
Es sei nun
Bei ist die Aussage direkt klar, sei also . Dann gibt es eine surjektive Abbildung von nach , und wir fixieren eine surjektive Abbildung
Es sei
vorgegeben. Wir definieren
durch
wobei ein Element mit
ist. Dabei ist
nach Konstruktion.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (7 (2+1+2+2) Punkte)
Zeige, dass für natürliche Zahlen folgende Aussagen gelten.
- Für teilerfremde ist
- Es gibt
mit
wobei teilerfremd sind.
- Es ist
- Es ist
- Zunächst ist natürlich das Produkt ein gemeinsames Vielfaches von und . Es sei also irgendein gemeinsames Vielfaches, also
und .
Nach
Satz 6.1 (Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020))
gibt es im teilerfremden Fall Zahlen
mit
.
Daher ist
ein Vielfaches von .
- Die Existenz von und ist klar. Hätten und einen gemeinsamen Teiler , so ergäbe sich sofort der Widerspruch, dass ein größerer gemeinsamer Teiler von und wäre.
- Die rechte Seite ist offenbar ein gemeinsames Vielfaches von und . Es sei ein Vielfaches der linken Seite, also ein gemeinsames Vielfaches von und . Dann kann man und schreiben. Damit ist und somit ist (bei ; bei ist die Behauptung direkt klar) ein gemeinsames Vielfaches von und . Also ist ein Vielfaches der rechten Seite.
- Wir schreiben unter Verwendung der ersten Teile
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
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Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)