Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 9/latex

\setcounter{section}{9}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Was bedeutet das linke Bild auf der Kursseite?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne für die \definitionsverweis {Permutation}{}{} \wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8 } }
{ $\sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf {2} {5} {7} {3} {1} }
{\mazeileunddrei {4} {8} {6} } die Anzahl der \definitionsverweis {Fehlstände}{}{} und das \definitionsverweis {Vorzeichen}{}{.}

}
{} {}

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Zwei Elemente $g,h \in G$ heißen \definitionswort {vertauschbar}{,} wenn $gh=hg$ gilt.

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass zwei \definitionsverweis {Permutationen}{}{} mit disjunktem \definitionsverweis {Wirkungsbereich}{}{} \definitionsverweis {vertauschbar}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{} der Ordnung $6$. Für welche
\mathl{n \in \N}{} lässt sich $G$ als Untergruppe der \definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{} $S_n$ realisieren?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei $\pi$ eine \definitionsverweis {Permutation}{}{} auf $M$. Die zugehörige
\betonung{Permutationsmatrix}{} $M_\pi$ ist dadurch gegeben, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{ \pi (i),i} }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist und alle anderen Einträge $0$ sind. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M_\pi }
{ =} { \operatorname{sgn}(\pi ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $M$ eine endliche Menge und sei $\sigma$ eine \definitionsverweis {Permutation}{}{} auf $M$ und
\mathl{x \in M}{.} Zeige, dass
\mathl{{ \left\{ n \in \Z \mid \sigma^n(x)=x \right\} }}{} eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $\Z$ ist. Den eindeutig bestimmten nichtnegativen Erzeuger dieser Untergruppe bezeichnen wir mit
\mathl{\operatorname{ord}_{x} {\sigma}}{.} Zeige die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (\sigma) }
{ =} {\operatorname{kgV} { \left\{ \operatorname{ord}_{x} {\sigma} \mid x \in M \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass die \zusatzklammer {eigentliche} {} {} Würfelgruppe \definitionsverweis {isomorph}{}{} zur \definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{} $S_4$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $G=\Z/(n)$ eine \definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{} der \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $n$. Bestimme für jedes Element $g \in G$ das \definitionsverweis {Signum}{}{} der zugehörigen Permutation (der Addition mit $g$).

}
{} {(Vergleiche hierzu Beispiel 9.8)}

\inputaufgabe
{3}
{

Für eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ bezeichne $T(G)$ die Menge aller Elemente mit endlicher \definitionsverweis {Ordnung}{}{} in $G$. Zeige folgende Aussagen. \aufzaehlungdrei{Ist $G$ abelsch, so ist $T(G)$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $G$. }{Ist $T(G)$ eine Untergruppe, so ist $T(G)$ ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} in $G$. }{Es gibt eine Gruppe $G$, für die $T(G)$ keine Untergruppe von $G$ ist. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $\sigma$ ein \definitionsverweis {Zykel}{}{} der Ordnung $n$. Zeige, dass man $\sigma$ als Produkt von $n-1$ \definitionsverweis {Transpositionen}{}{} schreiben kann, aber nicht mit einer kleineren Anzahl von Transpositionen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $m \geq n$. Wie viele injektive Abbildungen gibt es von ${ \{ 1 , \ldots , n \} }$ nach $\{ 1 , \ldots , m \}$ und wie viele surjektive Abbildungen gibt es von $\{ 1 , \ldots , m \}$ nach ${ \{ 1 , \ldots , n \} }$?

}
{} {}

Für die nächste Vorlesung empfehlen wir, sich an die Begriffe \stichwort {Skalarprodukt} {} und \stichwort {euklidischer Vektorraum} {} zu erinnern, siehe hier.