Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 8

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Sei eine Gruppe und ein Element mit dem (nach Lemma 5.5) zugehörigen Gruppenhomomorphismus

Beschreibe die kanonische Faktorisierung von gemäß Korollar 8.2.


Aufgabe

Zeige mit Hilfe der Homomorphiesätze, dass zyklische Gruppen mit der gleichen Ordnung isomorph sind.


Aufgabe

Seien und Gruppen und seien und Gruppenhomomorphismen mit surjektiv und mit . Bestimme den Kern des induzierten Homomorphismus


Aufgabe

Sei eine Primzahl. Definiere einen Gruppenhomomorphismus

der und alle anderen Primzahlen auf schickt.


Aufgabe

Berechne für die Permutation mit

die Potenzen und und gebe die Zyklendarstellung für diese drei Permutationen an.


Aufgabe

Sei eine Menge und sei eine Permutation. Definiere auf die Relation durch

Zeige, dass eine Äquivalenzrelation auf ist. Wie sieht es aus, wenn man nur zulässt, und wie, wenn endlich ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Gruppenhomomorphismen zwischen zwei zyklischen Gruppen. Welche sind injektiv und welche sind surjektiv?


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme sämtliche Gruppen mit vier Elementen.


In der folgenden Aufgabe wird das Zentrum einer Gruppe verwendet.

Sei eine Gruppe. Das Zentrum von ist die Teilmenge


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Gruppe. Zeige, dass das Zentrum ein Normalteiler in ist. Man bringe das Zentrum in Zusammenhang mit dem Gruppenhomomorphismus

Was ist das Bild von diesem Homomorphismus, und was besagen die Homomorphiesätze in dieser Situation?


Aufgabe (3 Punkte)

Sei die Gruppe der eigentlichen Bewegungen an einem Würfel. Man gebe eine möglichst lange Kette von sukzessiven Untergruppen

an derart, dass zwischen und keine weitere Untergruppe liegen kann.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine Menge und sei eine Abbildung. Zeige, dass genau dann injektiv ist, wenn ein Linksinverses besitzt, und dass genau dann surjektiv ist, wenn ein Rechtsinverses besitzt.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine Menge und sei eine Partition von , d.h. jedes ist eine Teilmenge von und ist die disjunkte Vereinigung der . Zeige, dass die Produktgruppe

eine Untergruppe von ist.



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