Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Euklidische Vektorräume/Textabschnitt

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Euklidische Vektorräume


Definition (Skalarprodukt)  

Sei ein reeller Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf ist eine Abbildung

mit folgenden Eigenschaften:

  1. Es ist

    für alle , und ebenso in der zweiten Komponente.

  2. Es ist

    für alle .

  3. Es ist für alle und genau dann, wenn ist.

Die dabei auftretenden Eigenschaften heißen Bilinearität, Symmetrie und positive Definitheit.


Beispiel  

Auf dem ist die Abbildung

ein Skalarprodukt, das man das Standardskalarprodukt nennt. Eine einfache Rechnung zeigt, dass dies in der Tat ein Skalarprodukt ist.



Definition (Euklidischer Vektorraum)  

Ein reeller, endlichdimensionaler Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist, heißt euklidischer Vektorraum.

Zu einem euklidischen Vektorraum ist jeder Untervektorraum selbst wieder ein euklidischer Vektorraum, da man das Skalarprodukt auf einschränken kann und dabei die definierenden Eigenschaften erhalten bleiben.


Definition (Orthonormalbasis)  

Sei ein euklidischer Vektorraum. Eine Basis von heißt Orthonormalbasis, wenn

gilt.

Mit Hilfe des Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren kann man leicht zeigen, dass es in jedem euklidischen Vektorraum Orthonormalbasen gibt, siehe Aufgabe.


Definition (Orthogonales Komplement)  

Sei ein euklidischer Vektorraum und ein Untervektorraum. Dann heißt

das orthogonale Komplement von .

Aus der Existenz von Orthonormalbasen folgt, dass das orthogonale Komplement zu einem Unterraum in einem euklidischen Vektorraum die Eigenschaft besitzt, dass eine direkte Summenzerlegung

vorliegt.