Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Euklidische Vektorräume/Textabschnitt

Euklidische Vektorräume

Definition (Skalarprodukt)

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf ${}V$ ist eine Abbildung

$V\times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

mit folgenden Eigenschaften:

1. Es ist

   ${}\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$

   für alle ${}\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R}$, ${}x_{1},x_{2}\in V$ und ebenso in der zweiten Komponente.

2. Es ist

   ${}\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$

   für alle ${}v,w\in V$.

3. Es ist ${}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle ${}v\in V$ und ${}\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.

Die dabei auftretenden Eigenschaften heißen Bilinearität, Symmetrie und positive Definitheit.

Beispiel

Auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist die Abbildung

$\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,w)=({\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)},{\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}v_{i}w_{i},$

ein Skalarprodukt, das man das Standardskalarprodukt nennt. Einfache Rechnungen zeigen, dass dies in der Tat ein Skalarprodukt ist.

Definition (Euklidischer Vektorraum)

Ein reeller, endlichdimensionaler Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist, heißt euklidischer Vektorraum.

Zu einem euklidischen Vektorraum ${}V$ ist jeder Untervektorraum ${}U\subseteq V$ selbst wieder ein euklidischer Vektorraum, da man das Skalarprodukt auf ${}U$ einschränken kann und dabei die definierenden Eigenschaften erhalten bleiben.

Definition (Orthonormalbasis)

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum. Eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ heißt Orthonormalbasis, wenn

$\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle =1{\text{ für }}{\text{alle }}i{\text{ und }}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$

gilt.

Mit Hilfe des Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren kann man leicht zeigen, dass es in jedem euklidischen Vektorraum Orthonormalbasen gibt, siehe Aufgabe.

Definition (Orthogonales Komplement)

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Dann heißt

${}U^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\,$

das orthogonale Komplement von ${}U$.

Aus der Existenz von Orthonormalbasen folgt, dass das orthogonale Komplement zu einem Unterraum in einem euklidischen Vektorraum die Eigenschaft besitzt, dass eine direkte Summenzerlegung

${}V=U\oplus U^{\perp }\,$

vorliegt.