Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 9

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Was bedeutet das linke Bild auf der Kursseite?


Aufgabe

Berechne für die Permutation

die Anzahl der Fehlstände und das Vorzeichen.


Sei eine Gruppe. Zwei Elemente heißen vertauschbar, wenn gilt.


Aufgabe

Zeige, dass zwei Permutationen mit disjunktem Wirkungsbereich vertauschbar sind.


Aufgabe

Sei eine zyklische Gruppe der Ordnung . Für welche lässt sich als Untergruppe der Permutationsgruppe realisieren?


Aufgabe

Sei und sei eine Permutation auf . Die zugehörige Permutationsmatrix ist dadurch gegeben, dass

ist und alle anderen Einträge sind. Zeige, dass

ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine endliche Menge und sei eine Permutation auf und . Zeige, dass eine Untergruppe von ist. Den eindeutig bestimmten nichtnegativen Erzeuger dieser Untergruppe bezeichnen wir mit . Zeige die Beziehung


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die (eigentliche) Würfelgruppe isomorph zur Permutationsgruppe ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine zyklische Gruppe der Ordnung . Bestimme für jedes Element das Signum der zugehörigen Permutation (der Addition mit ).

(Vergleiche hierzu Beispiel 9.8)

Aufgabe (3 Punkte)

Für eine Gruppe bezeichne die Menge aller Elemente mit endlicher Ordnung in . Zeige folgende Aussagen.

  1. Ist abelsch, so ist eine Untergruppe von .
  2. Ist eine Untergruppe, so ist ein Normalteiler in .
  3. Es gibt eine Gruppe , für die keine Untergruppe von ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein Zykel der Ordnung . Zeige, dass man als Produkt von Transpositionen schreiben kann, aber nicht mit einer kleineren Anzahl von Transpositionen.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei . Wie viele injektive Abbildungen gibt es von nach und wie viele surjektive Abbildungen gibt es von nach ?


Für die nächste Vorlesung empfehlen wir, sich an die Begriffe Skalarprodukt und euklidischer Vektorraum zu erinnern, siehe hier.


<< | Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)