Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 9

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Was bedeutet das linke Bild auf der Kursseite?

Aufgabe

Berechne für die Permutation

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}\sigma (x)$	${}2$	${}5$	${}7$	${}3$	${}1$	${}4$	${}8$	${}6$

die Anzahl der Fehlstände und das Vorzeichen.

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zwei Elemente ${}g,h\in G$ heißen vertauschbar, wenn ${}gh=hg$ gilt.

Aufgabe

Zeige, dass zwei Permutationen mit disjunktem Wirkungsbereich vertauschbar sind.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine zyklische Gruppe der Ordnung ${}6$. Für welche ${}n\in \mathbb {N}$ lässt sich ${}G$ als Untergruppe der Permutationsgruppe ${}S_{n}$ realisieren?

Aufgabe

Es sei ${}M={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei ${}\pi$ eine Permutation auf ${}M$. Die zugehörige Permutationsmatrix ${}M_{\pi }$ ist dadurch gegeben, dass

${}a_{\pi (i),i}=1\,$

ist und alle anderen Einträge ${}0$ sind. Zeige, dass

${}\det M_{\pi }=\operatorname {sgn} (\pi )\,$

ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine endliche Menge und sei ${}\sigma$ eine Permutation auf ${}M$ und ${}x\in M$. Zeige, dass ${}{\left\{n\in \mathbb {Z} \mid \sigma ^{n}(x)=x\right\}}$ eine Untergruppe von ${}\mathbb {Z}$ ist. Den eindeutig bestimmten nichtnegativen Erzeuger dieser Untergruppe bezeichnen wir mit ${}\operatorname {ord} _{x}{\sigma }$. Zeige die Beziehung

${}\operatorname {ord} \,(\sigma )=\operatorname {kgV} {\left\{\operatorname {ord} _{x}{\sigma }\mid x\in M\right\}}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die (eigentliche) Würfelgruppe isomorph zur Permutationsgruppe ${}S_{4}$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}G=\mathbb {Z} /(n)$ eine zyklische Gruppe der Ordnung ${}n$. Bestimme für jedes Element ${}g\in G$ das Signum der zugehörigen Permutation (der Addition mit ${}g$).

(Vergleiche hierzu Beispiel 9.8)

Aufgabe (3 Punkte)

Für eine Gruppe ${}G$ bezeichne ${}T(G)$ die Menge aller Elemente mit endlicher Ordnung in ${}G$. Zeige folgende Aussagen.

1. Ist ${}G$ abelsch, so ist ${}T(G)$ eine Untergruppe von ${}G$.
2. Ist ${}T(G)$ eine Untergruppe, so ist ${}T(G)$ ein Normalteiler in ${}G$.
3. Es gibt eine Gruppe ${}G$, für die ${}T(G)$ keine Untergruppe von ${}G$ ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}\sigma$ ein Zykel der Ordnung ${}n$. Zeige, dass man ${}\sigma$ als Produkt von ${}n-1$ Transpositionen schreiben kann, aber nicht mit einer kleineren Anzahl von Transpositionen.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}m\geq n$. Wie viele injektive Abbildungen gibt es von ${}{\{1,\ldots ,n\}}$ nach ${}\{1,\ldots ,m\}$ und wie viele surjektive Abbildungen gibt es von ${}{\{1,\ldots ,n\}}$ nach ${}\{1,\ldots ,m\}$?

Für die nächste Vorlesung empfehlen wir, sich an die Begriffe Skalarprodukt und euklidischer Vektorraum zu erinnern, siehe hier.