Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesung 13/latex

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\setcounter{section}{13}






\zwischenueberschrift{Einheiten}




\inputdefinition
{}
{

Ein Element $u$ in einem \definitionsverweis {Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {Einheit}{,} wenn es ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ uv }
{ =} { vu }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}

Das Element $v$ mit der Eigenschaft
\mathl{uv=vu=1}{} ist dabei eindeutig bestimmt. Hat nämlich auch $w$ die Eigenschaft
\mathl{uw=wu=1}{,} so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v }
{ =} {v_1 }
{ =} { v (u w) }
{ =} { 1w }
{ =} {w }
} {}{}{.} Das im Falle der Existenz eindeutig bestimmte $v$ mit
\mathl{uv=1}{} nennt man das (multiplikativ)
\definitionswortenp{Inverse}{} zu $u$ und bezeichnet es mit
\mathdisp {u^{-1}} { . }
Im kommutativen Fall muss man natürlich nur die Eigenschaft
\mathl{uv=1}{} überprüfen. Eine Einheit ist stets ein Nichtnullteiler. Aus
\mathl{ux=0}{} folgt ja sofort
\mathl{x=u^{-1}ux=0}{.}




\inputdefinition
{}
{

Die \definitionswort {Einheitengruppe}{} in einem \definitionsverweis {Ring}{}{} $R$ ist die Teilmenge aller \definitionsverweis {Einheiten}{}{} in $R$. Sie wird mit $R^{\times}$ bezeichnet.

}

Die Menge aller Einheiten in einem Ring bilden in der Tat eine Gruppe (bzgl. der Multiplikation mit $1$ als neutralem Element). Wenn \mathkor {} {v} {und} {w} {} die Inversen \mathkor {} {v^{-1}} {und} {w^{-1}} {} haben, so ist das Inverse von $vw$ gleich
\mathl{w^{-1}v^{-1}}{.}

Zu einer Einheit
\mathl{u\in R}{} machen auch Potenzen mit einem negativen Exponenten Sinn, d.h. es ist dann $u^n$ für
\mathl{n\in\Z}{} definiert. Die Zahl $-1$ \zusatzklammer {also das Negative zu $1$} {} {} ist stets eine Einheit, da ja
\mathl{(-1)(-1)=1}{} ist. Bei $\Z$ besteht die Einheitengruppe aus diesen beiden Elementen, also
\mathl{\Z^{\times} =\{1,-1\}}{.} Die Null ist mit der Ausnahme des Nullrings nie eine Einheit. Für eine Einheit ist auch die \stichwort {Bruchschreibweise} {} erlaubt und gebräuchlich. D.h. wenn $u$ eine Einheit ist und $x\in R$ beliebig, so setzt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ u } } }
{ =} { xu^{-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wie gesagt, der Nenner muss eine Einheit sein!

Wenn außer der Null alle Elemente Einheiten sind, so verdient das einen eigenen Namen, wovon der folgende Abschnitt handelt.






\zwischenueberschrift{Körper}

Viele wichtige Zahlbereiche haben die Eigenschaft, dass man durch jede Zahl \zusatzgs {mit der Ausnahme der Null!} {} auch dividieren darf. Dies wird durch den Begriff des Körpers präzisiert.




\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {Körper}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist und wenn jedes von $0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

}

Es sind also die rationalen Zahlen $\Q$, die reellen Zahlen $\R$ und die komplexen Zahlen ${\mathbb C}$ Körper, die ganzen Zahlen dagegen nicht. Wir werden im Laufe dieser Vorlesung noch viele weitere Körper kennenlernen. Einen Körper kann man auch charakterisieren als einen kommutativen Ring, bei der die von null verschiedenen Elemente eine Gruppe \zusatzklammer {mit der Multiplikation} {} {} bilden.




\inputdefinition
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Ein \definitionsverweis {Unterring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} der zugleich ein Körper ist, heißt \definitionswort {Unterkörper}{} von $K$.

}

Wenn ein Unterring
\mathl{R \subseteq K}{} in einem Körper vorliegt, so muss man nur noch schauen, ob $R$ mit jedem von null verschiedenen Element $x$ auch das Inverse $x^{-1}$ \zusatzklammer {das in $K$ existiert} {} {} enthält. Bei einem Unterring
\mathl{R \subseteq S}{,} wobei $R$ ein Körper ist, aber $S$ nicht, so spricht man nicht von einem Unterkörper. Die Situation, wo ein Körper in einem anderen Körper liegt, wird als Körpererweiterung bezeichnet.




\inputdefinition
{}
{

Sei $L$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Unterkörper}{}{} von $L$. Dann heißt $L$ ein \definitionswort {Erweiterungskörper}{} \zusatzklammer {oder \definitionswort {Oberkörper}{}} {} {} von $K$ und die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt eine \definitionswort {Körpererweiterung}{.}

}






\zwischenueberschrift{Ringhomomorphismen}




\inputdefinition
{}
{

Seien \mathkor {} {R} {und} {S} {} \definitionsverweis {Ringe}{}{.} Eine Abbildung \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} heißt \definitionswort {Ringhomomorphismus}{,} wenn folgende Eigenschaften gelten: \aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(a+b) }
{ = }{\varphi(a) + \varphi(b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(1) }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(a \cdot b) }
{ = }{\varphi(a) \cdot \varphi(b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}

Ein Ringhomomorphismus ist also zugleich ein Gruppenhomomorphismus für die additive Struktur und ein Monoidhomomorphismus für die multiplikative Struktur. Einen bijektiven Ringhomomorphismus nennt man einen
\definitionswortenp{Ringisomorphismus}{,} und zwei Ringe heißen
\definitionswortenp{isomorph}{,} wenn es einen Ringisomorphismus zwischen ihnen gibt. Zu einem Unterring
\mathl{S \subseteq R}{} ist die natürliche Inklusion ein Ringhomomorphismus. Die konstante Abbildung \maabb {} {R} {0 } {} in den Nullring ist stets ein Ringhomomorphismus, dagegen ist die umgekehrte Abbildung, also \maabb {} {0} {R } {,} nur bei
\mathl{R=0}{} ein Ringhomomorphismus.





\inputfaktbeweis
{Ringhomomorphismus/Z nach R/Kanonisch/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Sei $R$ ein \definitionsverweis {Ring}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen eindeutig bestimmten \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {\Z} {R } {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Ein Ringhomomorphismus muss die $1$ auf die $1_R$ abbilden. Deshalb gibt es nach Lemma 5.5 genau einen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} {\Z} {(R,+,0) } {n} {n 1_R } {.} Wir müssen zeigen, dass diese Abbildung auch die Multiplikation respektiert, d.h. dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (mn)1_R }
{ = }{ (m 1_R) *(n 1_R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} ist, wobei $*$ hier die Multiplikation in $R$ bezeichnet. Dies folgt aber aus dem allgemeinen Distributivgesetz.

}


Den in dieser Aussage konstruierten und eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus nennt man auch den \stichwort {kanonischen Ringhomomorphismus} {} \zusatzklammer {oder den \stichwort {charakteristischen Ringhomomorphismus} {}} {} {} von $\Z$ nach $R$.




\inputdefinition
{}
{

Die \definitionswort {Charakteristik}{} eines \definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{} $R$ ist die kleinste positive natürliche Zahl $n$ mit der Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n \cdot 1_R }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die Charakteristik ist $0$, falls keine solche Zahl existiert.

}

Die Charakteristik beschreibt genau den Kern des obigen kanonischen \zusatzklammer {charakteristischen} {} {} Ringhomomorphismus.





\inputfaktbeweis
{Integritätsbereich/Charakteristik ist Primzahl/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} von $R$ null oder eine Primzahl.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die Charakteristik sei
\mathl{n >0}{}  und es sei angenommen, dass $n$ keine Primzahl ist, also eine Zerlegung
\mathl{n=ab}{} mit kleineren Zahlen
\mathl{0 < a,b <n}{} besitzt. Nach Definition der Charakteristik ist
\mathl{n_R=0}{} in $R$ und $n$ ist die kleinste positive Zahl mit dieser Eigenschaft. Aufgrund von Satz 13.7 ist
\mathl{a_R b_R =n_R=0}{,} so dass, weil $R$ ein Integritätsbereich ist, einer der Faktoren null sein muss, im Widerspruch zur Minimalität von $n$.

}






\inputfaktbeweis
{Ring/Ringhomomorphismus nach Endomorphismenring/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Sei $R$ ein \definitionsverweis {Ring}{}{} und sei $\operatorname{End} (R)$ der \definitionsverweis {Endomorphismenring}{}{} der additiven Gruppe
\mathl{(R,+,0)}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen kanonischen injektiven \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} {R} {\operatorname{End} (R) } {f} {(g \mapsto fg) } {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Für jedes
\mathl{f \in R}{} ist die Multiplikation \maabbeledisp {\mu_f} {R} {R } {g} {fg } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{,} wie direkt aus der Distributivität und der Eigenschaft
\mathl{f0=0}{} folgt. Die Gesamtabbildung ist also wohldefiniert.

Für die Gesamtzuordnung
\mathl{f \mapsto \mu_f}{} gilt zunächst
\mathl{\mu_0=0}{} und
\mathl{\mu_1=\operatorname{id}=1}{.} Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\mu_{f_1+f_2} (g) }
{ =} {(f_1+f_2)g }
{ =} {f_1g+f_2g }
{ =} {\mu_{f_1}(g) + \mu_{f_2}(g) }
{ =} {(\mu_{f_1} + \mu_{f_2})(g) }
} {}{}{} für jedes
\mathl{g \in R}{} ist $\mu$ additiv. Die Multiplikativität folgt aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\mu_{f_1f_2} (g) }
{ =} {f_1f_2g }
{ =} {\mu_{f_1} (f_2g) }
{ =} {\mu_{f_1} (\mu_{f_2} (g)) }
{ =} {( \verknuepfung { \mu_{f_2}} {\mu_{f_1} }) (g) }
} {}{}{.}

Schließlich ist die Abbildung injektiv, da aus
\mathl{\mu_f=0}{} folgt, dass insbesondere
\mathl{f=f1=0}{} sein muss.

}


\inputfaktbeweistrivial
{Ringhomomorphismus/Einheit auf Einheit/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Seien \mathkor {} {R} {und} {S} {} \definitionsverweis {Ringe}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.} Es sei
\mathl{u \in R^{\times}}{} eine \definitionsverweis {Einheit}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch
\mathl{\varphi(u)}{} eine Einheit.}
\faktzusatz {Mit anderen Worten: Ein Ringhomomorphismus induziert einen Gruppenhomomorphismus \maabbdisp {} { R^{\times}} { S^{\times} } {.}}
\faktzusatz {}


}







\zwischenueberschrift{Ideale}

Wir beschränken uns im Folgenden auf kommutative Ringe, um nicht zwischen Linksidealen, Rechtsidealen und beidseitigen Idealen unterscheiden zu müssen.




\inputdefinition
{}
{

Eine Teilmenge ${\mathfrak a}$ eines \definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{} $R$ heißt \definitionswort {Ideal}{,} wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: \aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ \in }{ {\mathfrak a} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b }
{ \in }{ {\mathfrak a} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+b }
{ \in }{ {\mathfrak a} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{ {\mathfrak a} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ra }
{ \in }{ {\mathfrak a} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}

Ein Ideal ist eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der additiven Gruppe von $R$, die zusätzlich die zweite oben angeführte Eigenschaft erfüllt. Die einfachsten Ideale sind das
\definitionswortenp{Nullideal}{} $0$ und das
\definitionswortenp{Einheitsideal}{} $R$.

Für den Ring der ganzen Zahlen $\Z$ sind Untergruppen und Ideale identische Begriffe. Dies folgt einerseits aus der Gestalt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H }
{ = }{ \Z d }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für jede Untergruppe von $\Z$ \zusatzklammer {die ihrerseits aus der Division mit Rest folgt} {} {,} aber ebenso direkt aus der Tatsache, dass für
\mathl{k \in H}{} und beliebiges
\mathl{r \in \N}{} gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{rk }
{ = }{k+k + \cdots + k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {$r$ Summanden} {} {} und entsprechend für negatives $r$. Die Skalarmultiplikation mit einem beliebigen Ring\-element lässt sich also bei $\Z$ auf die Addition zurückführen.




\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} $\mathfrak a$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{\mathfrak a} }
{ =} {(a) }
{ =} {Ra }
{ =} {\{ra:\, r \in R\} }
{ } {}
} {}{}{} heißt \definitionswort {Hauptideal}{.}

}

Wir werden auf Hauptideale im Rahmen der Teilbarkeitstheorie bald zurückkommen.




\inputdefinition
{}
{

Zu einer Familie von Elementen
\mathbed {a_j \in R} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ bezeichnet
\mathl{(a_j: j \in J)}{} das von den $a_j$ \definitionswort {erzeugte Ideal}{.} Es besteht aus allen \zusatzklammer {endlichen} {} {} \definitionswort {Linearkombinationen}{}
\mathdisp {\sum_{j \in J_0} r_j a_j} { , }
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J_0 }
{ \subseteq }{J }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine endliche Teilmenge und
\mathl{r_j \in R}{} ist.

}

Es handelt sich dabei um das kleinste Ideal in $R$, das alle
\mathbed {a_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,} enthält. Dass ein solches Ideal existiert ist auch deshalb klar, weil der Durchschnitt von einer beliebigen Familie von Idealen wieder ein Ideal ist. Ein Hauptideal ist demnach ein Ideal, das von einem Element erzeugt wird.

Die Idealtheorie in einem Ring reflektiert viele Eigenschaften des Ringes, worauf wir im Rahmen der Teilbarkeitstheorie zurückkommen werden. Eine erste Beobachtung in diese Richtung kommt im folgenden Lemma zum Ausdruck.





\inputfaktbeweis
{Körper/Genau zwei Ideale/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind folgende Aussagen äquivalent. \aufzaehlungzwei { $R$ ist ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} } {Es gibt in $R$ genau zwei \definitionsverweis {Ideale}{}{.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wenn $R$ ein Körper ist, so gibt es das Nullideal und das Einheitsideal, die voneinander verschieden sind. Sei $I$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$. Dann enthält $I$ ein Element
\mathl{x\neq 0}{,} das eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist. Damit ist
\mathl{1=xx^{-1}\in I}{} und damit
\mathl{I=R}{.}

Sei umgekehrt $R$ ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen. Dann kann $R$ nicht der Nullring sein. Sei nun $x$ ein von $0$ verschiedenes Element in $R$. Das von $x$ erzeugte \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} $Rx$ ist $\neq 0$ und muss daher mit dem anderen Ideal, also mit dem Einheitsideal übereinstimmen. Das heißt insbesondere, dass
\mathl{1 \in Rx}{} ist. Das bedeutet also
\mathl{1=x r}{} für ein
\mathl{r \in R}{,} so dass $x$ eine Einheit ist.

}







\zwischenueberschrift{Ideale unter einem Ringhomomorphismus}

Der Zusammenhang zwischen \definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{} und \definitionsverweis {Idealen}{}{} wird durch folgenden Satz hergestellt.





\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Kern ist Ideal/Fakt}
{Satz}
{}
{

Seien $R$ und $S$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.} Dann ist der \definitionsverweis {Kern}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi }
{ =} { { \left\{ f \in R \mid \varphi(f) = 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$.

}
{

Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I }
{ \defeq} {\varphi^{-1}(0) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(0) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} ist
\mathl{0 \in I}{.} Seien
\mathl{a,b \in I}{.} Das bedeutet \mathkor {} {\varphi(a)=0} {und} {\varphi(b)=0} {.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(a+b) }
{ =} {\varphi(a) + \varphi(b) }
{ =} {0+0 }
{ =} {0 }
{ } {}
} {}{}{} und daher
\mathl{a+b \in I}{.}

Sei nun \mathkor {} {a \in I} {und} {r \in R} {} beliebig. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(ra) }
{ =} {\varphi(r) \varphi(a) }
{ =} {\varphi(r) \cdot 0 }
{ =} {0 }
{ } {}
} {}{}{,} also ist
\mathl{ra \in I}{.}

}


Da ein Ringhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus der zugrunde liegenden additiven Gruppe ist, gilt wieder das Kernkriterium für die \definitionsverweis {Injektivität}{}{.} Eine Anwendung davon ist das folgende Korollar.





\inputfaktbeweis
{Ringhomomorphismus/Körper nach Ring nicht null/Injektiv/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $S$ ein vom \definitionsverweis {Nullring}{}{} verschiedener \definitionsverweis {Ring}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {K} {S } {} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ injektiv.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es genügt nach Lemma 5.12 zu zeigen, dass der Kern der Abbildung gleich $0$ ist. Nach Satz 13.6 ist der Kern ein Ideal. Da die $1$ auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1 }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} geht, ist der Kern nicht ganz $K$. Da es nach Lemma 13.15 in einem Körper überhaupt nur zwei Ideale gibt, muss der Kern das Nullideal sein.

}



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