Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2011-2012)/Arbeitsblatt 10

Aufgabe

Zeige, dass die folgenden Teilmengen ${}T$ der natürlichen Zahlen arithmetisch repräsentierbar sind.

1. Eine konkrete endliche Menge ${}\{n_{1},\ldots ,n_{k}\}$.
2. Die Menge aller Vielfachen von ${}5$.
3. Die Menge der Primzahlen.
4. Die Menge der Quadratzahlen.
5. Die Menge der Zahlen, in deren Primfaktorzerlegung jeder Exponent maximal ${}1$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass die folgenden Abbildungen ${}\varphi \colon \mathbb {N} ^{r}\rightarrow \mathbb {N}$ arithmetisch repräsentierbar sind.

1. Die Addition

   $\mathbb {N} ^{2}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y)\longmapsto x+y.$

2. Die Multiplikation

   $\mathbb {N} ^{2}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y)\longmapsto x\cdot y.$

3. Die eingeschränkte Subtraktion

   $\mathbb {N} ^{2}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y)\longmapsto \operatorname {max} _{}^{}{\left(x-y,0\right)},$

   die bei ${}y>x$ den Wert ${}0$ besitzt.

4. Die Restfunktion

   $\mathbb {N} ^{2}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,(n,t)\longmapsto r(n,t),$

   die den Rest (zwischen ${}0$ und ${}t-1$) bei Division von ${}n$ durch ${}t$ angibt.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {N} ^{r}\longrightarrow \mathbb {N} ^{s}$

eine Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann arithmetisch repräsentierbar ist, wenn sämtliche Komponentenfunktionen ${}\varphi _{i}$, ${}1\leq i\leq s$, arithmetisch repräsentierbar sind.

Aufgabe

Zeige explizit, dass die in Vorlesung 8 besprochenen Registerprogramme (also ihre zugehörigen Programmabbildungen) arithmetisch repräsentierbar sind.

Aufgabe

Zeige, dass die ${}\beta$- Funktion arithmetisch repräsentierbar ist.

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