Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Arbeitsblatt 21

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein konkretes Registerprogramm ${}P$ gegeben. Ist es grundsätzlich menschenmöglich, zu entscheiden, ob dieses anhält oder nicht? Was bedeutet das für die Churchsche These?

Aufgabe

Beschreibe für die in Vorlesung 18 besprochenen Registerprogramme die Konfigurationsfolge bei Nulleingabe.

Aufgabe

Erstelle für das Registerprogramm (mit keinem Register und leerer Anfangsbelegung)

1. Halte an

den zugehörigen arithmetischen Ausdruck, der die Anhalteeigenschaft beschreibt.

Aufgabe

Erstelle für das Registerprogramm (mit zwei Registern ${}R_{1},R_{2}$ und leerer Anfangsbelegung)

1. ${}1+$
2. ${}2-$
3. Halte an

den zugehörigen arithmetischen Ausdruck, der die Anhalteeigenschaft beschreibt.

Aufgabe

Es sei ${}S$ ein Symbolalphabet und ${}L^{S}$ die zugehörige Sprache erster Stufe, wobei die Sprache zumindest eine Variable besitzen möge. Es sei ${}T\subseteq L_{0}^{S}$ eine Theorie. Zeige, dass ${}T$ genau dann widersprüchlich ist, wenn ${}T=L_{0}^{S}$ ist.

Aufgabe

Kann es ein Entscheidungsverfahren für mathematisch relevante Untertheorien ${}T\subseteq L_{0}^{\rm {Ar}}$ geben?

Aufgabe

Kann es ein Entscheidungsverfahren für die Symbolalphabete ${}\{0,1,+\}$ bzw. ${}\{0,1,\cdot \}$ (jeweils mit Variablen) geben? Wo geht bei der Arithmetisierung der Registerprogramme die Addition und wo die Multiplikation ein?

Aufgabe

Gibt es offene zahlentheoretische Probleme, die ohne Bezug auf die Addition oder ohne Bezug auf die Multiplikation formuliert werden können?

Aufgabe

Kann es mathematische Probleme innerhalb entscheidbarer Theorien geben?

Aufgabe

Zeige, dass eine endlich axiomatisierbare Theorie auch durch einen einzigen Ausdruck axiomatisierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq L^{S}$ eine aufzählbar axiomatisierbare Theorie und ${}\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in L^{S}$. Zeige, dass dann auch

${}T'={\left(T\cup \{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}\right)}^{\vdash }\,$

aufzählbar axiomatisierbar ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Erstelle für das Registerprogramm (mit zwei Registern ${}R_{1},R_{2}$ und leerer Anfangsbelegung)

1. ${}1+$
2. ${}C(2,1)$
3. Halte an

den zugehörigen arithmetischen Ausdruck, der die Anhalteeigenschaft beschreibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Begründe, dass die (durch die erststufigen Peano-Axiome definierte) Peano-Arithmetik aufzählbar-axiomatisierbar ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es zwischen der erststufigen Peano-Arithmetik und der Standardarithmetik unendlich viele Theorien gibt.