Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Arbeitsblatt 20

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die folgenden Teilmengen der natürlichen Zahlen arithmetisch repräsentierbar sind.

  1. Eine konkrete endliche Menge .
  2. Die Menge aller Vielfachen von .
  3. Die Menge der Primzahlen.
  4. Die Menge der Quadratzahlen.
  5. Die Menge der Zahlen, in deren Primfaktorzerlegung jeder Exponent maximal ist.


Aufgabe

Zeige, dass die folgenden Abbildungen arithmetisch repräsentierbar sind.

  1. Die Addition
  2. Die Multiplikation
  3. Die eingeschränkte Subtraktion

    die bei den Wert besitzt.

  4. Die Restfunktion

    die den Rest (zwischen und ) bei Division von durch angibt.


Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

mit

arithmetisch repräsentierbar ist.


Aufgabe

Es sei

eine Abbildung und der zugehörige Graph, also die Menge

Zeige, dass genau dann arithmetisch repräsentierbar ist, wenn (als Relation) arithmetisch repräsentierbar ist.


Aufgabe

Zeige explizit, dass die in Vorlesung 18 besprochenen Registerprogramme (also ihre zugehörigen Programmabbildungen) arithmetisch repräsentierbar sind.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

eine Abbildung. Zeige, dass genau dann arithmetisch repräsentierbar ist, wenn sämtliche Komponentenfunktionen , , arithmetisch repräsentierbar sind.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die -Funktion arithmetisch repräsentierbar ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass es nur abzählbar viele arithmetisch repräsentierbare Relationen gibt.



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