Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Arbeitsblatt 27

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass eine ${}K$- Modallogik, in der das Möglichkeitsaxiom und das Löb-Axiom gelten, bereits widersprüchlich ist.

Aufgabe

Zeige, dass das universelle modallogische Modell zu einer einzigen Aussagenvariable ${}p$ bereits unendlich ist.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine maximal widerspruchsfreie modallogische Ausdrucksmenge. Zeige, dass ${}T$ vollständig ist, dass also für jedes ${}\alpha \in L$ die Alternative „Entweder ${}\alpha \in T$ oder ${}\neg \alpha \in T$“ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine maximal widerspruchsfreie modallogische Ausdrucksmenge, die die ${}K$- Modallogik umfasse und in der die Nezessisierungsregel gelte. Zeige, dass in ${}T$ entweder das Leerheitsaxiom oder das Fatalismusaxiom gilt.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine maximal widerspruchsfreie modallogische Ausdrucksmenge, die die ${}K$- Modallogik umfasse und in der es einen paradoxen Ausdruck gebe. Zeige, dass ${}T$ nicht unter der Nezessisierungsregel abgeschlossen ist.

Die folgende Aufgabe kann man wegen Aufgabe 25.6 insbesondere auf die Beweisbarkeitslogik anwenden.

Aufgabe

Wir setzen

${}\bot :=p\wedge \neg p\,.$

Es sei ${}\Gamma$ eine ${}K$- Modallogik, in der

$\Gamma \vdash \Box \bot \leftrightarrow \Box \neg \Box \bot$

ableitbar ist. Zeige, dass es keine widerspruchsfreie Erweiterung

${}\Gamma \subseteq {\tilde {\Gamma }}\,$

gibt, die aussagenlogisch und unter der Nezessierungsregel abgeschlossen ist.

Aufgabe

Es sei ${}K=K^{\vdash }$ die ${}K$- Modallogik und sei ${}U$ das universelle modallogische Modell. Zeige

${}K=\bigcap _{W\in U}W\,.$

Aufgabe

Ist das universelle modallogische Modell symmetrisch, reflexiv, transitiv? Ist das universell symmetrische modallogische Modell reflexiv?

Aufgabe

Es sei ${}(U,R,\nu )$ das universelle modallogische Modell. Kann man auf ${}(U,R)$ auch eine andere Wahrheitsbelegung definieren?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für ein modallogisches Modell ${}(M,R,\nu )$, eine Welt ${}w\in M$ und einen modallogischen Ausdruck ${}\alpha \rightarrow \beta$ mit

$(M,R,\nu ,w)\vDash \alpha \rightarrow \beta ,$

aber

$(M,R,\nu ,w)\not \vDash \Box \alpha \rightarrow \Box \beta .$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}(M,S,\mu )$ ein modallogisches Modell und ${}(U,R,\nu )$ das universelle modallogische Modell. Zeige, dass durch

$M\longrightarrow U,\,w\longmapsto (M,S,\mu ,w)^{\vDash },$

eine Abbildung definiert ist, die ein Homomorphismus (bezüglich der zweistelligen Relationen ${}S$ und ${}R$) ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}(M,R,\mu )$ ein modallogisches Modell für die ${}S5$- Modallogik. Zeige, dass für zueinander erreichbare Welten ${}v,w\in M$ die Gültigkeitsmengen verschieden sein können, dass aber für jeden Ausdruck ${}(M,R,\mu ,v)\vDash \Box \alpha$ genau dann gilt, wenn ${}(M,R,\mu ,w)\vDash \Box \alpha$ gilt.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}\Gamma$ eine modallogische Ausdrucksmenge und ${}\alpha$ ein modallogischer Ausdruck. Es sei ${}\Gamma \vDash \alpha$. Zeige, dass es eine endliche Teilmenge ${}\Gamma _{e}\subseteq \Gamma$ mit ${}\Gamma _{e}\vDash \alpha$ gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass in der ${}K$- Modallogik das Schema

$\Box \alpha \wedge \Diamond \beta \rightarrow \Diamond \alpha$

ableitbar ist.

Aufgabe (2 Punkte)

In einem ${}K$- modallogischen System ${}S$ gelte das Axiomenschema

$\alpha \rightarrow \Diamond \Box \alpha .$

Zeige, dass man in ${}S$ das Möglichkeitsaxiom

$\Box \alpha \rightarrow \Diamond \alpha$

ableiten kann.

Aufgabe (3 Punkte)

Charakterisiere die modallogischen Rahmen, in denen (bei jeder Wahrheitsbelegung) das Axiomenschema

$\alpha \rightarrow \Diamond \Box \alpha$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass aus dem ${}K$- modallogischen Axiomenschema

$\alpha \rightarrow \Diamond \Box \alpha$

nicht das Axiomenschema

$\alpha \rightarrow \Box \Diamond \alpha$

ableitbar ist.

In dieser Woche können Sie noch Aufgaben aus dem Kurs, die sie noch nicht oder nicht mit voler Punktzahl bearbeitet haben, nachreichen.