Kurs:Elementare Algebra/2/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 4 }
\renewcommand{\azwei}{ 4 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 7 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 7 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 6 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 63 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungacht{Eine \stichwort {Gruppe} {} $G$.
}{Eine \stichwort {zyklische} {} Gruppe $G$.
}{Ein \stichwort {Ring} {} $R$.
}{Die \stichwort {komplexe Konjugation} {.}
}{Der \stichwort {Polynomring} {} in einer Variablen $X$ über einem kommutativen Ring $R$.
}{Ein \stichwort {idempotentes} {} Element $e$ in einem kommutativen Ring $R$.
}{Der
\stichwort {algebraische Abschluss} {}
zu einer Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein aus einer Teilmenge
\mathl{T \subseteq E}{} einer Ebene $E$ \stichwort {elementar konstruierbarer} {} Kreis $C$.
}
}
{
\aufzaehlungacht{Eine Gruppe $G$ ist ein
\definitionsverweis {Monoid}{}{,}
in dem jedes Element ein inverses Element besitzt.
}{Eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$ heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.
}{Ein Ring $R$ ist eine Menge mit zwei
\definitionsverweis {Verknüpfungen}{}{}
\mathkor {} {+} {und} {\cdot} {}
und mit zwei ausgezeichneten Elementen
\mathkor {} {0} {und} {1} {}
derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
\aufzaehlungdrei{
\mathl{(R, +,0)}{} ist eine
\definitionsverweis {abelsche Gruppe}{}{.}
}{
\mathl{(R, \cdot,1)}{} ist ein
\definitionsverweis {Monoid}{}{.}
}{Es gelten die Distributivgesetze, also
\mathkor {} {a \cdot (b+c) = ( a \cdot b) + (a \cdot c)} {und} {(b+c) \cdot a = ( b \cdot a) + (c \cdot a)} {}
für alle
\mathl{a,b,c \in R}{.}}
}{Die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z = a+b { \mathrm i} } { \overline{ z } = a-b { \mathrm i}
} {,}
heißt komplexe Konjugation.
}{Der Polynomring über $R$ besteht aus allen Polynomen
\mathbedtermdisp { P=a_0 + a_1X+a_2X^2 + \cdots + a_nX^n }
{ mit } { a_i \in R, \, i = 0 , \ldots , n }
{ } { n \in \N } { } { } { , }
und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^n \cdot X^m
}
{ \defeq} { X^{n+m}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert ist.
}{Das Element heißt \stichwort {idempotent} {,} wenn
\mathl{e^2=e}{} gilt.
}{Man nennt die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {{ \left\{ x \in L \mid x \text{ ist algebraisch über } K \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den \stichwort {algebraischen Abschluss} {} von $K$ in $L$.
}{Ein Kreis
\mathl{C \subseteq E}{} heißt aus $M$ elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte
\mathbed {Z,S \in M} {}
{Z \neq S} {}
{} {} {} {,}
derart gibt, dass der Kreis mit dem Mittelpunkt $Z$ und durch den Punkt $S$ gleich $C$ ist.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungvier{Der \stichwort {Homomorphiesatz} {} für Ringhomomorphismen.}{Die Charakterisierung für Restklassenkörper eines Hauptidealbereiches $R$.}{Der \stichwort {kleine Fermat} {.}}{Der Satz über das \stichwort {Delische Problem} {.}}
}
{
\aufzaehlungvier{Seien
\mathkor {} {R, S} {und} {T} {}
kommutative Ringe, es sei
\maabb {\varphi} {R} { S
} {}
ein Ringhomomorphismus und
\maabb {\psi} {R} {T
} {}
ein surjektiver Ringhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \psi
}
{ \subseteq} {\operatorname{kern} \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} { T} {S
} {}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ = }{ \tilde{\varphi} \circ \psi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}{Es sei $p \in R,\, p \neq 0$. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.
\aufzaehlungdrei{$p$ ist ein Primelement.
}{
\mathl{R/(p)}{} ist ein Integritätsbereich.
}{
\mathl{R/(p)}{} ist ein Körper.
}}{Für eine Primzahl $p$ und eine beliebige ganze Zahl $a$ gilt
\mathdisp {a^p\equiv a\mod p} { . }
}{Die Würfelverdopplung
\definitionsverweis {mit Zirkel und Lineal}{}{}
ist nicht möglich.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung
\maabbeledisp {\mu_f} {R} {R
} {g} {fg
} {,}
wann $f$ ein
\definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{}
und wann $f$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist.
}
{
Die Multiplikationsabbildung ist ein Gruppenhomomorphismus, wie direkt aus dem Distributivitätsgesetz folgt. Es gilt:
$f$ ist ein Nichtnullteiler genau dann, wenn für alle $g\in R$ aus $fg=0$ folgt $g=0$. Dies ist genau dann der Fall, wenn der Kern von $\mu_f$ nur aus $0$ besteht, was genau dann gilt, wenn $\mu_f$ injektiv ist.
$f$ ist eine Einheit genau dann, wenn es ein $g\in R$ gibt mit $fg=1$, was genau dann der Fall ist, wenn $1$ zum Bild von $\mu_f$ gehört. Dies wiederum ist äquivalent dazu, dass $\mu_f$ surjektiv ist, denn aus $fg=1$ folgt sofort $h=(fg)h=f(gh)$ für jedes $h\in R$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Führe in $\Z/(5)[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=X^3+4X^2+3X+4} {und} {T=3X^2+2X+1} {} durch.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^3+4X^2+3X+4
}
{ =} { { \left( 3X^2+2X+1 \right) } 2 X + X +4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es sei
\mathl{P \in {\mathbb C}[X]}{} ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} {P(z)
} {,}
surjektiv ist.
}
{
Es sei
\mathl{c \in {\mathbb C}}{} vorgegeben. Da $P$ nicht konstant ist, ist auch
\mathl{P(z)-c}{} nicht konstant und besitzt nach dem
Fundamentalsatz der Algebra
eine Nullstelle. Also gibt es ein
\mathl{w\in {\mathbb C}}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(w)-c
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(w)
}
{ =} {c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
}
{
Angenommen, die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir
\mathl{\{p_1,p_2 , \ldots , p_r\}}{.} Man betrachtet die Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N
}
{ =} {p_1\cdot p_2\cdot p_3 { \cdots } p_r\ + 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Zahl ist durch keine der Primzahlen $p_i$ teilbar, da bei Division von $N$ durch $p_i$ immer ein Rest $1$ verbleibt. Damit sind die Primfaktoren von $N$, die es nach
Fakt *****
geben muss, nicht in der Ausgangsmenge enthalten - Widerspruch.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2 (1+1)}
{
a) Berechne den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} der ganzen Zahlen \mathkor {} {2 \cdot 3^2 \cdot 7^4} {und} {2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^{11} \cdot 7} {.}
b) Berechne den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} der ganzen Zahlen \mathkor {} {2 \cdot 3^2 \cdot 6 \cdot 7} {und} {2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^{4}} {.}
}
{
a) Beide Zahlen liegen in ihrer Primfaktorzerlegung vor, daher ist nach
Korollar 9.10
der größte gemeinsame Teiler gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2 \cdot 3^2 \cdot 7
}
{ =} {126
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{6
}
{ =} {2\cdot 3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
daher lautet die Primfaktorzerlegung der ersten Zahl
\mathdisp {2^2 \cdot 3^3 \cdot 7} { }
und somit ist der größte gemeinsame Teiler gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^2 \cdot 3^3
}
{ =} { 4 \cdot 27
}
{ =} {108
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Berechne
\mathl{17^{1000000}}{} in
\mathl{\Z/(35)}{.}
}
{
Der Zahl $17$ entspricht in
\mathl{\Z/(35) \cong \Z/(5) \times \Z/(7)}{} das Paar
\mathl{(2,3)}{.} Das Element $2$ hat in
\mathl{\Z/(5)}{} die Ordnung $4$. Das Element $3$ hat in
\mathl{\Z/(7)}{} wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{3^2
}
{ = }{2
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{3^3
}
{ = }{6
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Ordnung $6$. Somit besitzt $17$ die multiplikative Ordnung $12$. In
\mathl{\Z/(12)}{} gilt
\zusatzklammer {durch abziehen von Vielfachen von \mathlk{12}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1000000
}
{ =} {40000
}
{ =} {4000
}
{ =} {400
}
{ =} {40
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {4
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Daher ist die gefragte Potenz in Produktschreibweise gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (2^4,3^4)
}
{ =} { (4^2, 2^2)
}
{ =} { (1,4)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diesem Paar entspricht das Element $11$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}(N)}{} eines
\definitionsverweis {Normalteilers}{}{}
\mathl{N \subseteq H}{} ein Normalteiler in $G$ ist.
}
{
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ \defeq} { \varphi^{-1} (N)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mathl{x \in G}{} und
\mathl{y \in M}{.} Wir müssen zeigen, dass
\mathl{xyx^{-1}}{} ebenfalls zu $M$ gehört. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(xyx^{-1})
}
{ =} { \varphi(x) \varphi( y) ( \varphi(x))^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mathl{\varphi(y) \in N}{} und da $N$ ein Normalteiler ist, gehört dies zu $N$. Also ist
\mathl{xyx^{-1} \in \varphi^{-1}(N)=M}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Berechne in
\mathdisp {\Z/(7)[X]/(X^3+4X^2+X+5)} { }
das Produkt
\mathdisp {(2x^2+5x+3) \cdot (3x^2+x+6)} { }
\zusatzklammer {$x$ bezeichne die Restklasse von $X$} {} {.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^3
}
{ =} {3x^2+6x +2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x^4
}
{ =} {x( 3x^2+6x +2 )
}
{ =} {3x^3 +6x^2 +2x
}
{ =} {3 (3x^2+6x +2)+6x^2 +2x
}
{ =} {x^2 +6x +6
}
}
{}
{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{(2x^2+5x+3) \cdot (3x^2+x+6)
}
{ =} { 6x^4 +3 x^3 + 5 x^2 + 5 x +4
}
{ =} { 6(x^2 +6x +6) +3 (3x^2+6x +2)+ 5 x^2 + 5 x +4
}
{ =} { 6x^2 +3x +4
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3 (1+2)}
{
Das Polynom
\mathl{X^3-7X^2+3X-21}{} besitzt in $\R[X]$ die Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^3-7X^2+3X-21
}
{ =} { (X-7)(X^2+3)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in irreduzible Faktoren und daher gilt die Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R[X]/(X^3-7X^2+3X-21)
}
{ \cong} { \R[X]/ (X-7) \times \R[X]/(X^2+3)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element
\mathl{(1,0)}{} entspricht.
a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element
\mathl{(0,1)}{} entspricht.
}
{
a) Wir betrachten Vielfache von
\mathl{X^2+3}{,} da diese in der zweiten Komponente auf $0$ gehen. Das Polynom
\mathl{X^2+3}{} wird auf
\mathdisp {( 52 ,0)} { }
abgebildet, daher ist
\mathdisp {{ \frac{ X^2+3 }{ 52 } }} { }
das Urbild des ersten Basisvektors.
b) Wir betrachten Vielfache von
\mathl{X-7}{,} da diese in der ersten Komponente auf $0$ gehen. Das Polynom
\mathl{X-7}{} geht auf
\mathdisp {\left( 0 , \, X-7 \right)} { }
und das Polynom
\mathl{X(X-7)=X^2-7X}{} geht auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( 0 , \, X^2-7X \right)
}
{ =} { \left( 0 , \, -7X -3 \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit geht
\mathl{7(X-7) + X(X-7)}{} auf
\mathdisp {\left( 0 , \, -52 \right)} { }
und somit geht
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ - { \frac{ 1 }{ 52 } } { \left( 7(X-7) + X(X-7) \right) }
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 52 } } X^2 + { \frac{ 49 }{ 52 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
auf den zweiten Basisvektor.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{p \in \Z}{} eine Primzahl und
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
$\Z/(p^n)$ nur die beiden trivialen
\definitionsverweis {idempotenten Elemente}{}{}
\mathkor {} {0} {und} {1} {}
besitzt.
}
{
Es sei $e \in \Z/(p^n)$ ein idempotentes Element. Dies bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e^2
}
{ =} {e
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mathl{e(e-1)}{} ein Vielfaches von $p^n$, sagen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e(e-1)
}
{ =} { a p^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nehmen wir
\mathl{e \neq 0,1}{} an. Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung in $\Z$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e
}
{ =} { bp^i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e-1
}
{ =} { c p^j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{i+j
}
{ =} {n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wären
\mathl{i,j \geq 1}{,} so wäre sowohl
\mathkor {} {e} {als auch} {e-1} {}
ein Vielfaches von $p$, und das würde dann auch für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ = }{e- (e-1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelten, was nicht der Fall ist. Also ist
\mathkor {} {i=n} {oder} {j=n} {,}
was
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e-1
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Restklassenring
\mathl{\Z/(p^n)}{} bedeutet.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7}
{
Es seien
\mathkor {} {I} {und} {J} {}
\definitionsverweis {Ideale}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ und sei
\mathl{n \in \N}{.} Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(I+J)^n
}
{ =} { I^n + I^{n-1}J+ I^{n-2}J^2 + \cdots + I^2J^{n-2} + IJ^{n-1} +J^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Zum Beweis der Inklusion $\subseteq$ sei
\mathl{f \in (I+J)^n}{.} Da das Produkt von Idealen aus allen Summen von Produkten besteht, bedeutet dies, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { f_1 + f_2 + \cdots + f_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_\ell
}
{ =} { c_{\ell 1} \cdot c_{\ell 2} \cdots c_{\ell n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{c_{\ell r} \in I+J}{} ist. Dies bedeutet wiederum, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_{\ell r}
}
{ =} { a_{\ell r} + b_{\ell r}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathkor {} {a_{\ell r} \in I} {und} {b_{\ell r} \in J} {}
ist. Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_\ell
}
{ =} { { \left( a_{\ell 1} + b_{\ell 1} \right) } { \left( a_{\ell 2} + b_{\ell 2} \right) } \cdots { \left( a_{\ell n} + b_{\ell n} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn man ein solches Produkt distributiv ausrechnet, so erhält man eine Summe von Produkten mit $n$ Faktoren, wobei $s$ Faktoren zu $I$ und
\mathl{n-s}{} Faktoren zu $J$ gehören. Damit gehören diese Summanden zur rechten Seite und somit auch die $f_\ell$ und auch $f$.
Zum Beweis der Inklusion $\supseteq$ genügt es, die Inklusion $I^s J^{n-s} \subseteq (I+J)^n$ für jedes $s$ zu zeigen. Wegen
\mathl{I,J \subseteq I+J}{} ist aber sofort
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ I^s J^{n-s}
}
{ \subseteq} { (I+J)^s \cdot (I+J)^{n-s}
}
{ =} { (I+J)^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Bestimme sämtliche Teiler von $X$ im Ring $R=K[\Q_{\geq 0}]$, wobei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.
}
{
Die Teiler von $X$ sind genau die Elemente der Form
\mathdisp {aX^q \text{ mit } a \neq 0 \text{ und } q \in \Q_{\geq 0}, q \leq 1} { . }
Solche Elemente sind Teiler, da ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( aX^q \right) } { \left( a^{-1} X^{1-q} \right) }
}
{ =} { X^q X^{1-q}
}
{ =} {X^{q+1-q}
}
{ =} {X
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Wenn umgekehrt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{a_{q_1} X^{q_1} + a_{q_2} X^{q_2} + \cdots + a_{q_n} X^{q_n}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{0 \leq q_1< q_2 < \ldots < q_n}{} ein Teiler von $X$ ist, so gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{b_{r_1} X^{r_1} + b_{r_2} X^{r_2} + \cdots + b_{r_m} X^{r_m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit entsprechend
\mathl{0 \leq r_1< r_2 < \ldots < r_m}{} und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{PQ
}
{ =} {X
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei seien die angeführten Koeffizienten
\mathl{\neq 0}{.} Das Produkt ist daher von der Form
\mathdisp {a_{q_1} b_{r_1}X^{q_1 +r_1} + \cdots + a_{q_n} b_{r_n}X^{q_n +r_m}} { . }
Dies kann nur dann gleich $X$ sein, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q_1 +r_1
}
{ =} {q_n +r_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, was nur bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{m
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
möglich ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7 (1+2+4)}
{
a) Zeige, dass
\mathl{X^2+1}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
in $\Q[X]$ ist.
b) Zeige, dass
\mathl{X^4+1}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
in $\Q[X]$ ist.
\zusatzklammer {Tipp: In
\mathl{\R[X]}{} gilt die Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X^4+1
}
{ = }{ { \left( X^2+ \sqrt{2} X+1 \right) } { \left( X^2- \sqrt{2} X+1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {.} {}
c) Bestimme die
\definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ { \left( X^2+1 \right) } { \left( X^4+1 \right) } } }} { }
in
\mathl{\Q(X)}{.}
}
{
a) Das Polynom $X^2+1$ ist für rationale \zusatzklammer {auch reelle} {} {} Zahlen stets positiv und besitzt daher keine Nullstelle. Nach Lemma 6.9 ist es somit irreduzibel.
b) Über $\R$ hat man die Faktorisierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^4+1
}
{ =} { { \left( X^2+ \sqrt{2} X+1 \right) } { \left( X^2- \sqrt{2} X+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die beiden Faktoren haben keine reelle Nullstelle, da $X^4 +1$ stets positiv ist. Eine Zerlegung über $\Q$ würde zu der gegebenen Zerlegung über $\R$ führen, wegen
\mathl{\sqrt{2} \not\in \Q}{} gehören aber
\mathl{X^2+ \sqrt{2} X+1,\, X^2- \sqrt{2} X+1}{} nicht zu
\mathl{\Q[X]}{.} Das Polynom ist also irreduzibel in $\Q[X]$.
c) Wir machen den Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ { \left( X^4+1 \right) } { \left( X^2+1 \right) } } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ X^6 +X^4 +X^2+1 } }
}
{ =} { { \frac{ aX^3 + bX^2 +cX +d }{ X^4 +1 } } + { \frac{ eX+f }{ X^2 +1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner führt dies auf
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{1
}
{ =} { (aX^3 + bX^2 +cX +d )( X^2 +1) + (eX+f)(X^4 +1)
}
{ =} { ( a+e ) X^5 + ( b+f )X^4 + ( a+c )X^3 + ( b+d )X^2 + ( c+e )X + d+f
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+e
}
{ =} {b+f
}
{ =} {a+c
}
{ =} {b+d
}
{ =} {c+e
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {0
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d+f
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus
\mathdisp {a+e=0, \, a+c=0 \text{ und } c+e =0} { }
folgt durch Addition der ersten beiden Gleichungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2a
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {c
}
{ =} {e
}
{ =} {0
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b+f
}
{ =} {b+d
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d-f
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d
}
{ =} {f
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d+f
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d
}
{ =} {f
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Partialbruchzerlegung ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ { \left( X^4+1 \right) } { \left( X^2+1 \right) } } }
}
{ =} { { \frac{ - { \frac{ 1 }{ 2 } } X^2 + { \frac{ 1 }{ 2 } } }{ X^4 +1 } } + { \frac{ { \frac{ 1 }{ 2 } } }{ X^2 +1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Es sei
\mathl{q \in \Q}{} eine
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,}
die in $\Q$ keine dritte Wurzel besitzt. Bestimme den
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
$L$ des Polynoms
\mathl{X^3 -q}{} über $\Q$. Welchen
\definitionsverweis {Grad}{}{}
besitzt er? Man gebe auch eine Realisierung des Zerfällungskörpers als Unterkörper von ${\mathbb C}$ an.
}
{
Da $q$ keine dritte Wurzel in $\Q$ besitzt, ist das Polynom
\mathl{X^3-q}{} in
\mathl{\Q[X]}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[X]/(X^3-q)
}
{ =} {K
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Körpererweiterung vom Grad drei. Es sei
\mathl{r=\sqrt[3]{q}}{} die eindeutig bestimmte reelle dritte Wurzel aus $q$. Durch die Zuordnung
\mathl{X \mapsto r}{} können wir $K$ als Unterkörper von $\R$ auffassen. In $K$
\zusatzklammer {und in $L$} {} {}
hat das Polynom
\mathl{X^3-q}{} die Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^3-q
}
{ =} {X^3-r^3
}
{ =} { (X-r) (X^2 +rX+r^2 )
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da es in $\R$ nur eine dritte Wurzel gibt, und da $r$ keine Nullstelle des rechten Faktors ist, ist das Polynom
\mathdisp {X^2 +rX+r^2} { }
über $\R$ und erst recht über $K$ irreduzibel. Von daher ist $K$ nicht der Zerfäll\-ungskörper. In der quadratischen Erweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq} {K[Y]/(Y^2 + rY+r^2)
}
{ =} {L
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zerfällt das Polynom
\mathl{Y^2 + rY+r^2}{} und damit auch
\mathl{X^3-q}{} in Linearfaktoren. Der Grad des Zerfällungskörpers ist also
nach der Gradformel
gleich $6$.
Um eine Realisierung des Zerfällungskörpers in ${\mathbb C}$ zu erhalten, betrachten wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^2 + ry + r^2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Lösungen dazu sind in ${\mathbb C}$ gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { \pm \sqrt{-3} { \frac{ r }{ 2 } } - { \frac{ r }{ 2 } }
}
{ =} { \pm \sqrt{-3} { \frac{ \sqrt[3]{q} }{ 2 } } - { \frac{ \sqrt[3]{q} }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist der Zerfällungskörper gleich
\mathdisp {\Q[ \sqrt[3]{q} , \sqrt{-3}]} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele \definitionsverweis {konstruierbare}{}{} Punkte gibt.
}
{
Der Einheitskreis selbst ist konstruierbar, da er den Mittelpunkt
\mathl{(0,0)}{} besitzt und durch
\mathl{(1,0)}{} läuft. Der Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathrm i}
}
{ = }{(0,1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist ebenfalls konstruierbar und somit hat man auch die $y$-Achse zur Verfügung. Man kann nun den dadurch gegebenen rechten Winkel durch eine konstruierbare Gerade halbieren und erhält einen neuen Schnittpunkt mit dem Einheitskreis, der somit konstruierbar ist. Den entstehenden Winkel kann man wieder halbieren und so erhält man eine neue Gerade und einen neuen Punkt auf dem Einheitskreis. So fortfahrend erhält man unendlich viele Punkte auf dem Einheitskreis.
}