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Kurs:Elementare Algebra/3/Klausur mit Lösungen/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 5 }

\renewcommand{\afuenf}{ 4 }

\renewcommand{\asechs}{ 3 }

\renewcommand{\asieben}{ 2 }

\renewcommand{\aacht}{ 3 }

\renewcommand{\aneun}{ 2 }

\renewcommand{\azehn}{ 2 }

\renewcommand{\aelf}{ 3 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 6 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 8 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 5 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 2 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabelleachtzehn


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Ordnung} {} einer endlichen Gruppe $G$.

}{Der \stichwort {Binomialkoeffizient} {}
\mathl{\binom { n } { k }}{.}

}{Eine \stichwort {Körpererweiterung} {.}

}{Ein \stichwort {Hauptideal} {} in einem kommutativen Ring $R$.

}{Ein über einem Körper $K$ \stichwort {algebraisches} {} Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ A }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} einer $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} $A$.

}{Eine \stichwort {Fermatsche Primzahl} {.} }

}
{

\aufzaehlungsechs{Die Ordnung der Gruppe ist die Anzahl der Elemente von $G$. }{Der Binomialkoeffizient ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { n } { k } }
{ =} {{ \frac{ n ! }{ k  ! ( n - k)! } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert. }{Es sei $L$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{K \subseteq L}{} ein \definitionsverweis {Unterkörper}{}{} von $L$. Dann heißt die Inklusion
\mathl{K \subseteq L}{} heißt eine Körpererweiterung. }{Ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} $\mathfrak a$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{\mathfrak a} }
{ =} {(a) }
{ =} {Ra }
{ =} {\{ra:\, r \in R\} }
{ } {}
} {}{}{.} heißt Hauptideal. }{Das Element $f$ heißt algebraisch über $K$, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom
\mathl{P \in K[X]}{} mit
\mathl{P(f)=0}{} gibt. }{Eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} der Form
\mathl{2^{s}+1}{,} wobei $s$ eine positive \definitionsverweis {natürliche Zahl}{}{} ist, heißt Fermatsche Primzahl. }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz über die Lösbarkeit von Gleichungen} {} in einer Gruppe $G$.}{Das \stichwort {Lemma von Euklid} {} für einen Hauptidealbereich.}{Der \stichwort {Satz über endliche Körpererweiterungen von $\R$ } {.}}

}
{

\aufzaehlungdrei{Zu je zwei Gruppenelementen
\mathl{a,b \in G}{} besitzen die beiden Gleichungen
\mathdisp {a \circ x=b \text{ und } y \circ a=b} { }
eindeutige Lösungen
\mathl{x,y \in G}{.}}{Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und
\mathl{a , b , c \in R}{.} Es seien $a$ und $b$ teilerfremd und $a$ teile das Produkt $bc$. Dann teilt $a$ den Faktor $c$.}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\R }
{ \subseteq }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine endliche Körpererweiterung der reellen Zahlen. Dann ist $K$ isomorph zu \mathkor {} {\R} {oder zu} {{\mathbb C}} {.}}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und $R[X]$ der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $R$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von $R[X]$ genau die Einheiten von $R$ sind.

}
{

Es sei
\mathl{a \in R}{} eine Einheit. Dann gibt es ein
\mathl{b \in R}{} mit
\mathl{ab=1}{} und die gleiche Identität gilt auch im Polynomring. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R^{\times} }
{ \subseteq} { R[X]^{\times} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es sei nun
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} { \sum_{i = 0 }^d a_i X^{i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {\mathlk{a_d \neq 0}{}} {} {} eine Einheit in
\mathl{R[X]}{.} Dann gibt es ein Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q }
{ =} { \sum_{j = 0 }^e b_j X^{j} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {\mathlk{b_e \neq 0}{}} {} {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{PQ }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Da $R$ ein Integritätsbereich ist, ist
\mathl{a_db_e \neq 0}{} und das Produkt hat die Gestalt
\mathdisp {a_db_e X^{d+e} + \text{Terme von kleinerem Grad}} { . }
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d+e }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_d b_e }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} das Polynom ist also eine konstante Einheit.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} einen \definitionsverweis {Körper}{}{} bilden.

}
{

Die Körpereigenschaften für die komponentenweise definierte Addition sind klar, da die entsprechenden Eigenschaften für $\R$ gelten. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1 \cdot (a+b { \mathrm i} ) }
{ =} { a+b { \mathrm i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} somit ist die $1$ das neutrale Element der Multiplikation. Die Kommutativität der Multiplikation ist ebenfalls von der Formel her klar. Zum Nachweis der Assoziativität der Multiplikation berechnen wir
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( (a+b { \mathrm i} ) (c+d { \mathrm i} ) \right) } (e+f { \mathrm i} ) }
{ =} { { \left( ac-bd + (bc + ad) { \mathrm i} \right) } (e+f { \mathrm i} ) }
{ =} { (ac-bd) e -(bc+ad) f + { \left( (ac-bd )f + (bc + ad) e \right) } { \mathrm i} }
{ =} { ace-bd e -bcf -ad f + { \left( acf -bd f + bce + ad e \right) } { \mathrm i} }
{ } { }
} {} {}{.} Ebenso ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (a+b { \mathrm i} ) { \left( (c+d { \mathrm i} ) (e+f { \mathrm i} ) \right) } }
{ =} { (a+b { \mathrm i} ) { \left( ce - df + ( cf + de) { \mathrm i} \right) } }
{ =} { a (ce-df) - b ( cf+de) + { \left( b (ce-df ) + a(cf + de ) \right) } { \mathrm i} }
{ =} { ace-adf -bcf+ -b d e + { \left( bce -bd f + acf + ad e \right) } { \mathrm i} }
{ } { }
} {} {}{.} Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+b { \mathrm i} }
{ \neq} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist, so ist mindestens eine der Zahlen \mathkor {} {a} {oder} {b} {} von $0$ verschieden und damit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^2 +b^2 }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Somit ist
\mathl{{ \frac{ a }{ a^2+b^2 } } -{ \frac{ b }{ a^2+b^2 } } { \mathrm i}}{} eine komplexe Zahl und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( a+b { \mathrm i} \right) } { \left( { \frac{ a }{ a^2+b^2 } } -{ \frac{ b }{ a^2+b^2 } } { \mathrm i} \right) } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ a^2+b^2 } } { \left( a +b { \mathrm i} \right) } { \left( a-b { \mathrm i} \right) } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ a^2+b^2 } } { \left( a^2 +b^2 \right) } }
{ =} { 1 }
{ } {}
} {}{}{,} also besitzt jedes Element $\neq 0$ ein Inverses bezüglich der Multiplikation. Das Distributivgesetz folgt aus
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (a+b { \mathrm i} ) { \left( c+d { \mathrm i} + e+f { \mathrm i} \right) } }
{ =} { (a+b { \mathrm i} ) { \left( ( c+e) + (d+f) { \mathrm i} \right) } }
{ =} { a(c+e) -b(d+f) + ( a(d+f) +b(c+e) ) { \mathrm i} }
{ =} { ac+ae -bd-bf + ( ad+af +bc+be ) { \mathrm i} }
{ =} { ac-bd + (ad+bc) { \mathrm i} + ae-bf + (af+be) { \mathrm i} }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { (a+b { \mathrm i} ) { \left( c+d { \mathrm i} \right) } + (a+b { \mathrm i} ) { \left( e+f { \mathrm i} \right) } }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Finde im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{\Z/(2)[X]}{} ein \definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} vier.

}
{

Wir betrachten das Polynom
\mathdisp {F=X^4+X+1} { . }
Da weder \mathkor {} {0} {noch} {1} {} eine Nullstelle von $F$ sind, besitzt es keinen Linearfaktor. Die einzige verbleibende Faktorzerlegung wäre als ein Produkt von zwei irreduziblen Polynomen vom Grad zwei. Das einzige irreduzible Polynom vom Grad zwei ist
\mathl{X^2+X+1}{.} Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(X^2+X+1)^2 }
{ =} {X^4+X^2+1 }
{ \neq} {F }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist $F$ irreduzibel.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Zeige, dass im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X,Y]}{} über einem Körper $K$ das \definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{(X,Y)}{} kein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} ist.

}
{

Nehmen wir an, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(X,Y) }
{ =} {(F) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einem Polynom $F \in K[X,Y]$ ist. Dann ist insbesondere \mathkor {} {X =GF} {und} {Y= HF} {.} Betrachtet man die erste Gleichung als Gleichung in
\mathl{(K[Y])[X]}{,} so ergibt sich, dass $F$ zu $X$ assoziiert oder eine Einheit ist. Unter Berücksichtigung der zweiten Gleichung folgt, dass $F$ eine Einheit sein muss. In diesem Fall ist aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(X,Y) }
{ \subset} {(F) = K[X,Y] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} da keine Linearkombination von \mathkor {} {X} {und} {Y} {} gleich $1$ ist.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Es seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{.} Zeige, dass auch die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi^{-1}} {H} { G } {h} {\varphi^{-1}(h) } {,} ein Gruppenisomorphismus ist.

}
{

Dies folgt aus
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi^{-1} (h_1h_2) }
{ =} { \varphi^{-1} { \left( \varphi (\varphi^{-1} (h_1)) \varphi (\varphi^{-1} ( h_2)) \right) } }
{ =} { \varphi^{-1} { \left( \varphi { \left( \varphi^{-1} (h_1) \varphi^{-1} ( h_2) \right) } \right) } }
{ =} { \varphi^{-1} (h_1) \varphi^{-1}(h_2) }
{ } {}
} {} {}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache und den größten gemeinsamen Teiler der drei Zahlen
\mathdisp {3^4 \cdot 5^2,\, 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^1 \cdot 7^1,\, 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^2} { . }
Die Ergebnisse sollen ausgerechnet vorliegen.

}
{

Nach Fakt ***** \zusatzklammer {angewendet auf drei Zahlen} {} {} ist der größte gemeinsame Teiler gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3^2 \cdot 5^1 }
{ =} { 45 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und das kleinste geminsame Vielfache ist gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7 }
{ =} { 32 \cdot 81 \cdot 25 \cdot 7 }
{ =} { 2592 \cdot 175 }
{ =} { 453600 }
{ } { }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Stifte einen \definitionsverweis {surjektiven}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} von der \definitionsverweis {Gruppe}{}{} der komplexen Zahlen ohne null
\mathl{({\mathbb C} \setminus \{0\}, \cdot,1)}{} in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen
\mathl{(\R_+,\cdot,1 )}{.}

}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {} {{\mathbb C} \setminus \{1\}} { \R_+ } {z} { \betrag { z } } {.} Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ = }{a+b { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist dabei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { z } }
{ =} { \sqrt{ a^2+b^2 } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist \mathkor {} {a \neq 0} {oder} {b \neq 0} {,} sodass der Betrag positiv ist. Nach Lemma 3.15 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025))  (4) gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { zw } }
{ =} {\betrag { z } \betrag { w } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} daher liegt ein Gruppenhomomorphismus vor. Eine positive reelle Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{a +0 { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} wird auf $a$ selbst abgebildet, daher ist die Abbildung surjektiv.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Zeige, dass es in der \definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{\Q/\Z}{} zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Elemente gibt, deren \definitionsverweis {Ordnung}{}{} gleich $n$ ist.

}
{

Wir betrachten die Restklasse
\mathl{\left[ { \frac{ 1 }{ n } } \right]}{} zum Stammbruch
\mathl{{ \frac{ 1 }{ n } }}{.} Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n \left[ { \frac{ 1 }{ n } } \right] }
{ =} { \left[ { \frac{ n }{ n } } \right] }
{ =} { [1] }
{ =} { [0] }
{ =} {0 }
} {}{}{.} da ja $1$ zu $\Z$ gehört. Für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1 }
{ \leq} {k }
{ \leq} {n -1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist hingegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ k \left[ { \frac{ 1 }{ n } } \right] }
{ =} { \left[ { \frac{ k }{ n } } \right] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine rationale Zahl, die keine ganze Zahl ist. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ k \left[ { \frac{ 1 }{ n } } \right] }
{ \neq} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit ist $n$ die Ordnung von
\mathl{\left[ { \frac{ 1 }{ n } } \right]}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Beweise den Homomorphiesatz für Ringe unter Bezug auf den Homomorphiesatz für Gruppen.

}
{

Aufgrund von Fakt ***** gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus \maabbdisp {\tilde{\varphi}} {T} {S } {,} der die Eigenschaften erfüllt. Es ist also lediglich noch zu zeigen, dass $\tilde{\varphi}$ auch die Multiplikation respektiert. Es seien dazu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t,t' }
{ \in }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} und diese seien repräsentiert durch \mathkor {} {r} {bzw.} {r'} {} aus $R$. Dann wird $tt'$ durch $rr'$ repräsentiert und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{\varphi} (tt') }
{ =} { \varphi(rr') }
{ =} { \varphi(r)\varphi(r') }
{ =} { \tilde{\varphi} (t) \tilde{\varphi} (t') }
{ } {}
} {}{}{.} Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{\varphi} (1) }
{ =} { \tilde{\varphi} (\psi(1) ) }
{ =} { \varphi(1) }
{ =} { 1 }
{ } { }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Bestimme in $\Q[X]/(X^3+4X^2-7)$ das \definitionsverweis {Inverse}{}{} von ${ \frac{ 1 }{ 3 } } x+5$ \zusatzklammer {$x$ bezeichnet die Restklasse von $X$} {} {.}

}
{

Wir machen Division mit Rest von $X^3+4X^2-7$ durch ${ \frac{ 1 }{ 3 } } X+5$. Das ergibt
\mathdisp {X^3+4X^2-7 = { \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } X+5 \right) } { \left( 3X^2-33X+495 \right) } - 2482} { . }
Also ist
\mathdisp {{ \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } x+5 \right) } { \left( 3x^2-33x+495 \right) } = 2482 \mod X^3+4X^2-7} { }
und daher ist das Inverse von ${ \frac{ 1 }{ 3 } } X+5$ gegeben durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 2482 } } (3x^2-33x+495) }
{ =} { { \frac{ 3 }{ 2482 } } x^2 - { \frac{ 33 }{ 2482 } } x + { \frac{ 495 }{ 2482 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Beweise den kleinen Satz von Fermat.

}
{

Ist $a$ nicht durch $p$ teilbar, so definiert $a$ ein Element $\bar a$ in der \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
\mathl{{ \left( \Z/(p) \right) }^{\times}}{;} diese Gruppe hat die \definitionsverweis {Ordnung}{}{}
\mathl{p-1}{,} und nach dem Satz von Lagrange gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\bar a}^{p-1} }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Durch Multiplikation mit $a$ ergibt sich die Behauptung. Für Vielfache von $p$ gilt die Aussage ebenso, da dann beidseitig $0$ steht.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{6 (1+1+2+2)}
{

In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring $\Z/(360)$.

a) Schreibe $\Z/(360)$ als Produktring \zusatzklammer {im Sinne des chinesischen Restsatzes} {} {.}

b) Wie viele Einheiten besitzt $\Z/(360)$?

c) Schreibe das Element $239$ in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.

d) Berechne die Ordnung von $239$ in $\Z/(360)$.

}
{

a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{360 }
{ =} { 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(360) }
{ =} { \Z/(8) \times \Z/(9) \times \Z/(5) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b) Nach der Formel für die eulersche $\varphi$-Funktion ist die Anzahl der Einheiten gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(360) }
{ =} { 4 \cdot 6 \cdot 4 }
{ =} { 96 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

c) Die Reste von
\mathl{239}{} modulo
\mathl{8,9}{} und $5$ sind
\mathdisp {( 7 ,5 , 4)} { . }
Da jede Komponente teilerfremd zu den zugehörigen Modulozahlen sind, handelt sich es sich insgesamt um eine Einheit. Das Inverse ist
\mathdisp {(7, 2 ,4 )} { . }

d) Zur Berechnung der Ordnung von
\mathl{239}{} modulo $360$ schreiben wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( 7 ,5 , 4) }
{ =} { ( -1 ,5 ,-1) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Ordnung in der ersten und der dritten Komponente ist $2$, die Ordnung in der zweiten Komponente ist wegen
\mathl{5^2=7}{,}
\mathl{5^3=35=-1}{} gleich $6$, da ja
\mathl{\Z/(9) ^{\times}}{} die Ordnung $6$ besitzt. Daher ist die Ordnung von $239$ gleich $6$.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_1 , \ldots , s_k }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_n }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \sum_{i = 1}^k s_i \right) } \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n v_j \right) } }
{ =} { \sum_{ 1 \leq i \leq k,\, 1 \leq j \leq n } s_i \cdot v_j }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

Wir beweisen die Aussage durch eine Doppelinduktion über
\mathl{k,n \geq 1}{.} Die Fälle
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(k,n) }
{ =} { (1,1),\, (1,2),\, (2,1) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} sind unmittelbar klar bzw. folgen direkt aus den Axiomen für einen Vektorraum.

Die Aussage für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und beliebige $n$ beweisen für durch Induktion nach $n$, wobei der Induktionsanfang durch die Vorbemerkung gesichert ist. Es sei die Aussage für ein $n$ schon bewiesen, und seien
\mathl{n+1}{} Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n, v_{n+1} \in V}{} gegeben. Dann ist unter Verwendung des Falles
\mathl{(1,2)}{} und der Induktionsvoraussetzung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ s { \left( \sum_{j = 1}^{n+1} v_j \right) } }
{ =} { s { \left( \sum_{j = 1}^{n} v_j + v_{n+1} \right) } }
{ =} { s { \left( \sum_{j = 1}^{n} v_j \right) } + s v_{n+1} }
{ =} { \sum_{ 1 \leq j \leq n } s \cdot v_j + s v_{n+1} }
{ =} { \sum_{ 1 \leq j \leq n +1} s \cdot v_j }
} {} {}{.} Wir betrachten nun die Aussage für ein festes $k$ und beliebige $n$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist diese Aussage bereits bewiesen. Es sei diese Aussage nun für ein festes $k$ schon bewiesen Es seien Skalare $s_1 , \ldots , s_k ,s_{k+1}\in R$ und Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in V}{} gegeben. Dann ist unter Verwendung der Fälle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (k,n) }
{ = }{ (2 ,1 ), (1,n) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und der Induktionsvoraussetzung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( \sum_{i = 1}^{ k+1} s_i \right) } \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n v_j \right) } }
{ =} { { \left( \sum_{i = 1}^{ k} s_i + s_{k+1} \right) } \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n v_j \right) } }
{ =} { { \left( \sum_{i = 1}^{ k} s_i \right) } \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n v_j \right) } + s_{k+1} \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n v_j \right) } }
{ =} { \sum_{ 1 \leq i \leq k,\, 1 \leq j \leq n } s_i \cdot v_j + \sum_{j = 1}^n s_{k+1} \cdot v_j }
{ =} { \sum_{ 1 \leq i \leq k+1,\, 1 \leq j \leq n } s_i \cdot v_j }
} {} {}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{8}
{

Es sei
\mathl{x=\sqrt{2} + \sqrt{5} \in \R}{} und betrachte die Körpererweiterung
\mathdisp {\Q \subseteq \Q (x)= L} { . }
Zeige, dass diese Körpererweiterung algebraisch ist und bestimme den Grad der Körpererweiterung, das Minimalpolynom von $x$ und das Inverse von $x$. (Man darf dabei verwenden, dass
\mathl{\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{10}}{} irrationale Zahlen sind.)

}
{

Wir behaupten zunächst, dass
\mathdisp {L=\Q[ \sqrt{2}, \sqrt{5}] = (\Q[\sqrt{2} ])[ \sqrt{5}]} { }
ist. Als eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen ist dann $\Q \subseteq L$ algebraisch. Dabei ist die Inklusion $\subseteq$ klar. Es ist
\mathdisp {x^2=7 +2 \sqrt{10}, \, x^3 = 17 \sqrt{2} + 11 \sqrt{5}} { . }
Daraus ergibt sich
\mathdisp {\sqrt{2} = \frac{1}{6} (x^3- 11x )} { , }
sodass also $\sqrt{2}$ und damit auch $\sqrt{5}$ links dazu gehören, was die andere Inklusion ergibt.

Wir betrachten die Körperkette
\mathdisp {\Q \subseteq \Q[ \sqrt{2}] \subseteq \Q[\sqrt{2}, \sqrt{5}] =L} { . }
Dabei ist die Inklusion links echt, da $\sqrt{2}$ irrational ist, sodass links eine quadratische Körpererweiterung vorliegt. Aber auch die Inklusion rechts ist echt, denn andernfalls wäre
\mathdisp {\sqrt{5} =a +b \sqrt{2} \text{ mit } a,b \in \Q} { , }
was zu $5=a^2+2b^2+ab \sqrt{2}$ führt. Bei $a,b \neq 0$ ist das erneut im Widerspruch zur Irrationalität von $\sqrt{2}$. Bei $b=0$ ist das ein Widerspruch zur Irrationalität von $\sqrt{5}$. Bei $a=0$ ist das ein Widerspruch zur Irrationalität von $\sqrt{5/2}= \frac{1}{2} \sqrt{10}$.

Insgesamt liegt also eine Kette $\Q \subset K= \Q[\sqrt{2}] \subset L$ von quadratischen Körpererweiterungen vor, sodass aufgrund der Gradformel der Grad von $\Q \subset L$ gleich $4$ ist.

Zur Bestimmung des Minimalpolynoms von $x$ berechnen wir $x^4$, das ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^4 }
{ =} { { \left( 7 +2 \sqrt{10} \right) }^2 }
{ =} { 89+ 28 \sqrt{10} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Das Minimalpolynom ist gleich
\mathdisp {F=X^4 - 14 X^2 +9} { . }
Setzt man nämlich $x$ ein, so erhält man $0$. Da $x$ den Körper $L$ erzeugt, muss das Minimalpolynom den Grad $4$ haben, sodass $F$ das Minimalpolynom ist.

Zur Bestimmung des Inversen gehen wir von $x(x^3-14x)=-9$ aus. Daher ist das Inverse gleich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{-\frac{1}{9} { \left( x^3-14x \right) } }
{ =} { -\frac{1}{9} { \left( 17 \sqrt{2} + 11 \sqrt{5}-14 { \left( \sqrt{2} + \sqrt{5} \right) } \right) } }
{ =} { -\frac{1}{9} { \left( 3 \sqrt{2} -3 \sqrt{5} \right) } }
{ =} { - \frac{1}{3} \sqrt{2} + \frac{1}{3} \sqrt{5} }
{ } {}
} {} {}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise \mathkor {} {K_1} {und} {K_2} {,} wobei $K_1$ den Mittelpunkt
\mathl{(3,4)}{} und den Radius $6$ und $K_2$ den Mittelpunkt $(-8,1)$ und den Radius $7$ besitzt.

}
{

Die Kreisgleichungen der beiden Kreise sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x-3)^2 + (y-4)^2 }
{ =} { x^2 - 6x +y^2 -8 y +25 }
{ =} {36 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x+8)^2 + (y-1)^2 }
{ =} { x^2 + 16x +y^2 -2 y + 65 }
{ =} {49 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Differenz der beiden Gleichungen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 22x + 6y +40 }
{ =} { 13 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { { \frac{ -22 x -27 }{ 6 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies setzen wir in die erste Kreisgleichung ein und erhalten
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ x^2 -6x + { \left( { \frac{ -22 x -27 }{ 6 } } \right) }^2 -8 { \frac{ -22 x -27 }{ 6 } } -11 }
{ =} { x^2 + { \frac{ 121 }{ 9 } }x^2 -6x + 33 x + { \frac{ 81 }{ 4 } } + { \frac{ 88 }{ 3 } } x + 36 -11 }
{ =} { { \frac{ 130 }{ 9 } } x^2 + { \frac{ 169 }{ 3 } } x + { \frac{ 181 }{ 4 } } }
{ =} {0 }
{ } { }
} {} {}{.} Nach der Lösungsformel für eine quadratische Gleichung ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_{1,2} }
{ =} { { \frac{ - { \frac{ 169 }{ 3 } } \pm \sqrt{ { \frac{ 28561 }{ 9 } } -4 \cdot { \frac{ 130 }{ 9 } } \cdot { \frac{ 181 }{ 4 } } } }{ { \frac{ 260 }{ 9 } } } } }
{ =} { { \frac{ -169 \pm \sqrt{ 28561 - 130 \cdot 181 } }{ { \frac{ 260 }{ 3 } } } } }
{ =} { { \frac{ -3 \cdot 169 \pm 3 \sqrt{ 28561 - 23530 } }{ 260 } } }
{ =} { { \frac{ - 507 \pm 3 \sqrt{ 5031 } }{ 260 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ - 507 \pm 9 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{y_1 }
{ =} { { \frac{ -22 x_1-27 }{ 6 } } }
{ =} { { \frac{ -22 { \frac{ - 507 +9 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } -27 }{ 6 } } }
{ =} { -11 { \frac{ - 169 + 3 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } - { \frac{ 9 }{ 2 } } }
{ =} { - { \frac{ 33 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } + { \frac{ 11 \cdot 13 }{ 20 } } - { \frac{ 9 }{ 2 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { - { \frac{ 33 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } + { \frac{ 53 }{ 20 } } }
{ } { }
{ } {}
{ } {}
} {}{} und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{y_2 }
{ =} { { \frac{ -22 x_2-27 }{ 6 } } }
{ =} { { \frac{ -22 { \frac{ - 507 - 9 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } -27 }{ 6 } } }
{ =} { -11 { \frac{ - 169 - 3 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } - { \frac{ 9 }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ 33 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } + { \frac{ 11 \cdot 13 }{ 20 } } - { \frac{ 9 }{ 2 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 33 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } + { \frac{ 53 }{ 20 } } }
{ } { }
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Die Schnittpunkte sind also
\mathdisp {\left( { \frac{ - 507 + 9 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } , \, - { \frac{ 33 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } + { \frac{ 53 }{ 20 } } \right)} { }
und
\mathdisp {\left( { \frac{ - 507 - 9\sqrt{ 559 } }{ 260 } } , \, { \frac{ 33 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } + { \frac{ 53 }{ 20 } } \right)} { . }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z,w }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} konstruierbare Zahlen. Bestimme, ob die Zahl
\mathdisp {z^2 -3 z \sqrt{w} + \sqrt{z +w^2} - { \frac{ 5 }{ 7 } } +4 \sqrt{ \sqrt{z} + w } + \sqrt{11}} { }
konstruierbar ist.

}
{

Da rationale Zahlen konstruierbar sind, ist
\mathl{{ \frac{ 5 }{ 7 } }}{} konstruierbar. Mit jeder konstruierbaren reellen Zahl ist auch die Quadratwurzel konstruierbar. Also sind $\sqrt{11}, \sqrt{w}$ konstruierbar. Da die Summe und das Produkt von konstruierbaren Zahlen wieder konstruierbar ist, sind auch $z^2, -3z \sqrt{w}, \sqrt{z+w^2}$ und
\mathl{\sqrt{z} +w}{} konstruierbar. Damit ist auch
\mathl{4 \sqrt{ \sqrt{z} + \sqrt{w} }}{} konstruierbar und damit ist die Summe dieser Ausdrücke konstruierbar.


}