Kurs:Elementare Algebra/3/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 4 }
\renewcommand{\azwei}{ 4 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 2 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 6 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 7 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 8 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungacht{Die \stichwort {Ordnung} {} einer endlichen Gruppe $G$.
}{Der \stichwort {Binomialkoeffizient} {}
\mathl{\binom { n } { k }}{.}
}{Eine \stichwort {Untergruppe} {} $H$ in einer Gruppe $G$.
}{Eine \stichwort {Körpererweiterung} {.}
}{Ein
\stichwort {Primelement} {}
\mathl{p \in R, \, p \neq 0}{,} in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.
}{Ein \stichwort {Hauptideal} {} in einem kommutativen Ring $R$.
}{Ein über einem Körper $K$ \stichwort {algebraisches} {} Element $f \in A$ einer $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} $A$.
}{Eine \stichwort {Fermatsche Primzahl} {.} }
}
{
\aufzaehlungacht{Die Ordnung der Gruppe ist die Anzahl der Elemente von $G$.
}{Der Binomialkoeffizient ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { n } { k }
}
{ =} {{ \frac{ n ! }{ k ! ( n - k)! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
}{Eine Teilmenge
\mathl{H \subseteq G}{} heißt \stichwort {Untergruppe} {} von $G$ wenn folgendes gilt.
\aufzaehlungdrei{ $e \in H$.
}{Mit $g,h \in H$ ist auch $g \circ h \in H$.
}{Mit $g \in H$ ist auch $g^{-1} \in H$.
}
}{Es sei $L$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{K \subseteq L}{} ein
\definitionsverweis {Unterkörper}{}{}
von $L$. Dann heißt die Inklusion
\mathl{K \subseteq L}{} heißt eine Körpererweiterung.
}{Das Element $p$ heißt prim, wenn es eine
\definitionsverweis {Nichteinheit}{}{}
ist und wenn folgendes gilt: Teilt $p$ ein Produkt
\mathbed {ab} {mit}
{a,b \in R} {}
{} {} {} {,}
so teilt es einen der Faktoren.
}{Ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
$\mathfrak a$ in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{\mathfrak a}
}
{ =} {(a)
}
{ =} {Ra
}
{ =} {\{ra:\, r \in R\}
}
{ } {}
}
{}{}{.}
heißt Hauptideal.
}{Das Element $f$ heißt algebraisch über $K$, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom
\mathl{P \in K[X]}{} mit
\mathl{P(f)=0}{} gibt.
}{Eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
der Form
\mathl{2^{s}+1}{,} wobei $s$ eine positive
\definitionsverweis {natürliche Zahl}{}{}
ist, heißt Fermatsche Primzahl.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungvier{Der
\stichwort {Satz über die Lösbarkeit von Gleichungen} {}
in einer Gruppe $G$.}{Das
\stichwort {Lemma von Euklid} {}
für einen Hauptidealbereich.}{Das
\stichwort {Irreduzibilitätskriterium} {}
für Polynome
\mathl{P \in K[X]}{} von kleinem Grad über einem Körper.}{Der
\stichwort {Satz über endliche Körpererweiterungen von $\R$ } {.}}
}
{
\aufzaehlungvier{Zu je zwei Gruppenelementen
\mathl{a,b \in G}{} besitzen die beiden Gleichungen
\mathdisp {a \circ x=b \text{ und } y \circ a=b} { }
eindeutige Lösungen
\mathl{x,y \in G}{.}}{Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und
\mathl{a , b , c \in R}{.} Es seien $a$ und $b$ teilerfremd und $a$ teile das Produkt $bc$. Dann teilt $a$ den Faktor $c$.}{Ein Polynom vom Grad zwei oder drei ist genau dann irreduzibel, wenn es keine Nullstelle in $K$ besitzt.}{Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\R
}
{ \subseteq} {K
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine endliche Körpererweiterung der reellen Zahlen. Dann ist $K$ isomorph zu
\mathkor {} {\R} {oder zu} {{\mathbb C}} {.}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und $R[X]$ der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $R$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von $R[X]$ genau die Einheiten von $R$ sind.
}
{
Es sei
\mathl{a \in R}{} eine Einheit. Dann gibt es ein
\mathl{b \in R}{} mit
\mathl{ab=1}{} und die gleiche Identität gilt auch im Polynomring. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R^{\times}
}
{ \subseteq} { R[X]^{\times}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei nun
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { \sum_{i = 0 }^d a_i X^{i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {\mathlk{a_d \neq 0}{}} {} {}
eine Einheit in
\mathl{R[X]}{.} Dann gibt es ein Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} { \sum_{j = 0 }^e b_j X^{j}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {\mathlk{b_e \neq 0}{}} {} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{PQ
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da $R$ ein Integritätsbereich ist, ist
\mathl{a_db_e \neq 0}{} und das Produkt hat die Gestalt
\mathdisp {a_db_e X^{d+e} + \text{Terme von kleinerem Grad}} { . }
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d+e
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_d b_e
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
das Polynom ist also eine konstante Einheit.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5 (2+2+1)}
{
Es seien $a,b \geq 2$ und sei $n=ab$.
a) Zeige, dass die beiden Polynome $X^a-1$ und $X^b-1$ Teiler des Polynoms $X^n-1$ sind.
b) Es sei $a \neq b$. Ist $(X^a-1)(X^b-1)$ stets ein Teiler von $X^n-1$?
c) Man gebe drei Primfaktoren von $2^{30} -1$ an.
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^n -1
}
{ =} { { \left( X^b \right) }^a - 1
}
{ =} { { \left( X^b-1 \right) } { \left( { \left( X^b \right) }^{a-1} + { \left( X^b \right) }^{a-2} + \cdots + { \left( X^{b} \right) }^2 + X^b+ 1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher ist
\mathl{X^b-1}{}
\zusatzklammer {und ebenso
\mathl{X^a-1}{}} {} {}
ein Teiler von
\mathl{X^n-1}{.}
b) Dies ist nicht der Fall. Für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} {8
}
{ =} {4 \cdot 2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^8 -1
}
{ =} { (X^4-1) (X^4+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Polynom
\mathl{X^4+1}{} hat keine reelle Nullstelle und ist deshalb kein Vielfaches von
\mathl{X^2-1}{.} Daher ist $(X^4-1)(X^2-1)$ kein Teiler von
\mathl{X^8-1}{.}
c) Da
\mathl{2,3,5}{} Teiler von $30$ sind, ergibt sich aus Teil a), dass
\mathl{2^2-1=3,\, 2^3-1=7}{} und
\mathl{2^5-1=31}{} Teiler von
\mathl{2^{30} -1}{} sind. Daher sind
\mathl{3,7,31}{} Primteiler von
\mathl{2^{30} -1}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Finde im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{\Z/(2)[X]}{} ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
vier.
}
{
Wir betrachten das Polynom
\mathdisp {F=X^4+X+1} { . }
Da weder
\mathkor {} {0} {noch} {1} {}
eine Nullstelle von $F$ sind, besitzt es keinen Linearfaktor. Die einzige verbleibende Faktorzerlegung wäre als ein Produkt von zwei irreduziblen Polynomen vom Grad zwei. Das einzige irreduzible Polynom vom Grad zwei ist
\mathl{X^2+X+1}{.} Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(X^2+X+1)^2
}
{ =} {X^4+X^2+1
}
{ \neq} {F
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist $F$ irreduzibel.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Zeige, dass im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X,Y]}{} über einem Körper $K$ das
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{(X,Y)}{} kein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
ist.
}
{
Nehmen wir an, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(X,Y)
}
{ =} {(F)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem Polynom $F \in K[X,Y]$ ist. Dann ist insbesondere
\mathkor {} {X =GF} {und} {Y= HF} {.}
Betrachtet man die erste Gleichung als Gleichung in
\mathl{(K[Y])[X]}{,} so ergibt sich, dass $F$ zu $X$ assoziiert oder eine Einheit ist. Unter Berücksichtigung der zweiten Gleichung folgt, dass $F$ eine Einheit sein muss. In diesem Fall ist aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(X,Y)
}
{ \subset} {(F) = K[X,Y]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da keine Linearkombination von
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
gleich $1$ ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit $p$ Elementen, wobei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} sei. Zeige, dass $R$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.
}
{
Es sei
\mathbed {x \in R} {}
{x \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Wir betrachten die von $x$ erzeugte additive Untergruppe von $R$. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
handelt es sich nicht um die triviale Gruppe. Da nach
dem Satz von Lagrange
die Ordnung jeder Untergruppe die Gruppenordnung teilt und diese eine Primzahl ist, erzeugt $x$ schon ganz $R$. Es gibt also insbesondere eine natürliche Zahl $n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{nx
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da jeder Ring die natürlichen Zahlen enthält, bedeutet dies, dass $x$ eine Einheit ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Stifte einen
\definitionsverweis {surjektiven}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
von der
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
der komplexen Zahlen ohne null
\mathl{({\mathbb C} \setminus \{0\}, \cdot,1)}{} in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen
\mathl{(\R_+,\cdot,1 )}{.}
}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {} {{\mathbb C} \setminus \{1\}} { \R_+
} {z} { \betrag { z }
} {.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{a+b { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dabei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { z }
}
{ =} { \sqrt{ a^2+b^2 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathkor {} {a \neq 0} {oder} {b \neq 0} {,}
so dass der Betrag positiv ist. Nach
Lemma 3.15 (4)
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { zw }
}
{ =} {\betrag { z } \betrag { w }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
daher liegt ein Gruppenhomomorphismus vor. Eine positive reelle Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{a +0 { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wird auf $a$ selbst abgebildet, daher ist die Abbildung surjektiv.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Zeige, dass es in der
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{\Q/\Z}{} zu jedem
\mathl{n \in \N_+}{} Elemente gibt, deren
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
gleich $n$ ist.
}
{
Wir betrachten die Restklasse
\mathl{\left[ { \frac{ 1 }{ n } } \right]}{} zum Stammbruch
\mathl{{ \frac{ 1 }{ n } }}{.} Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n \left[ { \frac{ 1 }{ n } } \right]
}
{ =} { \left[ { \frac{ n }{ n } } \right]
}
{ =} { [1]
}
{ =} { [0]
}
{ =} {0
}
}
{}{}{.}
da ja $1$ zu $\Z$ gehört. Für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq} {k
}
{ \leq} {n -1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist hingegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ k \left[ { \frac{ 1 }{ n } } \right]
}
{ =} { \left[ { \frac{ k }{ n } } \right]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine rationale Zahl, die keine ganze Zahl ist. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ k \left[ { \frac{ 1 }{ n } } \right]
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist $n$ die Ordnung von
\mathl{\left[ { \frac{ 1 }{ n } } \right]}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Bestimme in $\Q[X]/(X^3+4X^2-7)$ das \definitionsverweis {Inverse}{}{} von ${ \frac{ 1 }{ 3 } } x+5$ \zusatzklammer {$x$ bezeichnet die Restklasse von $X$} {} {.}
}
{
Wir machen Division mit Rest von $X^3+4X^2-7$ durch ${ \frac{ 1 }{ 3 } } X+5$. Das ergibt
\mathdisp {X^3+4X^2-7 = { \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } X+5 \right) } { \left( 3X^2-33X+495 \right) } - 2482} { . }
Also ist
\mathdisp {{ \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } x+5 \right) } { \left( 3x^2-33x+495 \right) } = 2482 \mod X^3+4X^2-7} { }
und daher ist das Inverse von ${ \frac{ 1 }{ 3 } } X+5$ gegeben durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 2482 } } (3x^2-33x+495)
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 2482 } } x^2 - { \frac{ 33 }{ 2482 } } x + { \frac{ 495 }{ 2482 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Beweise den kleinen Satz von Fermat.
}
{
Ist $a$ nicht durch $p$ teilbar, so definiert $a$ ein Element $\bar a$ in der
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
\mathl{{ \left( \Z/(p) \right) }^{\times}}{;} diese Gruppe hat die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
\mathl{p-1}{,} und nach
dem Satz von Lagrange
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\bar a}^{p-1}
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Durch Multiplikation mit $a$ ergibt sich die Behauptung. Für Vielfache von $p$ gilt die Aussage ebenso, da dann beidseitig $0$ steht.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (1+1+2+2)}
{
In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring $\Z/(360)$.
a) Schreibe $\Z/(360)$ als Produktring
\zusatzklammer {im Sinne des chinesischen Restsatzes} {} {.}
b) Wie viele Einheiten besitzt $\Z/(360)$?
c) Schreibe das Element $239$ in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.
d) Berechne die Ordnung von $239$ in $\Z/(360)$.
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{360
}
{ =} { 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(360)
}
{ =} { \Z/(8) \times \Z/(9) \times \Z/(5)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Nach der Formel für die eulersche $\varphi$-Funktion ist die Anzahl der Einheiten gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(360)
}
{ =} { 4 \cdot 6 \cdot 4
}
{ =} { 96
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Die Reste von
\mathl{239}{} modulo
\mathl{8,9}{} und $5$ sind
\mathdisp {( 7 ,5 , 4)} { . }
Da jede Komponente teilerfremd zu den zugehörigen Modulozahlen sind, handelt sich es sich insgesamt um eine Einheit. Das Inverse ist
\mathdisp {(7, 2 ,4 )} { . }
d) Zur Berechnung der Ordnung von
\mathl{239}{} modulo $360$ schreiben wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( 7 ,5 , 4)
}
{ =} { ( -1 ,5 ,-1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Ordnung in der ersten und der dritten Komponente ist $2$, die Ordnung in der zweiten Komponente ist wegen
\mathl{5^2=7}{,}
\mathl{5^3=35=-1}{} gleich $6$, da ja
\mathl{\Z/(9) ^{\times}}{} die Ordnung $6$ besitzt. Daher ist die Ordnung von $239$ gleich $6$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7 (1+1+5)}
{
a) Zeige, dass
\mathl{X^2+2}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
in $\Z/(5) [X]$ ist.
b) Zeige, dass
\mathl{X^3+X+1}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
in $\Z/(5) [X]$ ist.
c) Bestimme die
\definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ { \left( X^2+2 \right) } { \left( X^3+X +1 \right) } } }} { }
in
\mathl{\Z/(5) (X)}{.}
}
{
a) Das Polynom $X^2+2$ besitzt für
\mathl{0,1,2,3,4}{} die Werte
\mathl{2,3,1,1,3}{,} ist also nullstellenfrei. Nach
Lemma 6.9
ist es somit irreduzibel.
b) Das Polynom $X^3+X+1$ besitzt für
\mathl{0,1,2,3,4}{} die Werte
\mathl{1,3,1,1,4}{,} ist also nullstellenfrei und damit wieder irreduzibel.
c) Wir machen den Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ { \left( X^2+2 \right) } { \left( X^3+X+1 \right) } } }
}
{ =} { { \frac{ aX +b }{ X^2 +2 } } + { \frac{ cX^2 + dX+e }{ X^3+X+1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner führt dies auf
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{1
}
{ =} { (aX + b )( X^3+X+1 ) + (cX^2 +dX+e)(X^2 +2 )
}
{ =} { (a+c )X^4 + ( b+d )X^3 + ( a+e+2c )X^2 + ( a+b+2d )X + b+2e
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+c
}
{ =} {b+d
}
{ =} {a+e+2c
}
{ =} {a+b+2d
}
{ =} {0
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b+2e
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {-c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} {-d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Einsetzen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e+c
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-c+d
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e+d
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-d+2e
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3e
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e
}
{ =} { 3^{-1}
}
{ =} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
führt. Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e
}
{ =} {a
}
{ =} {b
}
{ =} {2
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ =} { d
}
{ =} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Partialbruchzerlegung ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ { \left( X^2+2 \right) } { \left( X^3+X+1 \right) } } }
}
{ =} { { \frac{ 2X +2 }{ X^2 +2 } } + { \frac{ 3X^2 + 3X+2 }{ X^3+X+1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{8}
{
Es sei
\mathl{x=\sqrt{2} + \sqrt{5} \in \R}{} und betrachte die Körpererweiterung
\mathdisp {\Q \subseteq \Q (x)= L} { . }
Zeige, dass diese Körpererweiterung algebraisch ist und bestimme den Grad der Körpererweiterung, das Minimalpolynom
von $x$ und das Inverse von $x$.
(Man darf dabei verwenden, dass
\mathl{\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{10}}{} irrationale Zahlen sind.)
}
{
Wir behaupten zunächst, dass
\mathdisp {L=\Q[ \sqrt{2}, \sqrt{5}] = (\Q[\sqrt{2} ])[ \sqrt{5}]} { }
ist. Als eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen ist dann $\Q \subseteq L$ algebraisch. Dabei ist die Inklusion $\subseteq$
klar. Es ist
\mathdisp {x^2=7 +2 \sqrt{10}, \, x^3 = 17 \sqrt{2} + 11
\sqrt{5}} { . }
Daraus ergibt sich
\mathdisp {\sqrt{2} = \frac{1}{6} (x^3- 11x )} { , }
so dass also $\sqrt{2}$ und damit auch
$\sqrt{5}$ links dazu gehören, was die andere
Inklusion ergibt.
Wir betrachten die Körperkette
\mathdisp {\Q \subseteq \Q[ \sqrt{2}] \subseteq \Q[\sqrt{2}, \sqrt{5}] =L} { . }
Dabei ist die Inklusion links echt, da
$\sqrt{2}$ irrational ist, so dass links eine
quadratische Körpererweiterung vorliegt. Aber auch die Inklusion
rechts ist echt, denn andernfalls wäre
\mathdisp {\sqrt{5} =a +b \sqrt{2} \text{ mit } a,b \in \Q} { , }
was zu $5=a^2+2b^2+ab \sqrt{2}$ führt. Bei $a,b \neq 0$ ist das erneut im Widerspruch zur Irrationalität von $\sqrt{2}$. Bei $b=0$ ist das ein Widerspruch zur Irrationalität von $\sqrt{5}$. Bei $a=0$ ist das ein Widerspruch zur Irrationalität von $\sqrt{5/2}= \frac{1}{2} \sqrt{10}$.
Insgesamt liegt also eine Kette $\Q \subset K= \Q[\sqrt{2}] \subset L$ von quadratischen Körpererweiterungen vor, so dass aufgrund der Gradformel der Grad von $\Q \subset L$ gleich $4$ ist.
Zur Bestimmung des Minimalpolynoms von $x$ berechnen wir $x^4$, das ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^4
}
{ =} { { \left( 7 +2 \sqrt{10} \right) }^2
}
{ =} { 89+ 28 \sqrt{10}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Minimalpolynom ist gleich
\mathdisp {F=X^4 - 14 X^2 +9} { . }
Setzt man nämlich $x$ ein, so erhält man $0$. Da $x$ den Körper $L$ erzeugt, muss das Minimalpolynom den Grad $4$ haben, so dass $F$ das Minimalpolynom ist.
Zur Bestimmung des Inversen gehen wir von $x(x^3-14x)=-9$ aus. Daher ist das Inverse gleich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{-\frac{1}{9} { \left( x^3-14x \right) }
}
{ =} { -\frac{1}{9} { \left( 17 \sqrt{2} + 11 \sqrt{5}-14 { \left( \sqrt{2} + \sqrt{5} \right) } \right) }
}
{ =} { -\frac{1}{9} { \left( 3 \sqrt{2} -3 \sqrt{5} \right) }
}
{ =} { - \frac{1}{3} \sqrt{2} + \frac{1}{3} \sqrt{5}
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise
\mathkor {} {K_1} {und} {K_2} {,}
wobei $K_1$ den Mittelpunkt
\mathl{(3,4)}{} und den Radius $6$ und $K_2$ den Mittelpunkt $(-8,1)$ und den Radius $7$ besitzt.
}
{
Die Kreisgleichungen der beiden Kreise sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x-3)^2 + (y-4)^2
}
{ =} { x^2 - 6x +y^2 -8 y +25
}
{ =} {36
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x+8)^2 + (y-1)^2
}
{ =} { x^2 + 16x +y^2 -2 y + 65
}
{ =} {49
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Differenz der beiden Gleichungen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 22x + 6y +40
}
{ =} { 13
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ -22 x -27 }{ 6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies setzen wir in die erste Kreisgleichung ein und erhalten
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ x^2 -6x + { \left( { \frac{ -22 x -27 }{ 6 } } \right) }^2 -8 { \frac{ -22 x -27 }{ 6 } } -11
}
{ =} { x^2 + { \frac{ 121 }{ 9 } }x^2 -6x + 33 x + { \frac{ 81 }{ 4 } } + { \frac{ 88 }{ 3 } } x + 36 -11
}
{ =} { { \frac{ 130 }{ 9 } } x^2 + { \frac{ 169 }{ 3 } } x + { \frac{ 181 }{ 4 } }
}
{ =} {0
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Nach der Lösungsformel für eine quadratische Gleichung ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_{1,2}
}
{ =} { { \frac{ - { \frac{ 169 }{ 3 } } \pm \sqrt{ { \frac{ 28561 }{ 9 } } -4 \cdot { \frac{ 130 }{ 9 } } \cdot { \frac{ 181 }{ 4 } } } }{ { \frac{ 260 }{ 9 } } } }
}
{ =} { { \frac{ -169 \pm \sqrt{ 28561 - 130 \cdot 181 } }{ { \frac{ 260 }{ 3 } } } }
}
{ =} { { \frac{ -3 \cdot 169 \pm 3 \sqrt{ 28561 - 23530 } }{ 260 } }
}
{ =} { { \frac{ - 507 \pm 3 \sqrt{ 5031 } }{ 260 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ - 507 \pm 9 \sqrt{ 559 } }{ 260 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{y_1
}
{ =} { { \frac{ -22 x_1-27 }{ 6 } }
}
{ =} { { \frac{ -22 { \frac{ - 507 +9 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } -27 }{ 6 } }
}
{ =} { -11 { \frac{ - 169 + 3 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } - { \frac{ 9 }{ 2 } }
}
{ =} { - { \frac{ 33 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } + { \frac{ 11 \cdot 13 }{ 20 } } - { \frac{ 9 }{ 2 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { - { \frac{ 33 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } + { \frac{ 53 }{ 20 } }
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{y_2
}
{ =} { { \frac{ -22 x_2-27 }{ 6 } }
}
{ =} { { \frac{ -22 { \frac{ - 507 - 9 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } -27 }{ 6 } }
}
{ =} { -11 { \frac{ - 169 - 3 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } - { \frac{ 9 }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 33 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } + { \frac{ 11 \cdot 13 }{ 20 } } - { \frac{ 9 }{ 2 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 33 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } + { \frac{ 53 }{ 20 } }
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Die Schnittpunkte sind also
\mathdisp {\left( { \frac{ - 507 + 9 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } , \, - { \frac{ 33 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } + { \frac{ 53 }{ 20 } } \right)} { }
und
\mathdisp {\left( { \frac{ - 507 - 9\sqrt{ 559 } }{ 260 } } , \, { \frac{ 33 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } + { \frac{ 53 }{ 20 } } \right)} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es seien
\mathl{z,w \in {\mathbb C}}{} konstruierbare Zahlen. Bestimme, ob die Zahl
\mathdisp {z^2 -3 z \sqrt{w} + \sqrt{z +w^2} - { \frac{ 5 }{ 7 } } +4 \sqrt{ \sqrt{z} + w } + \sqrt{11}} { }
konstruierbar ist.
}
{
Da rationale Zahlen konstruierbar sind, ist
\mathl{{ \frac{ 5 }{ 7 } }}{} konstruierbar. Mit jeder konstruierbaren reellen Zahl ist auch die Quadratwurzel konstruierbar. Also sind $\sqrt{11}, \sqrt{w}$ konstruierbar. Da die Summe und das Produkt von konstruierbaren Zahlen wieder konstruierbar ist, sind auch $z^2, -3z \sqrt{w}, \sqrt{z+w^2}$ und
\mathl{\sqrt{z} +w}{} konstruierbar. Damit ist auch
\mathl{4 \sqrt{ \sqrt{z} + \sqrt{w} }}{} konstruierbar und damit ist die Summe dieser Ausdrücke konstruierbar.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Finde die primitiven Einheitswurzeln in
\mathl{\Z/(5)}{.}
}
{
\mathkor {} {1} {und} {-1 =4} {}
sind keine primitiven Einheitswurzeln, da ihre Ordnungen
\mathkor {} {1} {bzw.} {2} {}
sind. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^2
}
{ =} {4
}
{ \neq} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3^2
}
{ =} {4
}
{ \neq} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die Ordnung von
\mathkor {} {2} {und von} {3} {}
gleich $4$, d.h. dass
\mathkor {} {2} {und} {3} {}
primitive Einheitswurzeln sind.
}