Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 1/latex

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\setcounter{section}{1}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Bundesarchiv_Bild_183-10308-0006,_Calbe,_DS-Sportschule,_Lehrgang_für_Sportler.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Bundesarchiv Bild 183-10308-0006, Calbe, DS-Sportschule, Lehrgang für Sportler.jpg } {} {} {Deutsches Bundesarchiv} {} {Bild 183-10308-0006}





\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die ganzen Zahlen $\Z$ mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung \maabbeledisp {} {\Z \times \Z} {\Z } {(a,b)} {a-b } {.} Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Verknüpfung auf einer Geraden, die zwei Punkten ihren Mittelpunkt zuordnet, kommutativ, aber nicht assoziativ ist. Gibt es ein neutrales Element?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man untersuche die \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} \maabbeledisp {} {\R_{\geq 0} \times \R_{\geq 0} } {\R_{\geq 0} } {(x,y)} { \operatorname{min} \, (x,y) } {,} auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $S$ eine Menge und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \operatorname{Abb} \, { \left( S , S \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} sei versehen mit der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung von Abbildungen}{}{} als \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{.} Ist die Verknüpfung \definitionsverweis {assoziativ}{}{,} \definitionsverweis {kommutativ}{}{,} gibt es ein \zusatzklammer {eindeutiges} {} {} \definitionsverweis {neutrales Element}{}{,} für welche
\mathl{F\in M}{} gibt es ein \definitionsverweis {inverses Element}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $S$ eine Menge und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G }
{ =} {{ \left\{ F:S \rightarrow S \mid F \text{ bijektiv} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $G$ mit der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} von \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $M$ eine Menge und sei $f:M \rightarrow M$ eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass $f$ genau dann \definitionsverweis {injektiv ist}{}{,} wenn $f$ ein Linksinverses besitzt, und dass $f$ genau dann \definitionsverweis {surjektiv ist}{}{,} wenn $f$ ein Rechtsinverses besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,\circ,e)}{} ein \definitionsverweis {Monoid}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,y,a }
{ \in }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

a) Folgt aus
\mathl{x=y}{} die Beziehung
\mathl{a \circ x= a \circ y}{?}

b) Folgt aus
\mathl{a \circ x= a \circ y}{} die Beziehung
\mathl{x= y}{?}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( x^{-1} \right) }^{-1} }
{ =} {x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{x \in G}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und $x,y \in G$. Drücke das Inverse von $xy$ durch die Inversen von $x$ und $y$ aus.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel eines endlichen Monoids $M$ und eines Elementes $m \in M$ derart, dass alle positiven Potenzen von $m$ vom neutralen Element verschieden sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein endliches \definitionsverweis {Monoid}{}{.} Es gelte die folgende \anfuehrung{Kürzungsregel}{}: aus $ax=ay$ folgt $x=y$. Zeige, dass $M$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man konstruiere eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} mit drei Elementen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und $x \in G$ ein Element. Beweise durch Induktion unter Verwendung der Lemma 1.6, dass für $m,n \in \Z$ gilt:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^{mn} }
{ =} { { \left( x^m \right) }^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise das folgende \stichwort {Untergruppenkriterium} {.} Eine nichtleere Teilmenge
\mathl{H \subseteq G}{} einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ ist genau dann eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{,} wenn gilt:
\mathdisp {\text{ für alle } g,h \in H \text{ ist } gh^{-1} \in H} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und
\mathbed {H_i \subseteq G} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von \definitionsverweis {Untergruppen}{}{.} Zeige, dass der Durchschnitt
\mathdisp {\bigcap_{i \in I} H_i} { }
eine Untergruppe von $G$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten positive rationale Zahlen als gemischte Brüche.

a) Zeige, dass bei der Addition von zwei gemischten Brüchen der Bruchterm der Summe nur von den Bruchtermen der Summanden abhängt.

b) Wie sieht dies mit dem ganzen Teil aus?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} {{ \left\{ q \in \Q \mid 0 \leq q < 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Zeige, dass auf $M$ durch
\mathdisp {a \oplus b \defeq \begin{cases} a+b , \text{ falls } a+b < 1 \, , \\ a+b -1 \text{ sonst} \, . \end{cases}} { }
eine wohldefinierte \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} {{ \left\{ q \in \Q \mid 0 \leq q < 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der in Aufgabe 1.17 definierten Verknüpfung.

a) Berechne
\mathdisp {{ \left( { \left( { \left( { \left( { \frac{ 4 }{ 5 } } \oplus { \frac{ 3 }{ 4 } } \right) } \oplus { \frac{ 2 }{ 3 } } \right) } \oplus { \frac{ 5 }{ 7 } } \right) } \oplus { \frac{ 1 }{ 3 } } \right) }} { . }

b) Finde eine Lösung für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 3 }{ 5 } } \oplus x }
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Sei
\mathl{n \in \N_+}{} und betrachte auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(n) }
{ =} { \{0, 1 , \ldots , n-1 \} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\mathdisp {a + b := (a+b) \mod n = \begin{cases} a+b, \text{ falls } a+b <n \, ,\\ a+b-n, \text{ falls } a+b \geq n \, . \end{cases}} { }
Zeige, dass dadurch eine \definitionsverweis {assoziative}{}{} Verknüpfung auf dieser Menge definiert ist, und dass damit sogar eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} vorliegt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} {{ \left\{ q \in \Q \mid 0 \leq q < 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der in Aufgabe 1.17 definierten Verknüpfung eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Man untersuche die \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} \maabbeledisp {} {\R_{\geq 0} \times \R_{\geq 0} } {\R_{\geq 0} } {(x,y)} { \operatorname{max} \, (x,y) } {,} auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Sei $M$ eine Menge mit einer \definitionsverweis {assoziativen}{}{} \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{.} Es gebe ein
\definitionswortenp{linksneutrales Element}{} $e$ \zusatzklammer {d.h. $e x= x$ für alle $x \in M$} {} {} und zu jedem $x\in M$ gebe es ein
\definitionswortenp{Linksinverses}{,} d.h. ein Element $y$ mit $yx=e$. Zeige, dass dann $M$ schon eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Betrachte die Gruppe der Drehungen am Kreis um Vielfache des Winkels $\alpha=360/12=30$ Grad. Welche Drehungen sind Erzeuger dieser Gruppe?

}
{} {}

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