Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 15/latex

\setcounter{section}{15}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestätige den kleinen Fermat direkt für die \definitionsverweis {Primzahlen}{}{}
\mathl{p=2,3,5,7,11}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die multiplikative \definitionsverweis {Ordnung}{}{} aller \definitionsverweis {Einheiten}{}{} im \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} $\Z/(7)$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne
\mathl{3^{1457}}{} in
\mathl{{\mathbb Z}/(13)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde einen \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $\Z/(n)$ derart, dass die \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{} davon nicht \definitionsverweis {zyklisch}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Konstruiere \definitionsverweis {endliche Körper}{}{} mit
\mathl{4,8,9,16,25,27,32}{} und $49$ Elementen.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $p$ eine Primzahl und sei
\mathl{f(x)}{} ein Polynom mit Koeffizienten in
\mathl{\Z/(p)}{} vom Grad
\mathl{d \geq p}{.} Zeige, dass es ein Polynom $g(x)$ mit einem Grad $< p$ derart gibt, dass für alle Elemente
\mathl{a \in \Z/(p)}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(a) }
{ =} {g(a) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{f(x)=x^7+2x^3 +3x+4 \in (\Z/(5))[x]}{.} Finde ein Polynom
\mathl{g(x) \in (\Z/(5))[x]}{} vom Grad $< 5$, das für alle Elemente aus
\mathl{\Z/(5)}{} mit
\mathl{f(x)}{} übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K }
{ =} { \Z/(7) [T]/(T^3-2) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Körper mit $343$ Elementen gegeben ist.

b) Berechne in $K$ das Produkt $(T^2+2T+4)(2T^2+5)$.

c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu $T+1$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass
\mathl{\Q[X]/(X^3-2)}{} ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist und bestimme das Inverse von
\mathl{4x^2-2x+5}{,} wobei $x$ die Restklasse von $X$ bezeichne.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe einen \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{\Z/(d)}{} an, in dem es nichttriviale \definitionsverweis {idempotente Elemente}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde in
\mathl{\Q[X]/(X^2-1)}{} nichttriviale \definitionsverweis {idempotente Elemente}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei
\mathl{f \in R}{.} Es sei $f$ sowohl \definitionsverweis {nilpotent}{}{} als auch \definitionsverweis {idempotent}{}{.} Zeige, dass
\mathl{f=0}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei
\mathl{R \times S}{} der \definitionsverweis {Produktring}{}{}
\mathl{R \times S}{.} Zeige, dass die Teilmenge
\mathl{R \times 0}{} ein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {faktorieller Bereich}{}{} und $p\in R$ ein \definitionsverweis {Primelement}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/(p^n)$ nur die beiden trivialen \definitionsverweis {idempotenten Elemente}{}{} \mathkor {} {0} {und} {1} {} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $R$ ein kommutativer Ring und $I, J$ Ideale in $R$. Es sei weiter \maabbeledisp {\varphi} {R } { R/I \times R/J } {r} { (r + I, r +J) } {.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn $I + J = R$ gilt. Wie sieht $\ker \varphi$ aus? Benutze jetzt den Homomorphiesatz um einzusehen, was das im Falle $R = \mathbb{Z}$ mit dem chinesischen Restsatz zu tun hat.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und seien
\mathl{I,J \subseteq R}{} \definitionsverweis {Ideale}{}{.} Wir betrachten die \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {R/I \cap J} { R/I \times R/J } {r} { (r,r) } {,} und \maabbeledisp {\psi} {R/I \times R/J } {R/I +J } {(s,t)} {s-t } {.} Zeige, dass $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist, dass $\psi$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{bild} \varphi }
{ =} { \operatorname{kern} \psi }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. Sind \mathkor {} {\varphi} {und} {\psi} {} \definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es seien $a_1, \ldots ,a_n \in K$ verschiedene Elemente und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} { (X-a_1){ \cdots }(X-a_n) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} das Produkt der zugehörigen \definitionsverweis {linearen Polynome}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $K[X]/(F)$ \definitionsverweis {isomorph}{}{} zum \definitionsverweis {Produktring}{}{} $K^n$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Das Polynom
\mathl{X^3-7X^2+3X-21}{} besitzt in $\R[X]$ die Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^3-7X^2+3X-21 }
{ =} { (X-7)(X^2+3) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in irreduzible Faktoren und daher gilt die Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R[X]/(X^3-7X^2+3X-21) }
{ \cong} { \R[X]/ (X-7) \times \R[X]/(X^2+3) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element
\mathl{(1,0)}{} entspricht.

a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element
\mathl{(0,1)}{} entspricht.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Schreibe den \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $\Q[X]/(X^4-1)$ als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper $\Q$ und $\Q[ { \mathrm i} ]$ vorkommen. Schreibe die Restklasse von $X^3+X$ als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass jeder echte \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} von ${\mathbb C}[X]$ \definitionsverweis {isomorph}{}{} zu einem \definitionsverweis {Produktring}{}{} der Form
\mathdisp {{\mathbb C} \times \cdots \times {\mathbb C} \times {\mathbb C}[X]/(X^2) \times \cdots \times {\mathbb C}[X]/(X^2) \times {\mathbb C}[X]/(X^3) \times \cdots \times {\mathbb C}[X]/(X^3) \times \cdots \times {\mathbb C}[X]/(X^m) \times \cdots \times {\mathbb C}[X]/(X^m)} { }
ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Realisiere den \definitionsverweis {Produktring}{}{}
\mathdisp {\R \times \R \times \R \times \R \times {\mathbb C} \times {\mathbb C} \times {\mathbb C}} { }
als einen \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} von
\mathl{\R[X]}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mathl{R_1, R_2 , \ldots , R_n}{} \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} { R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Produktring}{}{.} \aufzaehlungvier{Es seien
\mathdisp {I_1 \subseteq R_1, I_2 \subseteq R_2 , \ldots , I_n \subseteq R_n} { }
\definitionsverweis {Ideale}{}{.} Zeige, dass die Produktmenge
\mathdisp {I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n} { }
ein Ideal in $R$ ist. }{Zeige, dass jedes Ideal
\mathl{I \subseteq R}{} die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I }
{ =} { I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit Idealen
\mathl{I_j \subseteq R_j}{} besitzt. }{Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I }
{ =} { I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Ideal in $R$. Zeige, dass $I$ genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche $I_j$ Hauptideale sind. }{Zeige, dass $R$ genau dann ein \definitionsverweis {Hauptidealring}{}{} ist, wenn alle $R_j$ Hauptidealringe sind. }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die multiplikative \definitionsverweis {Ordnung}{}{} aller \definitionsverweis {Einheiten}{}{} im \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} $\Z/(11)$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass
\mathl{a^p -a}{} ein Vielfaches von $p$ für jede ganze Zahl $a$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass
\mathl{\Q[X]/(X^3-5)}{} ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist und bestimme das Inverse von
\mathl{5x^2-x+7}{,} wobei $x$ die Restklasse von $X$ bezeichne.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {idempotentes Element}{}{.} Zeige, dass auch $1-e$ idempotent ist und dass die \anfuehrung{zusammengesetzte}{} \definitionsverweis {Restklassenabbildung}{}{} \maabbdisp {} {R} {R/(e) \times R/(1-e) } {} eine Bijektion ist.

}
{} {}

Der folgende Satz heißt \stichwort {Satz von Wilson} {.}

\faktsituation {Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (p-1)! }
{ = }{-1 \!\!\! \mod p }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die Zerlegung von
\mathl{X^{p-1}-1}{} in \definitionsverweis {irreduzible Polynome}{}{} im Polynomring
\mathl{\Z/(p)[X]}{.} Beweise aus dieser Zerlegung den Satz von Wilson.

}
{} {}