Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorlesung 15

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In dieser Vorlesung wollen wir die Restklassenringe von Hauptidealbereichen verstehen.



Restklassenringe von Hauptidealbereichen



Satz  

Sei ein Hauptidealbereich und ein Element. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.

  1. ist ein Primelement.
  2. ist ein Integritätsbereich.
  3. ist ein Körper.

Beweis  

Die Äquivalenz (1) (2) gilt in jedem kommutativen Ring (auch für ), siehe Aufgabe *****, und (3) impliziert natürlich (2). Sei also (1) erfüllt und sei von verschieden. Wir bezeichnen einen Repräsentanten davon in ebenfalls mit . Es ist dann und es ergibt sich eine echte Idealinklusion . Ferner können wir schreiben, da wir in einem Hauptidealring sind. Es folgt . Da keine Einheit ist und prim (also nach Lemma 6.7 auch irreduzibel) ist, muss eine Einheit sein. Es ist also , und das bedeutet modulo , also in , dass eine Einheit ist. Also ist ein Körper.




Satz  

Es sei eine natürliche Zahl und der zugehörige Restklassenring. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist ein Körper.
  2. ist ein Integritätsbereich.
  3. ist eine Primzahl.

Beweis  

Dies ist ein Spezialfall von Satz 15.1.


Wenn also eine Primzahl ist, so ist der Restklassenring ein Körper mit Elementen, den man auch den Restklassenkörper nennt. Die Einheitengruppe

ist eine Gruppe mit Elementen (bezüglich der Multiplikation). Bei hat man beispielsweise

d.h. die Potenzen von durchlaufen sämtliche vier Elemente dieser Gruppe, die sich damit als zyklisch erweist. Es gilt generell, ws wir aber nicht beweisen werden, dass für jede Primzahl die Einheitengruppe des Restklassenkörpers zyklisch ist! Diese Gruppen nennt man auch die primen Restklassengruppen.


Die folgende Aussage heißt kleiner Fermat.



Satz  

Für eine Primzahl und eine beliebige ganze Zahl gilt

Anders ausgedrückt: ist durch teilbar.

Beweis  

Ist nicht durch teilbar, so definiert ein Element in der Einheitengruppe ; diese Gruppe hat die Ordnung , und nach dem Satz von Lagrange gilt . Durch Multiplikation mit ergibt sich die Behauptung. Für Vielfache von gilt die Aussage ebenso, da dann beidseitig steht.


Für gilt beispielsweise in

Für Zahlen, die keine Primzahlen sind, gilt die entsprechende Aussage nicht. So ist etwa in




Produktringe

Um die Restklassenringe von besser verstehen zu können, insbesondere dann, wenn man als Produkt von kleineren Zahlen schreiben kann - z.B., wenn die Primfaktorzerlegung bekannt ist -, braucht man den Begriff des Produktringes.


Definition  

Seien kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt

versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der , .

Eng verwandt mit dem Begriff des Produktringes ist das Konzept der idempotenten Elemente.


Definition  

Ein Element eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn gilt.

Die Elemente und sind trivialerweise idempotent, man nennt sie die trivialen idempotenten Elemente. In einem Produktring sind auch diejenigen Elemente, die in allen Komponenten nur den Wert oder besitzen, idempotent, also beispielsweise . In einem Integritätsbereich gibt es nur die beiden trivialen idempotenten Elemente: Ein idempotentes Element besitzt die Eigenschaft

Im nullteilerfreien Fall folgt daraus oder .



Lemma  

Es sei ein Produkt aus kommutativen Ringen.

Dann gilt für die Einheitengruppe von die Beziehung

Beweis  

Dies ist klar, da ein Element genau dann eine Einheit ist, wenn es in jeder Komponente eine Einheit ist.




Der chinesische Restsatz

Für die Restklassenringe von Hauptidealbereichen gilt der sogenannte chinesische Restsatz (für beliebige faktorielle Bereiche gilt er nicht, da das Lemma von Bezout dafür im Allgemeinen nicht gilt).



Satz  

Es sei ein Hauptidealbereich und , , ein Element mit kanonischer Primfaktorzerlegung

Dann gilt für den Restklassenring die kanonische Isomorphie

Beweis  

Wegen gelten die Idealinklusionen und daher gibt es kanonische Ringhomomorphismen

Diese setzen sich zu einem Ringhomomorphismus in den Produktring zusammen, nämlich

Wir müssen zeigen, dass dieser bijektiv ist. Zur Injektivität sei derart, dass es in jeder Komponente auf abgebildet wird. Das bedeutet für alle . D.h. ist ein Vielfaches dieser und aufgrund der Primfaktorzerlegung folgt, dass ein Vielfaches von sein muss. Also ist in .
Zur Surjektivität genügt es zu zeigen, dass alle Elemente, die in einer Komponente den Wert und in allen anderen Komponenten den Wert haben, im Bild liegen. Sei also vorgegeben. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung sind und teilerfremd. Daher gibt es nach dem Lemma von Bezout eine Darstellung der Eins, sagen wir

Betrachten wir . Das wird unter der Restklassenabbildung in der ersten Komponente auf und in den übrigen Komponenten auf abgebildet, wie gewünscht.



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