Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 16

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Aufgabe *

(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen


Aufgabe *

(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen


Aufgabe

(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen


Aufgabe

Gibt es eine natürliche Zahl , die modulo den Rest und modulo den Rest besitzt?


Aufgabe *

Man berechne in die Elemente

  1. ,
  2. ,
  3. .


Aufgabe

Sei eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. In der Primfaktorzerlegung von kommt jeder Primfaktor mit Exponent vor.
  2. Der Restklassenring ist reduziert.
  3. Der Restklassenring ist das Produkt von Körpern.


Aufgabe

Bestimme die nilpotenten Elemente, die idempotenten Elemente und die Einheiten in .


Aufgabe

Bestimme die nilpotenten Elemente, die idempotenten Elemente und die Einheiten von .


Aufgabe *

In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring .

a) Schreibe als Produktring (im Sinne des chinesischen Restsatzes).

b) Wie viele Einheiten besitzt ?

c) Schreibe das Element in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.

d) Berechne die Ordnung von in .


Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.

Sei ein kommutativer Ring und das Nilideal von , das aus allen nilpotenten Elementen von besteht. Dann nennt man den Restklassenring die Reduktion von .


Aufgabe

Beschreibe die nilpotenten Elemente von und die Reduktion von .


Aufgabe

Berechne die Werte der eulerschen Funktion für .


Aufgabe *

Sei . Zeige, dass die eulersche Funktion die Gleichheit

für erfüllt.


Aufgabe

Zeige, dass die eulersche Funktion für natürliche Zahlen die Eigenschaft

erfüllt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die nilpotenten Elemente, die idempotenten Elemente und die Einheiten von .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Rest von modulo .


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die eulersche Formel für die eulersche Funktion, das ist die Aussage, dass

gilt.



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