Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 23/latex

\setcounter{section}{23}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} der \definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{}
\mathl{2+5 { \mathrm i}}{} über $\Q$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} der \definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{}
\mathl{\sqrt{2}-\sqrt{5}}{} über $\Q$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $1$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L }
{ = }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathbb C} }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathbb C} }
{ = }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Polynom. Zeige: $P$ besitzt genau dann eine Nullstelle in $L$, wenn es einen $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus }{}{} \maabb {} { K[X]/(P) } { L } {} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Element. Zeige: $f$ ist genau dann \definitionsverweis {algebraisch}{}{} über $K$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K[f] }
{ = }{ K(f) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ K' }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Zwischenkörper. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {algebraisch}{}{} über $K$. Zeige, dass dann $f$ auch algebraisch über $K'$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathbed {z=a+b { \mathrm i} \in {\mathbb C}} {}
{a,b \in \R} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {algebraische Zahl}{}{.} Zeige, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z } }
{ = }{ a-b { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sowie der Real- und der Imaginärteil von $z$ algebraisch sind. Man bestimme den \definitionsverweis {Grad}{}{} der \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb A} \cap \R }
{ \subseteq} { {\mathbb A} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {algebraischen Zahlen}{}{} $\mathbb A$ keine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} von $\Q$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

a) Man gebe eine Gerade $G$ in der Ebene
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R^2 }
{ = }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} an, die keine algebraische Zahl enthält.

b) Man gebe einen Kreis $K$ in der Ebene
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R^2 }
{ = }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} an, der keine algebraische Zahl enthält.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme das Inverse von
\mathl{2x^2+3x-1}{} im Körper
\mathl{\Q[X]/(X^3-5)}{} \zusatzklammer {$x$ bezeichnet die Restklasse von $X$} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L }
{ = }{ K(X) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {rationale Funktionenkörper}{}{} über $K$. Zeige, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabb {\varphi} {L} {L } {} derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L }
{ \cong }{ \varphi(L) }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $n$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} der \definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{}
\mathl{2 { \mathrm i}-3 \sqrt{3}}{} über $\Q$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und
\mathbed {q=p^n} {}
{n \geq 2} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass
\mathl{\Z/(p^n)}{} kein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über
\mathl{\Z/(p)}{} sein kann.

}
{} {}