Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 23/latex

\setcounter{section}{23}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} der \definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{}
\mathl{2+5 { \mathrm i}}{} über $\Q$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} der \definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{}
\mathl{\sqrt{2}-\sqrt{5}}{} über $\Q$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $1$. Zeige, dass $L=K$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathbb C} }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathbb C} }
{ = }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und sei $P \in K[X]$ ein Polynom. Zeige: $P$ besitzt genau dann eine Nullstelle in $L$, wenn es einen $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus }{}{} \maabb {} {K[X]/(P)} {L } {} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Element. Zeige: $f$ ist genau dann \definitionsverweis {algebraisch}{}{} über $K$, wenn
\mathl{K[f]=K(f)}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und $K \subseteq K' \subseteq L$ ein Zwischenkörper. Es sei $f \in L$ \definitionsverweis {algebraisch}{}{} über $K$. Zeige, dass dann $f$ auch algebraisch über $K'$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathbed {z=a+b { \mathrm i} \in {\mathbb C}} {}
{a,b \in \R} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {algebraische Zahl}{}{.} Zeige, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl
\mathl{\overline{z}=a-b { \mathrm i}}{} sowie der Real- und der Imaginärteil von $z$ algebraisch sind. Man bestimme den \definitionsverweis {Grad}{}{} der \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mathdisp {{\mathbb A} \cap \R \subseteq {\mathbb A}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {algebraischen Zahlen}{}{} $\mathbb A$ keine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} von $\Q$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

a) Man gebe eine Gerade $G$ in der Ebene $\R^2={\mathbb C}$ an, die keine algebraische Zahl enthält.

b) Man gebe einen Kreis $K$ in der Ebene $\R^2={\mathbb C}$ an, der keine algebraische Zahl enthält.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme das Inverse von
\mathl{2x^2+3x-1}{} im Körper
\mathl{\Q[X]/(X^3-5)}{} \zusatzklammer {$x$ bezeichnet die Restklasse von $X$} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{L=K(X)}{} der \definitionsverweis {rationale Funktionenkörper}{}{} über $K$. Zeige, dass es zu jedem
\mathl{n \in \N_+}{} einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabb {\varphi} {L} {L } {} derart gibt, dass
\mathl{L \cong \varphi(L) \subseteq L}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $n$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} der \definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{}
\mathl{2 { \mathrm i}-3 \sqrt{3}}{} über $\Q$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und
\mathbed {q=p^n} {}
{n \geq 2} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass
\mathl{\Z/(p^n)}{} kein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über
\mathl{\Z/(p)}{} sein kann.

}
{} {}