Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorlesung 23

Weiteres zum Minimalpolynom

Satz

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung und sei  $f\in L$  ein algebraisches Element. Es sei $P$ das Minimalpolynom von $f$.

Dann gibt es eine kanonische $K$-Algebraisomorphie

$K[X]/(P)⟶K[f],X⟼f.$

Beweis

Die Einsetzung $X\mapsto f$ ergibt nach Satz 13.7 den kanonischen $K$-Algebrahomomorphismus

$K[X]⟶L,X⟼f.$

Das Bild davon ist genau $K[f]$, sodass ein surjektiver $K$-Algebrahomomorphismus

$K[X]⟶K[f]$

vorliegt. Daher gibt es nach Korollar 14.5 eine Isomorphie zwischen $K[f]$ und dem Restklassenring von $K[X]$ modulo dem Kern der Abbildung. Der Kern ist aber nach Lemma 22.11 das vom Minimalpolynom erzeugte Hauptideal.

$◻$

Lemma

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung und sei  $f\in L$  ein algebraisches Element. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Das Minimalpolynom $P$ von $f$ über $K$ ist irreduzibel.
2. Wenn  $Q\in K[X]$  ein normiertes, irreduzibles Polynom mit  $Q(f)=0$  ist, so handelt es sich um das Minimalpolynom.

Beweis

1. Es sei  $P=P_1{P}_2$  eine Faktorzerlegung des Minimalpolynoms. Dann gilt in $L$ die Beziehung

   $0=P(f)=P_1(f)P_2(f).$

   Da $L$ ein Körper ist, muss ein Faktor $0$ sein, sagen wir  $P_1(f)=0$.  Da aber $P$ unter allen Polynomen $\ne 0$, die $f$ annullieren, den minimalen Grad besitzt, müssen $P$ und $P_1$ den gleichen Grad besitzen und folglich muss $P_2$ konstant ($\ne 0$), also eine Einheit sein.

2. Wegen  $Q(f)=0$  ist $Q$ aufgrund von Lemma 22.11 ein Vielfaches des Minimalpolynoms $P$, sagen wir  $Q=GP$.  Da $Q$ nach Voraussetzung irreduzibel ist, und da $P$ zumindest den Grad $1$ besitzt, muss $G$ konstant sein. Da schließlich sowohl $P$ als auch $Q$ normiert sind, ist  $P=Q$. 

$◻$

Algebraische Körpererweiterung

Satz

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung und sei  $f\in L$  ein Element. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. $f$ ist algebraisch über $K$.
2. Es gibt ein normiertes Polynom $P\in K[X]$ mit $P(f)=0$.
3. Es besteht eine lineare Abhängigkeit zwischen den Potenzen

   $f^0=1,f^1=f,f^2,f^3,\dots .$

4. Die von $f$ über $K$ erzeugte $K$-Algebra $K[f]$ hat endliche $K$-Dimension.
5. $f$ liegt in einer endlichdimensionalen $K$-Algebra  $M\subseteq L$. 

Beweis

$(1)\Rightarrow (2)$. Das ist trivial, da man ein von $0$ verschiedenes Polynom stets normieren kann, indem man durch den Leitkoeffizienten dividiert. $(2)\Rightarrow (3)$. Nach (2) gibt es ein Polynom $P\in K[X]$, $P\ne 0$, mit  $P(f)=0$.  Sei  $P=\sum _{i=0}^n{c}_i{X}^i$.  Dann ist

$P(f)=\sum _{i=0}^n{c}_i{f}^i=0$

eine lineare Abhängigkeit zwischen den Potenzen. $(3)\Rightarrow (1)$. Umgekehrt bedeutet die lineare Abhängigkeit, dass es Elemente $c_i$ gibt, die nicht alle $0$ sind mit  $\sum _{i=0}^n{c}_i{f}^i=0$.  Dies ist aber die Einsetzung $P(f)$ für das Polynom  $P=\sum _{i=0}^n{c}_i{X}^i$,  und dieses ist nicht das Nullpolynom. $(2)\Rightarrow (4)$. Es sei

$P=\sum _{i=0}^n{c}_i{X}^i$

ein normiertes Polynom mit  $P(f)=0$,  also mit

$c_n=1.$

Dann kann man umstellen

$f^n=-\sum _{i=0}^{n-1}{c}_i{f}^i.$

D.h. $f^n$ kann man durch kleinere Potenzen ausdrücken. Durch Multiplikation dieser Gleichung mit weiteren Potenzen von $f$ ergibt sich, dass man auch die höheren Potenzen durch die Potenzen $f^i$, $i\le n-1$, ausdrücken kann. $(4)\Rightarrow (5)$. Das ist trivial. $(5)\Rightarrow (3)$. Wenn $f$ in einer endlichdimensionalen Algebra  $M\subseteq L$  liegt, so liegen darin auch alle Potenzen von $f$. Da es in einem endlichdimensionalen Vektorraum keine unendliche Folge von linear unabhängigen Elementen geben kann, müssen diese Potenzen linear abhängig sein.

$◻$

Satz

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung und sei  $f\in L$  ein algebraisches Element.

Dann ist die von $f$ erzeugte $K$-Algebra  $K[f]\subseteq L$  ein Körper.

Beweis

Nach Satz 23.1 liegt eine $K$-Algebraisomorphie  $K[X]/(P)\cong K[f]$  vor, wobei $P$ das Minimalpolynom zu $f$ ist. Nach Lemma 23.2  (2) ist $P$ irreduzibel, sodass wegen Satz 15.1 der Restklassenring $K[f]$ ein Körper ist.

$◻$

Korollar

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung und sei  $f\in L$  ein algebraisches Element.

Dann stimmen die von $f$ über $K$ erzeugte Unteralgebra und der von $f$ über $K$ erzeugte Unterkörper überein.

Es gilt also  $K[f]=K(f)$. 

Beweis

Die Inklusion  $K[f]\subseteq K(f)$  gilt immer, und nach Voraussetzung ist der Unterring $K[f]$ aufgrund von Satz 23.4 schon ein Körper.

$◻$

Bemerkung  

Es sei $K$ ein Körper,  $P\in K[X]$  ein irreduzibles Polynom und  $K\subseteq L=K[X]/(P)$  die zugehörige Körpererweiterung. Dann kann man zu $z=F(x)$, $z\ne 0$, (mit $F\in K[X],x=\bar{X}$) auf folgende Art das Inverse $z^{-1}$ bestimmen. Es sind $P$ und $F$ teilerfremde Polynome in $K[X]$ und daher gibt es nach Satz 8.3 und Korollar 8.6 eine Darstellung der $1$, die man mit Hilfe des euklidischen Algorithmus finden kann. Wenn  $RF+SP=1$  ist, so ist die Restklasse von $R$, also  $\bar{R}=R(x)$,  das Inverse zu  $\bar{F}=z$. 

Algebraischer Abschluss

Definition

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung. Dann nennt man die Menge

$M=\{x\in L\mid x\text{ ist algebraisch über }K\}$

den algebraischen Abschluss von $K$ in $L$.

Satz

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung und sei $M$ der algebraische Abschluss von $K$ in $L$.

Dann ist $M$ ein Unterkörper von $L$.

Beweis

Wir müssen zeigen, dass $M$ bezüglich der Addition, der Multiplikation, des Negativen und des Inversen abgeschlossen ist. Es seien  $x,y\in M$.  Wir betrachten die von $x$ und $y$ erzeugte $K$-Unteralgebra  $U=K[x,y]$,  die aus allen $K$-Linearkombinationen der $x^i{y}^j$, $i,j\in \mathbb{N}$, besteht. Da sowohl $x$ als auch $y$ algebraisch sind, kann man nach Satz 23.3 gewisse Potenzen $x^n$ und $y^m$ durch kleinere Potenzen ersetzen. Daher kann man alle Linearkombinationen mit den Monomen $x^i{y}^j$, $i<n$, $j<m$, ausdrücken. D.h. alle Operationen spielen sich in dieser endlichdimensionalen Unteralgebra ab. Daher sind Summe, Produkt und das Negative nach Satz 23.3 wieder algebraisch. Für das Inverse sei  $z\ne 0$  algebraisch. Dann ist $K[z]$ nach Satz 23.4 ein Körper von endlicher Dimension. Daher ist  $z^{-1}\in K[z]$  selbst algebraisch.

$◻$

Algebraische Zahlen

Die über den rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ algebraischen komplexen Zahlen erhalten einen speziellen Namen.

Definition

Eine komplexe Zahl $z$ heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn sie algebraisch über den rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ ist. Andernfalls heißt sie transzendent.

Die Menge der algebraischen Zahlen wird mit $𝔸$ bezeichnet.

Ferdinand von Lindemann (1852-1939)

Bemerkung  

Eine komplexe Zahl  $z\in ℂ$  ist genau dann algebraisch, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom $P$ mit rationalen Koeffizienten und mit  $P(z)=0$  gibt. Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner kann man für eine algebraische Zahl auch ein annullierendes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten finden (das allerdings nicht mehr normiert ist). Eine rationale Zahl $q$ ist trivialerweise algebraisch, da sie Nullstelle des linearen rationalen Polynoms $X-q$ ist. Weiterhin sind die reellen Zahlen $\sqrt{q}$ und $q^{1/n}$ für  $q\in \mathbb{Q}$  algebraisch. Dagegen sind die Zahlen $e$ und $\pi$ nicht algebraisch. Diese Aussagen sind keineswegs selbstverständlich, die Transzendenz von $\pi$ wurde beispielsweise von Ferdinand von Lindemann 1882 gezeigt.

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