Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 24

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Übungsaufgaben

Aufgabe *

Bestimme eine ganze Zahl derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung

in liegen.


Aufgabe *

Bestimme in das multiplikative Inverse von

Die Antwort muss in der Form mit in gekürzter Form sein.


Aufgabe

Es sei ein Unterkörper. Zeige, dass dann auch ein Unterkörper von ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper der Charakteristik und sei eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es neben der Identität einen weiteren -Algebraautomorphismus gibt.


Aufgabe

Es sei eine reell-quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass dann auch eine quadratische Körpererweiterung ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass

eine Untergruppe der Einheitengruppe ist.


Aufgabe

Beschreibe die Gruppe

für die Körper


Aufgabe

Es sei eine Primzahl und

die zugehörige Körpererweiterung von . Zeige, dass die Elemente , die (in ) eine Quadratwurzel besitzen, von der Form

mit oder von der Form

mit sind.


Aufgabe

Es sei eine Primzahl. Wir betrachten die Unterkörper der komplexen Zahlen, und . Zeige .


Aufgabe *

Es seien und sei

a) Zeige, dass es ein Polynom der Form

mit gibt.

b) Es seien nun zusätzlich und verschiedene Primzahlen. Zeige, dass das Polynom aus Teil a) das Minimalpolynom zu ist.


Aufgabe

Betrachte die Körpererweiterung

Zeige, dass einerseits und andererseits , , eine -Basis von bildet. Berechne die Übergangsmatrizen für diese Basen.


Aufgabe

Sei eine Körpererweiterung vom Grad , wobei eine Primzahl sei. Es sei , . Zeige, dass ist.


Aufgabe

Es sei ein Unterkörper derart, dass eine Körpererweiterung von Grad ist. Es sei

Zeige, dass entweder oder ist.


Aufgabe

Bestimme den Grad von


Aufgabe *

Es sei eine Primzahl.

a) Bestimme den Grad der Körpererweiterung

Man gebe auch eine -Basis von an.

b) Zeige, dass in alle Elemente der Form und mit eine dritte Wurzel besitzen.

c) Die rationale Zahl besitze in eine dritte Wurzel. Zeige, dass die Form

mit besitzt.

d) Es sei nun eine weitere, von verschiedene Primzahl. Bestimme den Grad der Körpererweiterung


Aufgabe

Zeige, dass die Körpererweiterung , wobei den Körper der rationalen Funktionen bezeichnet, nicht endlich ist.


Aufgabe

Zeige, dass der Körper der komplexen Zahlen der Zerfällungskörper des Polynoms ist.


Aufgabe

Es sei ein quadratisches Polynom über einem Körper . Welche Möglichkeiten gibt es für den Zerfällungskörper von ?


Aufgabe

Es sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass es einen (injektiven) Ringhomomorphismus gibt.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein Polynom vom Grad und der Zerfällungskörper von . Zeige, dass die Abschätzung

gilt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien Polynome. Zeige, dass es eine endliche Körpererweiterung derart gibt, dass diese Polynome in in Linearfaktoren zerfallen.


Aufgabe

Es sei eine rationale Zahl und es sei der Zerfällungskörper von . Welchen Grad besitzt (über )? Man gebe für jeden möglichen Grad Beispiele an.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grad von


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und zwei endliche Körpererweiterungen von vom Grad bzw. . Es seien und teilerfremd. Zeige, dass dann

ist.


Aufgabe (6 (4+1+1) Punkte)

Sei eine Primzahl.

a) Zeige, dass das Polynom irreduzibel über ist.

b) Schließe daraus, dass

über den Grad vier besitzt.

c) Finde einen echten Zwischenkörper


Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

Es sei ein endlicher Körper der Charakteristik .

a) Zeige, dass es in Elemente gibt, die keine Quadratwurzel besitzen.

b) Zeige, dass es eine endliche nichttriviale Körpererweiterung

vom Grad zwei gibt.



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