Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 22

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne im Körper das Produkt


Aufgabe

Bestimme in das Inverse von .


Aufgabe *

Bestimme in das Inverse von ( bezeichnet die Restklasse von ).


Aufgabe

Bestimme das Inverse von

im Körper .


Aufgabe *

Bestimme den Grad der Körpererweiterung .


Aufgabe *

Sei eine Körpererweiterung. Zeige, dass ein -Vektorraum ist.


Aufgabe

Sei eine Körpererweiterung und sei ein Element. Zeige, dass dann der Quotientenkörper von ist.


Aufgabe

Seien und Körper, sei eine endliche Körpererweiterung und sei , , ein Zwischenring. Zeige, dass dann ebenfalls ein Körper ist.


Aufgabe

Sei eine Körpererweiterung und ein nicht algebraisches Element. Zeige, dass dann eine Isomorphie

von Körpern vorliegt.


Aufgabe

Es seien und zwei verschiedene Primzahlen. Zeige, dass ein Unterkörper von ist, der über den Grad vier besitzt.


Aufgabe *

Sei ein endlicher Körper. Zeige, dass die Anzahl der Elemente von die Potenz einer Primzahl ist.


Aufgabe *

Zeige, dass es zu jeder natürlichen Zahl eine Körpererweiterung vom Grad gibt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme in das Inverse von .


Aufgabe (5 (1+1+2+1) Punkte)

Betrachte den Körper mit Elementen.

  1. Zeige, dass kein Quadrat in ist und folgere, dass
    ein Körper ist.
  2. Betrachte die quadratische Körpererweiterung

    und berechne

  3. Finde das Inverse zu in .
  4. Zeige, dass kein Quadrat in ist, dafür aber in .


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Inverse von

im Körper .


Aufgabe (4 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Minimalpolynom von

über .



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