Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 23

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Übungsaufgaben

Aufgabe *

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl über .


Aufgabe

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl über .


Aufgabe

Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad . Zeige, dass ist.


Aufgabe

Es sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige .


Aufgabe

Sei eine Körpererweiterung und sei ein Polynom. Zeige: besitzt genau dann eine Nullstelle in , wenn es einen -Algebrahomomorphismus gibt.


Aufgabe

Sei eine Körpererweiterung und sei ein Element. Zeige: ist genau dann algebraisch über , wenn ist.


Aufgabe

Sei eine Körpererweiterung und ein Zwischenkörper. Es sei algebraisch über . Zeige, dass dann auch algebraisch über ist.


Aufgabe *

Es sei , , eine algebraische Zahl. Zeige, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl sowie der Real- und der Imaginärteil von algebraisch sind. Man bestimme den Grad der Körpererweiterung


Aufgabe

Zeige, dass die Menge der algebraischen Zahlen keine endliche Körpererweiterung von ist.


Aufgabe

a) Man gebe eine Gerade in der Ebene an, die keine algebraische Zahl enthält.

b) Man gebe einen Kreis in der Ebene an, der keine algebraische Zahl enthält.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Inverse von im Körper ( bezeichnet die Restklasse von ).


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein Körper und sei der rationale Funktionenkörper über . Zeige, dass es zu jedem einen Ringhomomorphismus derart gibt, dass eine endliche Körpererweiterung vom Grad ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl über .


Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine Primzahl und , . Zeige, dass kein Vektorraum über sein kann.



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